特定角域低增益的穩(wěn)健方向圖綜合算法

王 勇 劉宏偉 糾 博 楊曉超

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

近年來，自適應(yīng)陣列被廣泛地應(yīng)用于無線通信、聲納、雷達(dá)和醫(yī)療成像中［1］。由于非理想的陣列校正、互耦、相干或非相干的局部散射等因素的影響，自適應(yīng)陣列往往存在各種誤差，如角度誤差［2］、校正誤差［3］、通道幅相誤差［4］等，這會對方向圖綜合的性能產(chǎn)生顯著的影響［5］。因此，穩(wěn)健的方向圖綜合技術(shù)是自適應(yīng)陣列的一項重要研究內(nèi)容。

根據(jù)加權(quán)方式的不同，穩(wěn)健的方向圖綜合方法可以分 為 向 量 加 權(quán) 方 法［2，6－9］和 矩 陣 加 權(quán) 方 法［10－12］兩類。對于向量加權(quán)方法來說，對角加載的采樣矩陣求逆算法（LSMI）［13］是最常見的穩(wěn)健算法之一。該算法通過對采樣協(xié)方差矩陣加載一數(shù)量矩陣，能提高自適應(yīng)算法的收斂速度和穩(wěn)健性。但該算法最大的問題是加載量不容易簡單地確定?；谧畈钚阅軆?yōu)化的思想，文獻(xiàn)［2］給出了一種基于二階錐規(guī)劃（SOCP）的穩(wěn)健波束形成算法。該算法雖然能夠?qū)θ我獾膶?dǎo)向矢量誤差進(jìn)行穩(wěn)健處理并獲得較高的信干噪比（SINR），但是該算法忽略了功率估計中的尺度模糊問題，功率估計性能較差［14］。與基于SOCP的穩(wěn)健波束形成算法不同，穩(wěn)健的Capon波束形成算法（RCB）通過約束導(dǎo)向矢量的l2范數(shù)解決了功率估計中的尺度模糊問題，因此，能夠準(zhǔn)確地估計出感興趣信號的功率［14］。

雖然向量加權(quán)方法能夠獲得較高的SINR和較準(zhǔn)確的功率估計，但其方向圖參數(shù)，比如主瓣寬度和旁瓣電平，不能精確地控制或根據(jù)不同的需要進(jìn)行靈活地調(diào)整［11］。為了能更靈活地控制方向圖的參數(shù)，Li J.等提出了自適應(yīng)矩陣 算法 （AMA）［10］。AMA算法通過約束方向圖在主瓣角域和旁瓣角域的增益可以防止主瓣分裂并壓低旁瓣，但當(dāng)主瓣寬度給定后，其旁瓣電平不能被任意地壓低［5］。另外，對于主瓣增益控制來說，AMA算法只是約束了方向圖的主瓣寬度和增益，對信號源和陣列存在的未知誤差不具有自適應(yīng)的穩(wěn)健性。為了使方向圖的主瓣在存在誤差時不分裂，文獻(xiàn)［15］給出了一種基于半正定規(guī)劃的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法（RAB－SDP）。該算法通過約束穩(wěn)健角域的響應(yīng)起伏，對角度誤差具有很好的穩(wěn)健性。但當(dāng)陣列誤差存在時，RAB－SDP算法的性能將下降。另外，當(dāng)樣本數(shù)較少時，RAB－SDP算法的方向圖旁瓣較高。為了降低小樣本對協(xié)方差陣估計的影響并提高RAB－SDP算法對陣列誤差的穩(wěn)健性，文獻(xiàn)［5］結(jié)合最差性能優(yōu)化思想和RAB－SDP算法提出了基于最差性能優(yōu)化的RAB－SDP算法（RAB－SDP－WC）。該算法考慮了最差情況下的協(xié)方差陣估計誤差對輸出功率的影響，在約束主瓣響應(yīng)起伏的同時最小化最差情況下的輸出功率。RAB－SDP－WC算法雖然約束了穩(wěn)健角域的響應(yīng)起伏，但該約束并不能保證其在穩(wěn)健角域的響應(yīng)不衰減。另外，在實際應(yīng)用中，根據(jù)一定的先驗信息和特定需要，比如特定角域的密集干擾抑制，方向圖需要在這些角域的增益較低［16］。為了在存在未知誤差的情況下抑制密集干擾，文章提出了一種特定角域低增益的穩(wěn)健方向圖綜合算法。

1 信號模型

考慮一個由M個陣元組成的等距線陣（ULA），相鄰陣元間距為半波長。假設(shè)信號源從θ0方向入射到接收陣列上，則接收信號可以表示為［2，10－12］

式中：N 表示快拍數(shù)；a（θ0）＝［1，exp（－jπsin（θ0）），…，exp（－jπ（M－1）sin（θ0））］T表示感興趣信號的導(dǎo)向矢量，其中上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置操作；s（n）表示感興趣信號在第n時刻的未知波形；z（n）表示第n時刻的干擾加噪聲項。回波的協(xié)方差矩陣可以表示成R＝E｛xxH｝，其中上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置操作，E｛·｝表示取期望運算。在實際中，R一般無法獲得，通常用采樣協(xié)方差矩陣來代替［13］

利用權(quán)矢量w＝［w1，…，wM］T對回波信號（1）進(jìn)行加權(quán)可得

當(dāng)信號的來波方向θ0已知時，Capon波束形成器基于如下的代價函數(shù)［14］

式（4）可以利用拉格朗日乘子法求解。當(dāng)求出權(quán)矢量w0以后，可以利用＾σ20＝wH0＾Rw0估計出感興趣信號的功率［14］。在方向圖綜合中，主瓣保形、低旁瓣是其重要的設(shè)計目標(biāo)［12］。但這些約束對于w來說有些是非凸的，比如半功率點的增益的等式約束以及主瓣內(nèi)增益的不等式約束［10］。顯然，式（4）可以轉(zhuǎn)化為

式中符號tr（·）表示求矩陣的跡。令T＝wwH，則式（5）等價于如下的優(yōu)化問題［15］

式中rank（·）表示取矩陣的秩。式（6）的優(yōu)化問題是非凸的，因為有優(yōu)化變量T的秩約束［11］。當(dāng)去掉秩約束后，可以得到式（6）的半正定松弛（SDR）形式［15］

式（7）是一個半正定規(guī)劃（SDP），可以利用凸優(yōu)化工具包CVX［17］找到其全局最優(yōu)解。另外，式（7）可以看作Capon波束形成器的矩陣加權(quán)形式。對于方向圖綜合算法來說，當(dāng)自適應(yīng)陣列存在未知誤差時，必須考慮方向圖對誤差的穩(wěn)健性［5］。根據(jù)一定的先驗信息和特定需要，比如特定角域的密集干擾抑制，方向圖需要在這些角域的增益較低［16］。

2 特定角域低增益的穩(wěn)健方向圖綜合算法

在自適應(yīng)陣列存在未知誤差和樣本數(shù)有限的情況下，考慮協(xié)方差陣估計誤差對輸出功率的影響。通過最小化最差情況下的輸出功率可以得到待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)（具體模型及推導(dǎo)見文獻(xiàn)［5］）

式中：‖·‖F(xiàn)表示矩陣的F－范數(shù)；ε表示誤差矩陣的F－范數(shù)的上界。與文獻(xiàn)［5］、［15］給出的約束穩(wěn)健角域的響應(yīng)起伏不同，文中算法直接約束穩(wěn)健角域的幅度響應(yīng)不衰減，即

式中θl和θu分別表示穩(wěn)健角域的下界和上界。顯然，式（9）可以用來抑制角度誤差，而且式（9）也保證了方向圖的主瓣不會分裂。在實際應(yīng)用中，根據(jù)一定的先驗信息和特定需要，比如特定角域的密集干擾抑制，方向圖需要在這些角域的增益較低［16］。為了保證方向圖在給定角域的增益較低，還必須約束

式中：Ψ表示給定的需要壓低旁瓣的角域；ζ表示該角域響應(yīng)的上界。結(jié)合式（8）、式（9）和式（10），可以得到文中算法的優(yōu)化模型

式（11）可以看作式（7）的自然擴(kuò)展，在約束穩(wěn)健角域的幅度響應(yīng)和特定角域的旁瓣響應(yīng)的同時，最小化最差情況下的輸出功率。由于ε隨入射信號的功率變化，在后面的分析中用歸一化的參數(shù)εr＝εM／tr來代替ε［5］。式（11）是一個SDP問題，可以通過凸優(yōu)化工具包CVX［17］求解其全局最優(yōu)解。一旦求解出T，可以對T做奇異值分解得到權(quán)矩陣W［11］.

3 仿真實驗

假設(shè)陣列是由M＝10個陣元組成的ULA，相鄰陣元間距為半波長。快拍數(shù)N＝100.回波中包含5個干擾，干噪比（INR）均為20dB，來波方向分別為＝｛－55°，－53°，－51°，－20°，50°｝。接收機(jī)噪聲為高斯白噪聲。文章比較了5種算法的方向圖 綜 合 性 能：AMA 算 法［10］，RAB－SDP 算 法［15］，RAB－SDP－WC算 法［5］，RCB 算 法［14］和 文 中 算 法（11）。RCB算法的導(dǎo)向矢量誤差的l2范數(shù)的平方上界為εc＝0.35M.假定感興趣信號的方位角為θ0＝0°，功率為σ20＝10dB.回波中一直包含感興趣信號。在下面的仿真中，陣列方向圖是通過1次實驗得到的，而信干噪比和功率估計則是通過100次蒙特卡洛實驗平均得到的。AMA算法關(guān)于方向圖控制的參數(shù)如下：半功率波束寬度為10°，相應(yīng)的旁瓣區(qū)是（－90°，－18°）和（18°，90°），峰值旁瓣電平為－15dB.RAB－SDP算法、RAB－SDP－WC算法和文中算法的穩(wěn)健角域均為（－5°，5°）。對于一個給定的起伏 量 r＝0.3dB，RAB－SDP 算 法 和 RABSDP－WC算法在穩(wěn)健角域的響應(yīng)起伏的上下界可分別由U＝10r／20和L＝10－r／20確定［15］。假設(shè)根據(jù)一定的先驗信息，文中算法需要壓低旁瓣響應(yīng)的特定角域為（－60°，－40°），而且該角域的旁瓣電平不能大于ζ＝－40dB.

仿真1：方向圖性能（見圖1和圖2，其中橫虛線表示0dB，6條豎虛線分別表示信號和5個干擾的來波方向）

在本仿真中，假設(shè)存在3°的角度誤差，即信號的真實來波方向為3°.圖1給出了文中算法在不同的歸一化參數(shù)εr下的方向圖對比結(jié)果。另外，為了說明在不同的參數(shù)εr文中算法對處于（－60°，－40°）之間的3個相鄰較近的干擾的抑制能力，圖1還給出了方向圖在角域（－55°，－51°）之間的增益放大圖。從圖1可以看出，由于約束穩(wěn)健角域的響應(yīng)不衰減，所提算法對角度誤差具有很好的穩(wěn)健性。當(dāng)εr＝0時，文中算法的旁瓣較高，因為在這種情況下，其對有限樣本引起的高旁瓣問題不能抑制。但當(dāng)εr＞0時，文中算法不但能夠精確地控制方向圖的主瓣響應(yīng)和特定角域的低增益，而且能很好地抑制有限樣本引起的方向圖高旁瓣問題。

圖1 文中算法在不同歸一化因子下的方向圖

圖2比較了εr＝0.1時上述5種算法的方向圖。為了比較5種算法對處于（－60°，－40°）之間的3個相鄰較近的干擾的抑制能力，在圖2中還給出了方向圖在角域（－55°，－51°）之間的增益放大圖。從圖2可以看出，文中算法在保證信號來波方向的響應(yīng)不衰減的同時，很好地抑制了干擾，特別對于處于（－60°，－40°）之間的3個相鄰較近的干擾，通過壓低該角域的旁瓣響應(yīng)很好地將其抑制了。其他4種算法只是通過最小化輸出功率在干擾方向自適應(yīng)地形成零陷來抑制干擾，由于處于（－60°，－40°）之間的3個干擾在方位上相距較近，方向圖并不能在這3個干擾的來波方向都形成零陷，此時其他4種算法對這3個干擾，特別是－55°和－51°的這兩個干擾的抑制能力較差。另外，AMA算法只約束半功率點內(nèi)的方向圖增益大于－3dB，在信號的真實來波方向的增益并不是無畸變的［10］。RAB－SDP算法的旁瓣較高，因為RAB－SDP算法只約束了穩(wěn)健角域的響應(yīng)起伏，并沒有考慮有限樣本引起的協(xié)方差矩陣估計失配的影響［5］。

仿真2：輸出SINR對歸一化參數(shù)εr的敏感性

圖2 文中算法和其他四種算法的方向圖比較

在本仿真中，仿真條件與仿真1的相同。從文獻(xiàn)［5］可知，由于協(xié)方差矩陣的估計誤差的F－范數(shù)未知，因此穩(wěn)健算法的性能最好對參數(shù)εr不敏感。圖3給出了文中算法在不同的快拍數(shù)下隨歸一化參數(shù)εr的變化曲線。從圖3可以發(fā)現(xiàn)，對于樣本數(shù)為無窮的情況，即使εr＝0，文中算法也有很好的性能。因為其不但對角度誤差穩(wěn)健性很好（見圖1的方向圖），而且樣本數(shù)為無窮時方向圖不存在高旁瓣問題。對于樣本數(shù)有限的情況，εr＝0時文中算法的性能較差，因為此時方向圖存在高旁瓣。但當(dāng)εr≠0以后，由于考慮了有限樣本引起的協(xié)方差矩陣估計誤差的影響，其輸出SINR對εr的變化不敏感。

圖3 不同快拍數(shù)下文中算法的輸出SINR隨歸一化參數(shù)εr的變化曲線

仿真3：輸出SINR隨校正誤差方差的變化關(guān)系

假設(shè)信號的來波方向準(zhǔn)確已知，而陣列存在校正誤差［3］，即其中誤差矢量e的每個元素服從均值為0方差為的復(fù)高斯分布。圖4給出了文中算法在不同的歸一化參數(shù)εr下的輸出SINR隨的變化曲線。從圖4可以看出：只要εr＞0，所提算法對校正誤差方差的變化比較穩(wěn)健。

圖4 不同的歸一化參數(shù)εr下文中算法的輸出SINR隨校正誤差方差的變化曲線

仿真4：文中算法和其他4種算法的輸出SINR對比

在本仿真中，仿真條件與仿真3的相同。圖5比較了文中算法和其他4種算法的輸出SINR隨校正誤差方差σ2e的變化曲線。從圖5可以看出：文中算法的輸出SINR在σ2e的變化范圍內(nèi)都高于其他4種算法，因為其通過約束（－60°，－40°）的旁瓣響應(yīng)將處于其間的3個相鄰較近的干擾很好地抑制了，而且還保證了陣列在信號的來波方向的響應(yīng)不衰減。RCB算法只有當(dāng)校正誤差的l2范數(shù)的平方小于參數(shù)εc時性能較好，但當(dāng)校正誤差較大，特別是超出εc所確定的不確定集時，性能有較大的下降。AMA算法由于只約束方向圖的參數(shù)［10］，對誤差不具有自適應(yīng)的穩(wěn)健性，因此性能較差。RAB－SDP算法只約束了穩(wěn)健角域的響應(yīng)起伏，對校正誤差和有限樣本引起的協(xié)方差矩陣估計誤差不具有穩(wěn)健性，性能最差。RAB－SDP－WC算法考慮了校正誤差和有限樣本對協(xié)方差矩陣估計的影響，因此性能要好于RAB－SDP算法和AMA算法。

仿真5：文中算法和其他4種算法的功率估計對比

圖5 不同算法的輸出SINR隨校正誤差方差的變化曲線

在本仿真中，假設(shè)存在5°的角度誤差，即信號的真實來波方向為5°.此時RCB算法的參數(shù)εc＝0.5M.表1給出了不同樣本情況下5種算法的輸出SINR和功率估計。當(dāng)樣本數(shù)為無窮（理想的協(xié)方差矩陣）時，參數(shù)εr＝0.001；當(dāng)樣本數(shù)為10時，εr＝0.2.從表1可以看出：當(dāng)理想的協(xié)方差矩陣已知時，5種算法的功率估計都較準(zhǔn)確，但文中算法的功率估計更準(zhǔn)確。另外，由于協(xié)方差矩陣為理想的協(xié)方差矩陣，RAB－SDP算法不受有限樣本引起的高旁瓣影響，此時RAB－SDP算法和RAB－SDP－WC算法的輸出SINR只相差0.02dB.AMA算法由于只約束半功率點的響應(yīng)大于－3dB，在信號的來波方向增益不是無衰減的，而且對（－60°，－40°）內(nèi)的3個干擾的抑制能力較差（見圖2），因此，輸出SINR最低。雖然RCB算法的功率估計對參數(shù)εc不敏感［14］，但是由于導(dǎo)向矢量誤差的l2范數(shù)的平方ε0＝15.230 2大于參數(shù)εc，輸出SINR較差。與前4種算法相比，文中算法的輸出SINR更高。當(dāng)樣本數(shù)較少時，RAB－SDP算法由于高旁瓣問題功率估計和輸出SINR都有較大的下降。其他4種算法很好地抑制了小樣本引起的方向圖高旁瓣問題，因此，在小樣本情況下功率估計與樣本數(shù)無窮時相比基本沒怎么下降。在這種情況下，文中算法的功率估計仍然是最準(zhǔn)確的。另外，在小樣本情況下，文中算法的輸出SINR雖然相比樣本數(shù)無窮的時候有所下降，但在5種算法中仍然是最高的。AMA算法和RCB算法的輸出SINR雖然對樣本數(shù)的變化不敏感，但對于較大的角度誤差，它們的輸出SINR始終比文中算法低。

表1 不同樣本情況下五種算法的信號功率和SINR估計

4 結(jié) 論

文章提出了一種特定角域低增益的穩(wěn)健方向圖綜合算法。該算法不但保證了穩(wěn)健角域的響應(yīng)不衰減和特定角域的低旁瓣，而且考慮了有限樣本和未知誤差對協(xié)方差矩陣估計的影響。仿真結(jié)果表明所提算法具有很好的穩(wěn)健性、較高的輸出信干噪比和較準(zhǔn)確的信號功率估計。

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