基于仿射和復(fù)合混沌的圖像自適應(yīng)加密算法

文昌辭，王沁，黃付敏，袁志樹，陶春生

（1. 北京科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)系，北京 100083；2. 中國(guó)醫(yī)學(xué)科學(xué)院，北京 100005；3. 空軍駐京昌地區(qū)軍事代表室，北京 100009；4. 中國(guó)人民解放軍駐二一八廠軍事代表室，北京 100009）

1 引言

傳統(tǒng)加密算法如DES、3-DES、IDEA、AES針對(duì)一維數(shù)據(jù)流而設(shè)計(jì)，沒有考慮數(shù)字圖像具有數(shù)據(jù)量大、相關(guān)性強(qiáng)、冗余度高的特點(diǎn)，加密效率不高，并且加密之后可能保留著物體的大致輪廓，因而不適用于加密數(shù)字圖像。目前，數(shù)字圖像加密主要有3種基本操作：1)置亂空域像素（或變換域系數(shù)）的位置；2)代換空域像素（或變換域系數(shù)）的值；3)在空域像素（或變換域系數(shù)）的值之間進(jìn)行擴(kuò)散。

使用以上3種操作（置亂、代換、擴(kuò)散）在空域直接加密像素后，破壞了像素間的相關(guān)性，很難通過壓縮編碼算法進(jìn)行壓縮。它的優(yōu)點(diǎn)是沒有數(shù)據(jù)損失，能精確地恢復(fù)出明文，并且算法操作相對(duì)簡(jiǎn)單，不存在從空域映射到變換域的大量浮點(diǎn)運(yùn)算。文獻(xiàn)[1～8]沒有綜合運(yùn)用置亂、代換和擴(kuò)散3種操作，在明密文對(duì)中容易分析、構(gòu)造出線性計(jì)算關(guān)系，因此安全性不高，算法容易被選擇明文攻擊破解出等效密鑰。文獻(xiàn)[1～4]都只置亂了像素的位置，沒有代換和擴(kuò)散。文獻(xiàn)[5]改變了像素的值，但沒有置亂像素的位置。文獻(xiàn)[6]針對(duì)有限精度下單一混沌映射周期較短且易于破解的缺點(diǎn)，將 2個(gè)混沌系統(tǒng)串聯(lián)起來，增強(qiáng)了混沌系統(tǒng)軌道的安全性；但是該算法采用了流密碼的形式，在加密像圖像這樣的海量數(shù)據(jù)時(shí)，很難保證一次一密，而且它僅采用了與像素值相異或的代換操作，一對(duì)明密文即可破解出等效密鑰。文獻(xiàn)[7]提出了一種改變像素值的矩陣變換加密算法，沒有改變像素的位置，通過選擇明文求解同余方程組可以破解。文獻(xiàn)[8]根據(jù)序列中元素的取值來控制圖像進(jìn)行自適應(yīng)置亂，本意是想增強(qiáng)抵御選擇明文攻擊的能力，但由于缺少代換和擴(kuò)散操作，自適應(yīng)加密的優(yōu)勢(shì)沒有得到發(fā)揮。文獻(xiàn)[9]沒有與明文相關(guān)的自適應(yīng)操作，通過選擇明文攻擊可以破解出等效密鑰；如果將圖像數(shù)據(jù)通過一個(gè)不可逆的變換引入到加密過程中，就可能堵上這個(gè)漏洞。文獻(xiàn)[10]對(duì)一個(gè)運(yùn)用廣義貓映射來加密圖像的算法進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)它雖然含有置亂、代換、擴(kuò)散操作并且迭代多輪，但由于該算法中的置亂操作存在不動(dòng)點(diǎn)而且代換和擴(kuò)散操作比較簡(jiǎn)單，導(dǎo)致明密文中存在一定程度的線性計(jì)算關(guān)系，所以安全性不高，該文對(duì)其進(jìn)行了破解。

由于計(jì)算機(jī)精度有限，基于變換（如 DFT、DCT、DWT、FRFT[11]、FRHT[12]、MPDFrRT[13]）域的加密算法在變換與反變換時(shí)存在數(shù)據(jù)精度損失，所以解密后的圖像與明文不會(huì)完全相同。如果將從空域映射到變換域的浮點(diǎn)操作僅僅作為一個(gè)加密運(yùn)算步驟[11～13]，而未將其結(jié)合到壓縮編碼中，那么所耗費(fèi)的計(jì)算量就太大，加密效率很低。結(jié)合圖像壓縮的加密通常在變換域系數(shù)被量化后進(jìn)行，這樣可使壓縮盡量不影響加密。此處不對(duì)基于變換域的加密算法作深入探討。

基于有限整數(shù)域上的三維仿射變換和混沌，本文提出一種新的空域加密算法，先通過置亂變換打亂像素的位置并根據(jù)像素坐標(biāo)混合像素值，然后依次進(jìn)行非線性的擴(kuò)散、代換、再擴(kuò)散，代換時(shí)用圖像當(dāng)前數(shù)據(jù)擾動(dòng)耦合的多個(gè)混沌系統(tǒng)以進(jìn)行自適應(yīng)加密，如此迭代3輪。

2 置亂變換

置亂變換可以快速地打亂像素位置，破壞圖像中原有的相關(guān)性，把圖像變得雜亂無(wú)章、無(wú)法識(shí)別，它既可以單獨(dú)用于圖像加密，也可以作為圖像加密系統(tǒng)的一個(gè)功能部件。為了保證加密之后還能正確恢復(fù)，置亂變換必須可逆，即為一一映射?；诜律渥儞Q、有限整數(shù)域上的二維非等長(zhǎng)置亂變換和整數(shù)提升變換，定義有限整數(shù)域上的一種三維仿射變換，記為三維類仿射變換。通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)設(shè)置，該變換可以為一一映射。

定義1 定義三維類仿射變換為

其中， a , b, c, d, e, f, g, h, l, r, s, t為實(shí)數(shù)， M , N, L為正整數(shù)， x, x', y, y', z, z'為非負(fù)整數(shù)且 x, x'∈ [ 0,M - 1 ],y, y'∈[0,N -1],z, z'∈[0,L-1]，表示取整運(yùn)算。

在該變換中，對(duì)參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)設(shè)置，可得到以下2個(gè)式子。

其中， a , e, l為非零整數(shù)且gcd(a, M ) =gcd(e, N)=gcd(l, L) = 1 ,d, g, h, r, s, t為實(shí)數(shù)。

其中， a , e, l為非零整數(shù)且gcd(a, M ) = g cd(e, N)=gcd(l, L) = 1 ,b, g, h, r, s, t為實(shí)數(shù)。

可以證明，如果把式(1)，式(2)用于圖像(M行N列)的置亂變換，其中(x, y, z)代表置亂前像素坐標(biāo)和像素值，(x', y', z')代表置亂后像素坐標(biāo)和像素值，那么該置亂變換是一一映射。

證明

將三維類仿射變換改寫為即將該變換分解為串行執(zhí)行的2個(gè)操作：根據(jù)坐標(biāo)混合像素值z(mì)得到 z ';置亂像素的坐標(biāo)位置(x, y)到(x', y')。

2）取式（1）進(jìn)行三維類仿射置亂時(shí)，像素坐標(biāo)位置的變換為

綜上可知，置亂變換式（1）是(x, y, z)→(x', y', z')的一一映射。同理，置亂變換式（2）也是(x, y, z) → (x', y', z ')的一一映射。

三維類仿射置亂變換引入實(shí)數(shù)作為參數(shù)，與用整數(shù)作為參數(shù)相比，置亂的情況更加復(fù)雜。它在置亂像素位置的同時(shí)根據(jù)坐標(biāo)混合像素值，可以加大圖像的信息熵，均衡灰度直方圖。較之于僅置亂像素位置的二維置亂變換，它相當(dāng)于在MNL××的三維空間上進(jìn)行置亂，具有更多大于0的Lyapunov指數(shù)，安全性更高。在實(shí)際中，可限制b (或d),,g h小數(shù)部分的二進(jìn)制形式取00、01、或11， ,,r s t小數(shù)部分的二進(jìn)制形式取0或1，使得置亂時(shí)乘積計(jì)算的復(fù)雜度相當(dāng)于定點(diǎn)乘。

3 加密算法

采用上述置亂變換后，雖然像素位置和像素值被攪亂了，但像素之間沒有任何計(jì)算關(guān)系，容易受到選擇明文攻擊，因此在三維類仿射變換的基礎(chǔ)上引入擴(kuò)散操作，并且根據(jù)加密過程中的數(shù)據(jù)擾動(dòng)混沌系統(tǒng)，以進(jìn)行自適應(yīng)代換。如此進(jìn)行三維類仿射置亂、擴(kuò)散、代換和再擴(kuò)散，迭代3輪后得到密文。算法綜合使用了引言中提到的3種基本操作，充分發(fā)揮了擴(kuò)散的作用，避免了文獻(xiàn)[1～8]中算法設(shè)計(jì)的不足，并且吸納了文獻(xiàn)[8]中自適應(yīng)加密的思想，使得在相同密鑰情況下每一幅明文的等效密鑰都不同，大大增強(qiáng)了算法的安全性。這種設(shè)計(jì)使得算法迭代1輪便可以把圖像數(shù)據(jù)變成類似于隨機(jī)噪聲的形式，而且攻擊者很難進(jìn)行選擇明文攻擊。算法中迭代輪數(shù)越多，明密文之間的非線性關(guān)系越復(fù)雜，越難進(jìn)行攻擊。為進(jìn)一步提高算法的安全性并使運(yùn)算量不至于太大，設(shè)置迭代輪數(shù)為3輪。具體的加解密框架如圖1所示。

圖1 加密解密框架

3.1 擴(kuò)散

將圖像(M行N列)中的像素按從左到右、從上到下的順序，用逐個(gè)進(jìn)行擴(kuò)散， Pi代表第i個(gè)像素?cái)U(kuò)散之前的值， Ci代表擴(kuò)散之后的值， i ∈[0,M N-1],⊕表示按位異或操作。當(dāng) i = 0 時(shí)，取 Ci-1= PMN-1。

3.2 混沌系統(tǒng)

混沌系統(tǒng)具有以下幾個(gè)適用于加密的特性：1）對(duì)參數(shù)和初始條件極其敏感；2）輸出有界，具有遍歷性，類似于隨機(jī)噪聲；3）任意接近的 2點(diǎn)隨著迭代的進(jìn)行都會(huì)指數(shù)性發(fā)散。在實(shí)際中，一維混沌系統(tǒng)容易遭到相空間重構(gòu)方法攻擊，構(gòu)造復(fù)合混沌系統(tǒng)可以解決這一問題。在文獻(xiàn)[6]處理混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，此處選用形式簡(jiǎn)單的三維Henon映射、Logistic映射、Tent映射、Cubic映射和Chebychev映射構(gòu)造新的復(fù)合混沌系統(tǒng)。改寫這 5種映射的形式并限制參數(shù)和初值的范圍，分別記為混沌0、1、2、3、4，如圖2所示。

圖2 混沌系統(tǒng)

3.3 擾動(dòng)混沌系統(tǒng)

在保證加密可逆的前提下，可用中間結(jié)果擾動(dòng)混沌系統(tǒng)，使產(chǎn)生的混沌序列與圖像數(shù)據(jù)密切相關(guān)，進(jìn)一步增強(qiáng)抵御攻擊的能力，如圖3所示。

圖3 擾動(dòng)混沌系統(tǒng)

1) 設(shè)加密密鑰為(k1k2,k3k4k5k6k7,k8k9, k10k11,k12k13, k14k15)，其中， k1代表三維類仿射變換的參數(shù)(a, b, c, d, e, f, g, h, l, r, s, t)， k2代表從混沌序列首部舍棄數(shù)值的個(gè)數(shù)，其余的子密鑰分別代表混沌0、1、2、3、4的參數(shù)和初值。

2) 在對(duì)某一行像素進(jìn)行代換之前，取該行前2個(gè)像素值 I0、 I1，調(diào)整子混沌系統(tǒng)的參數(shù)和初值，如圖4所示。

圖4 調(diào)整參數(shù)和初值

3) 迭代混沌4得到十進(jìn)制實(shí)數(shù)序列 { y '4,i}，取小數(shù)部分的第3位和第4位組成一個(gè)位于0 ～ 99之間的整數(shù)，模8映射為 { y4,i}。迭代混沌0、1、2、3，均舍棄前 k1個(gè)值，然后根據(jù) { y4,i}對(duì)它們抽樣，得到 { y '0,i}、{y'1,i}、{y'2,i}、{y '3,i}。提取這4個(gè)序列中每個(gè)實(shí)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第2位到第4位組成一個(gè)整數(shù)，模256，對(duì)應(yīng)映射為 { y0,i}、{y1,i}、{y2,i}、{ y3,i}。

4) 用該行第 3個(gè)像素值 I2控制混沌系統(tǒng)的耦合方式，計(jì)算產(chǎn)生{zi}，如圖5所示。

3.4 代換

代換每一行像素時(shí)都用該行前3個(gè)像素重新擾動(dòng)混沌系統(tǒng)，產(chǎn)生新的{zi} ，然后通過計(jì)算式對(duì)該行中前3個(gè)像素以外的所有像素進(jìn)行計(jì)算，P 'i+3代表當(dāng)前行第 i +3個(gè)像素代換之前的值， C 'i+3代表代換之后的值，i∈[0,N -4]。從上到下依次代換每一行。

圖5 控制耦合方式

4 實(shí)驗(yàn)及算法評(píng)價(jià)

用VC++實(shí)現(xiàn)本文的加解密算法，按照?qǐng)D6設(shè)置密鑰的初值，對(duì)1 024×1 024大小的256色圖像man（如圖7所示）加密，再解密，分別得到圖8和圖9。

圖6 密鑰初值

圖7 man

圖8 man加密后

圖9 正確密鑰

4.1 加密視覺效果

數(shù)字圖像加密要求密文與明文的視覺效果完全不同，目前可以從相鄰像素相關(guān)性、明密文相似度、信息熵、峰值信噪比和自相關(guān)度這5個(gè)方面評(píng)判加密的視覺效果，相關(guān)的具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖10～圖18所示。

圖10 相鄰像素相關(guān)性

圖11 相似度1

圖12 相似度2

圖13 相似度3

圖14 相似度4

圖15 信息熵1

圖16 信息熵2

圖17 峰值信噪比

圖18 自相關(guān)度

1) 相鄰像素相關(guān)性

對(duì)于圖像中的水平、垂直、對(duì)角相鄰像素，相關(guān)性xyr通過下式計(jì)算：其中，xi、yi代表相鄰的像素值。以上述密鑰的取值為基數(shù)，不斷微調(diào)14k，對(duì)man加密后相鄰像素相關(guān)性如圖10所示，微調(diào)其他參數(shù)略。圖像man的水平相鄰像素相關(guān)性為0.993 268，垂直為0.994 410，對(duì)角為0.990 168，加密后3個(gè)方向的相關(guān)性均小于0.003 5，密圖無(wú)法辨認(rèn)。

2) 明密文相似度

設(shè)明文圖像為 P( M ×N)，密文圖像為C( M ×N)，則兩幅圖像的相似度為XSD=1-2幅圖像差別越大相似度越小，完全相同時(shí)相似度為 1。不斷微調(diào)密鑰中的參數(shù)d、g對(duì)man進(jìn)行加密，計(jì)算得出的相似度如圖11所示；微調(diào)h、3k，相似度如圖12所示；微調(diào)5k、7k，相似度如圖13所示；微調(diào)4k、8k，相似度如圖14所示?？梢钥闯觯嗨贫染∮?.09，明密文差異顯著。

3) 信息熵

設(shè) vi表示L級(jí)灰度圖象的第i個(gè)灰度值,p( vi)表示圖像中具有第i個(gè)灰度值的像素所占的比例。圖像的信息熵定義為：信息熵可以度量圖像中灰度值的分布情況，灰度分布越均勻，信息熵越大，反之信息熵越小，它的最大值為 8。不斷微調(diào)9k、11k對(duì) man進(jìn)行加密，計(jì)算得出的信息熵如圖15所示；微調(diào)6k、d，信息熵如圖16所示。圖像man的信息熵為7.523 737，加密后信息熵均大于7.999 77，說明灰度分布很均勻，算法能有效地抵御統(tǒng)計(jì)攻擊。

4) 峰值信噪比

5) 自相關(guān)度

設(shè)圖像 P ( M ×N)是一灰度級(jí)為L(zhǎng)的圖像，(i, j)是其中的一個(gè)像素點(diǎn)， r, m均為整數(shù)，則點(diǎn)(i, j)的r- m 相關(guān)集為r和m分別稱為像素間距和灰度差，0＜ r≤M/2，0≤m＜L。圖像P的r-m自相關(guān)度定義為：表示集合中的元素個(gè)數(shù)。令r=1，m=60，不斷微調(diào)s、 k3、 k10，對(duì)man加密后的自相關(guān)度如圖18所示。圖像man的自相關(guān)度為0.966 988，加密后自相關(guān)度均小于0.001 75，密文不可識(shí)別。

4.2 安全性分析

算法耦合了多個(gè)混沌系統(tǒng)，在每1輪迭代中都有1次三維類仿射置亂、2次非線性的擴(kuò)散和1次自適應(yīng)代換。其中的三維類仿射置亂采用了矩陣變換的形式，繼承了二維非等長(zhǎng)置亂變換的優(yōu)點(diǎn)，能快速地打散并攪勻像素，具有混沌特性；它還繼承了擬仿射變換的優(yōu)點(diǎn)，沒有不動(dòng)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)證明，僅1次三維類仿射置亂便能使圖像完全不可識(shí)別并且灰度直方圖趨向于均衡化。在三維類仿射置亂的基礎(chǔ)上，算法用圖像中的像素值擾動(dòng)敏感性強(qiáng)的混沌系統(tǒng)以進(jìn)行自適應(yīng)的代換，而且盡可能多地穿插使用了非線性的擴(kuò)散操作，這種設(shè)計(jì)使得明密文對(duì)之間的映射關(guān)系非常復(fù)雜，具有很強(qiáng)的密鑰敏感性和密文敏感性，符合密碼學(xué)中的擴(kuò)散與混淆原則。

1) 密鑰空間

k1中的b(或者d),g, h, r, s, t均用8位二進(jìn)制數(shù)表示，k1中的l用7位二進(jìn)制數(shù)表示，k2用10位二進(jìn)制數(shù)表示，k3、k4、k5、k6、k7、k8、k9、k10、k11、k12、k13、k14、k15這 13個(gè)參數(shù)均用15位二進(jìn)制數(shù)表示，再加上 k1中的a與e，密鑰長(zhǎng)度大于8×6 + 7+10+13× 15=260bit，密鑰空間巨大。DES算法密鑰長(zhǎng)度為56bit，3-DES為112bit或168bit，IDEA 為 128bit，AES 為 128bit、192bit或 256bit，文獻(xiàn)[4]小于200bit。260bit已超過目前可接受的安全長(zhǎng)度，假設(shè)攻擊者以每秒搜索1 000萬(wàn)億個(gè)密鑰的速度窮舉攻擊，需要 3 .324 8× 1055年以上才能搜索完所有密鑰，算法能夠有效地抵御窮舉攻擊。

2) 密鑰敏感性

令密鑰中的參數(shù) k8= k8+ 2-15，解密圖8得到圖19；令 k9= k9+ 2-15，解密得到圖20；令 k13= k13+2-15，解密得到圖 21；令 k15= k15+2-15，解密得到圖 22，擾動(dòng)其他參數(shù)略。可以看出，算法具有很強(qiáng)的密鑰敏感性，密鑰的微小改變都會(huì)導(dǎo)致解密失敗。

圖19 微擾k8

圖20 微擾k9

圖21 微擾k13

圖22 微擾k15

3) 密文敏感性

攻擊者可能對(duì)明文圖像作微小改動(dòng)并觀察密文的變化，以發(fā)現(xiàn)明密文之間的某些關(guān)系。如果微小的改動(dòng)導(dǎo)致密文很大的變化，那么這種差分攻擊就會(huì)非常無(wú)力，可采用像素改變率NPCR 、平均變化強(qiáng)度UACI 來衡量這種敏感程度。設(shè)明文對(duì)應(yīng)密文1C，將明文中某一個(gè)像素點(diǎn)的灰度值加1后再加密得到2C，則其中，當(dāng)1(,)C i j時(shí) (,)q i j=0，否則 (,)q i j=1。改動(dòng)man中不同像素，計(jì)算出一系列NPCR 和UACI ，如圖23和圖24所示?？梢钥闯鯪PCR ＞0.991 85，UACI ＞0.332 4，即明文中1個(gè)像素的微小改變將帶來密文中99.185%以上像素的變化，變化幅度在 33.24%以上。密文敏感性強(qiáng)，算法有很強(qiáng)的抗差分攻擊能力。

圖23 像素改變率

圖24 平均變化強(qiáng)度

5 結(jié)束語(yǔ)

本文的加密算法首先采用三維類仿射變換打亂像素的位置并根據(jù)像素坐標(biāo)混合像素值，然后依次進(jìn)行非線性的擴(kuò)散、代換、再擴(kuò)散，在代換時(shí)根據(jù)圖像當(dāng)前數(shù)據(jù)擾動(dòng)耦合的多個(gè)混沌系統(tǒng)，使產(chǎn)生的混沌序列與圖像本身密切相關(guān)。其中的置亂操作可以直接作用于任意大小、任意寬高比的圖像，不需要預(yù)處理；構(gòu)造的混沌系統(tǒng)形式簡(jiǎn)單，符合模塊化設(shè)計(jì)思想，易于并行實(shí)現(xiàn)，計(jì)算復(fù)雜度較小。算法加密視覺效果好，密圖無(wú)法識(shí)別；密鑰空間巨大，

可有效抵御窮舉攻擊；密鑰敏感性和密文敏感性強(qiáng)，符合密碼學(xué)中的擴(kuò)散與混淆原則，可抵御選擇明文攻擊。進(jìn)一步的研究?jī)?nèi)容是在算法中融入更高維的混沌系統(tǒng)，用于產(chǎn)生三維類仿射變換的參數(shù)，并且使置亂操作也受圖像數(shù)據(jù)擾動(dòng)。

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