平面人工傳輸線等效集總參數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式的研究

楊歆汨 郭輝萍 王 瑩 房尚斌 劉學(xué)觀

（蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇 蘇州215021）

引 言

在微波無(wú)源器件小型化的研究中，各種慢波結(jié)構(gòu)一直受到人們的關(guān)注。近年來(lái)臺(tái)灣科技大學(xué)WANG等人提出的平面人工傳輸線（PATL）是一種具有良好特性的新型慢波結(jié)構(gòu)［1］。它基于微帶形式構(gòu)建，由準(zhǔn)集總元件周期級(jí)聯(lián)組成，每一個(gè)級(jí)聯(lián)單元如圖1所示。平面人工傳輸線具有類似于普通慢波結(jié)構(gòu)的串聯(lián)電感－并聯(lián)電容元件的基本架構(gòu)，此外，它在串聯(lián)電感元件的位置還額外并聯(lián)了電容元件，這使得它的微波性能和普通慢波結(jié)構(gòu)相比更具優(yōu)勢(shì)。例如特性阻抗隨頻率的變化減緩，相移常數(shù)隨頻率變化的線性度更好。PATL還有可調(diào)節(jié)的高頻阻帶，有利于實(shí)現(xiàn)無(wú)源器件的諧波抑制特性。

目前，人們已經(jīng)利用PATL研制出一些典型的高性能小型化微波無(wú)源器件［2－6］，展現(xiàn)了PATL的優(yōu)點(diǎn)。

由圖1可以看到：PATL單元主要由微帶準(zhǔn)集總元件如彎曲線電感、交指電容組成，這些元件的等效集總參數(shù)值和元件的結(jié)構(gòu)尺寸以及介質(zhì)基板厚度、介電常數(shù)之間存在比較復(fù)雜的關(guān)系，純粹靠手工調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)PATL單元既耗時(shí)也難以保證準(zhǔn)確度，而僅采用仿真軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)也十分費(fèi)時(shí)。本文針對(duì)這一問(wèn)題，對(duì)微帶彎曲線電感、交指電容的等效集總參數(shù)與各種依賴因素的相互關(guān)系做系統(tǒng)研究，得到描述這些關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，從而為PATL結(jié)構(gòu)的快速準(zhǔn)確設(shè)計(jì)提供有力的支持。

圖1 平面人工傳輸線單元結(jié)構(gòu)示意圖

1 彎曲線電感等效集總參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式

組成PATL的彎曲線電感如圖2（a）所示，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為線寬wm，線間隙gm，縱向彎曲長(zhǎng)度lm以及彎折數(shù)nm.當(dāng)彎曲線電感的物理尺寸遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)時(shí)，它可以看作一個(gè)集總電感Lm，另外金屬?gòu)澢€與地之間還存在寄生電容Cl，因此，彎曲線電感等效為如圖2（b）所示的π型二端口網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納參數(shù)Y11、Y21和等效集總參數(shù)的關(guān)系為

利用數(shù)值仿真軟件HFSS可以得到微帶彎曲線電感的導(dǎo)納參數(shù)，將之代入式（1），便能求出等效集總參數(shù)Lm、Cl.利用這一方法可求出彎曲線電感在不同結(jié)構(gòu)尺寸下的集總參數(shù)Lm、Cl，進(jìn)而擬合出Lm、Cl與結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系式。實(shí)際上，僅調(diào)節(jié)縱向彎曲長(zhǎng)度lm就能實(shí)現(xiàn)較大范圍的電感值，滿足很多場(chǎng)合的需要，因此這里只研究Lm、Cl關(guān)于lm的經(jīng)驗(yàn)公式，而將線寬wm和線間隙gm設(shè)為恒定值0.2 mm，彎折數(shù)nm固定為6（如圖2（a）），同時(shí)設(shè)定微帶線介質(zhì)基板厚度t＝0.508mm，介電常數(shù)εr＝3.38.嚴(yán)格來(lái)講，利用式（1）求得的等效集總參數(shù)是頻率色散的，考慮到波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于彎曲線尺寸時(shí)色散微弱，為使行文簡(jiǎn)潔，我們選擇在固定頻率915MHz上考察Lm和Cl的經(jīng)驗(yàn)公式。

圖2 微帶彎曲線的電感示意圖及其π型等效集總電路

1.1 等效集總電感Lm的經(jīng)驗(yàn)公式

在0.4mm至4mm范圍內(nèi)取若干離散lm值，仿真得到對(duì)應(yīng)于這些lm點(diǎn)的Lm值，然后利用Matlab的nlinfit函數(shù)對(duì)Lm進(jìn)行非線性擬合［7］，這里采用文獻(xiàn)［8］中細(xì)長(zhǎng)直微帶線等效電感的解析公式作為L(zhǎng)m擬合曲線的回歸函數(shù)模型，最終得到微帶彎曲線的等效集總電感Lm經(jīng)驗(yàn)公式為

該經(jīng)驗(yàn)公式擬合曲線的效果如圖3（a）所示。

1.2 等效集總電容Cl的經(jīng)驗(yàn)公式

采用和擬合lm曲線相同的方法對(duì)微帶彎曲線的等效對(duì)地電容Cl和lm的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合，得到Cl經(jīng)驗(yàn)公式為

式中0.4mm≤lm≤4mm.該經(jīng)驗(yàn)公式擬合曲線的效果如圖3（b）所示。

圖3 等效集總參數(shù)關(guān)于lm的曲線擬合效果

2 交指電容等效集總參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式

用于構(gòu)造PATL的微帶交指電容如圖4（a）所示，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為指寬wd、交指間隙gd、交指長(zhǎng)度ld以及交指數(shù)目nd（定義為左右交指數(shù)目的平均值），此外該交指結(jié)構(gòu)兩端還各有一段長(zhǎng)度分別為lo的微帶延長(zhǎng)線。當(dāng)交指電容的物理尺寸遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)時(shí)，它可以看作一個(gè)集總電容Cd，另外金屬交指連同交指兩端的延長(zhǎng)線對(duì)地有寄生電容，分別用Cj1、Cj2表示，因此，交指電容等效為如圖4（b）所示的π型二端口等效網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納參數(shù)Y11、Y22、Y21和各個(gè)等效集總參數(shù)的關(guān)系為

圖4 微帶交指電容結(jié)構(gòu)示意圖及其π等效集總電路

類似于彎曲線電感，我們借助HFSS仿真和式（4）求出交指電容在不同結(jié)構(gòu)尺寸下的等效集總參數(shù)Cd、Cj1和Cj2，進(jìn)而擬合出它們與結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系式。鑒于在實(shí)際PATL的應(yīng)用中Cj1和Cj2以并聯(lián)的形式成對(duì)出現(xiàn)［1］，所以將Cj1和Cj2合并為一個(gè)整體CN＝Cj1＋Cj2后再進(jìn)行公式擬合。同上一節(jié)，選取微帶介質(zhì)基板厚度t＝0.508mm，介電常數(shù)εr＝3.38，考察頻率為915MHz.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里僅研究交指數(shù)目nd和交指長(zhǎng)度ld影響Cd、CN的經(jīng)驗(yàn)公式，而將交指寬和交指間隙固定為wd＝gd＝0.2 mm.微帶延長(zhǎng)線長(zhǎng)度固定為lo＝2mm.這是因?yàn)楫?dāng)交指寬wd等于交指間隙gd時(shí)，交指結(jié)構(gòu)的電容密度達(dá)到最大［10］，此時(shí)僅靠調(diào)節(jié)nd和ld就能獲得較大的Cd變化范圍。

2.1 等效集總電容Cd的經(jīng)驗(yàn)公式

圖5給出了不同nd和ld取值情況下的等效電容Cd仿真結(jié)果以及根據(jù)這些離散數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合得到的Cd曲線，相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式為

式中：2mm≤ld≤2.9mm；nd＝1，1.5，2，…，5.

2.2 等效集總電容CN的經(jīng)驗(yàn)公式

影響CN大小的主要是微帶延長(zhǎng)線的長(zhǎng)和寬（分別由lo和nd決定，其中l(wèi)o固定），而ld對(duì)CN影響較小，因此，這里只考慮CN隨nd變化的關(guān)系?？紤]到nd只能以0.5為間隔取一系列離散值（nd＝1，1.5，2，2.5，…），所以這里直接給出CN在不同nd時(shí)的仿真值：

圖5 等效集總電容Cd關(guān)于nd、ld的曲線擬合效果

3 考慮介質(zhì)基板厚度和介電常數(shù)影響的修正經(jīng)驗(yàn)公式

前面介紹的經(jīng)驗(yàn)公式僅適用于在厚度t＝0.508mm，介電常數(shù)εr＝3.38的介質(zhì)基板上設(shè)計(jì)PATL，使用范圍非常局限。本節(jié)進(jìn)一步討論介質(zhì)基板厚度和介電常數(shù)對(duì)微帶彎曲線和微帶交指電容的等效集總參數(shù)Lm、Cl、Cd、CN的影響（wm、gm、wd、gd和lo維持不變），進(jìn)而總結(jié)出適用于不同基板厚度和介電常數(shù)的修正經(jīng)驗(yàn)公式。

3.1 等效集總電感Lm的修正經(jīng)驗(yàn)公式

修正后的微帶彎曲線等效集總電感Lm經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)同時(shí)包含彎曲線縱向彎曲長(zhǎng)度lm，介質(zhì)基板厚度t，以及基板介電常數(shù)εr的影響。若將lm、εr分別固定為1.5mm、3.38，在0.3至3.3mm 范圍內(nèi)取一系列離散的t值并仿真求出相應(yīng)的Lm值，可以根據(jù)所得數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合出Lm關(guān)于t的函數(shù)：

若將lm、t分別固定為1.5mm、0.508mm，在2.1至10.2范圍內(nèi)取一系列離散的εr值并仿真計(jì)算相應(yīng)的Lm值，可以根據(jù)所得數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合出Lm關(guān)于εr的函數(shù)：

大量仿真和計(jì)算表明：當(dāng)lm、εr取不同值時(shí)，t對(duì)Lm的影響都近似體現(xiàn)為在式（2）的基礎(chǔ)上乘上一個(gè)只和t相關(guān)的比例因子；當(dāng)lm、t取不同值時(shí)，εr對(duì)Lm的影響都近似體現(xiàn)為在式（2）的基礎(chǔ)上乘上一個(gè)只和εr相關(guān)的比例因子。因此，將特殊情況下得到的式（7）和式（8）分別對(duì)t＝0.508mm、εr＝3.38歸一化，然后將它們與式（2）相乘便得到適用于不同介質(zhì)基板厚度和介電常數(shù)的Lm修正經(jīng)驗(yàn)公式

式中：0.4mm≤lm≤4mm；0.3mm≤t≤3.3mm；2.1≤εr≤10.2.

3.2 等效集總電容Cl的修正經(jīng)驗(yàn)公式

類似于Lm，微帶彎曲線等效集總電容Cl的修正經(jīng)驗(yàn)公式可以通過(guò)將式（3）乘上一個(gè)與t相關(guān)的比例因子以及一個(gè)與εr相關(guān)的比例因子來(lái)得到。在lm、εr分別為1.5mm、3.38的特殊情況下擬合出Cl關(guān)于t的函數(shù)：

在lm＝1.5mm、t＝0.508mm這一特殊情況下擬合出Cl關(guān)于εr的函數(shù)：

將式（10）和式（11）分別對(duì)t＝0.508mm、εr＝3.38歸一化便得到上述兩個(gè)比例因子。因此，計(jì)入介質(zhì)基板厚度和介電常數(shù)影響的Cl修正經(jīng)驗(yàn)公式為

式中：0.4mm≤lm≤4mm；0.3mm≤t≤3.3mm；2.1mm≤εr≤10.2.

3.3 等效集總電容Cd的修正經(jīng)驗(yàn)公式

大量仿真和計(jì)算表明：當(dāng)nd、ld、εr取不同值時(shí)，介質(zhì)基板厚度t對(duì)Cd的影響都近似體現(xiàn)為在式（5）的基礎(chǔ)上乘上一個(gè)只和t相關(guān)的比例因子；當(dāng)nd、ld、t取不同值時(shí)，基板介電常數(shù)εr對(duì)Cd的影響都近似體現(xiàn)為在式（5）的基礎(chǔ)上乘上一個(gè)只和εr相關(guān)的比例因子。在nd＝2.5、ld＝2.5mm、εr＝3.38的特殊情況下擬合出Cd關(guān)于t的函數(shù)：

在nd＝2.5、ld＝2.5mm、t＝0.508mm 的特殊情況下擬合出Cd關(guān)于εr的函數(shù)：

將式（13）和式（14）分別對(duì)t＝0.508mm、εr＝3.38歸一化便得到上述兩個(gè)比例因子。最終，考慮了介質(zhì)基板厚度和介電常數(shù)影響的Cd修正經(jīng)驗(yàn)公式為

式中：2mm≤ld≤2.9mm；nd＝1、1.5、2…5；0.3 mm≤t≤2mm；2.1≤εr≤10.2.

3.4 等效集總電容CN的修正經(jīng)驗(yàn)公式

同上，CN的修正經(jīng)驗(yàn)公式可以通過(guò)將式（6）乘上一個(gè)和t相關(guān)的比例因子以及一個(gè)和εr相關(guān)的比例因子來(lái)得到。在nd＝2.5、ld＝2.5mm、εr＝3.38的特殊情形下擬合出CN關(guān)于t的函數(shù)：

在nd＝2.5、ld＝2.5mm、t＝0.508mm 的特殊情形下擬合出CN關(guān)于εr的函數(shù)：

將式（16）和式（17）分別對(duì)t＝0.508mm、εr＝3.38歸一化便得到上述兩個(gè)比例因子。因此，計(jì)入介質(zhì)基板厚度和介電常數(shù)影響的CN修正經(jīng)驗(yàn)公式為

式中：nd＝1，1.5，2…5；0.3mm≤t≤2mm；2.1≤εr≤10.2.

4 經(jīng)驗(yàn)公式的驗(yàn)證和應(yīng)用舉例—基于PATL的威爾金森功分器設(shè)計(jì)

PATL的設(shè)計(jì)分為兩個(gè)步驟，第一步是根據(jù)所需的特性阻抗和相移大小求出PATL各準(zhǔn)集總元件的等效集總參數(shù)值，第二步是根據(jù)等效集總參數(shù)值確定各準(zhǔn)集總元件的物理尺寸。本文所得修正經(jīng)驗(yàn)公式可大大簡(jiǎn)化第二步的實(shí)施，只要將已知PATL各準(zhǔn)集總元件的等效集總參數(shù)值代入經(jīng)驗(yàn)公式即可快速準(zhǔn)確的求出準(zhǔn)集總元件的物理尺寸。

圖6 基于平面人工傳輸線的威爾金森功分器樣品

作為應(yīng)用實(shí)例，本節(jié)利用上節(jié)總結(jié)的修正經(jīng)驗(yàn)公式設(shè)計(jì)一個(gè)基于PATL的Wilkinson功分器。該功分器的輸入輸出端口阻抗均為50Ω，因而它的兩段1／4波長(zhǎng)臂的特性阻抗為70.7Ω.選用介質(zhì)板厚t＝0.8mm且介電常數(shù)εr＝2.55的PATL在中心工作頻率915MHz上構(gòu)造這兩條臂，最終得到Wilkinson功分器樣品，如圖6所示。該功分器的物理尺寸為28mm×25mm，僅為傳統(tǒng)微帶線Wilkinson功分器面積的30%.

圖6中功分器的每條臂實(shí)際上不僅包括一個(gè)PATL單元，還包括兩段連接輸入和輸出端的普通微帶線，這兩段微帶線的電長(zhǎng)度之和約為10°，因此PATL單元的電長(zhǎng)度應(yīng)為80°.根據(jù)所需的特性阻抗（70.7Ω）和電長(zhǎng)度（80°）可求出 PATL單元各個(gè)等效集總參數(shù)的值［1］，再將這些值代入修正經(jīng)驗(yàn)公式就能很快求出PATL各準(zhǔn)集總元件的尺寸參數(shù)如下：lm＝2mm，ld＝2.8mm，nd＝3，這里各種線寬和線間距均為0.2mm.

這一功分器實(shí)測(cè)結(jié)果如圖7（a）所示，在中心頻率915MHz處，S21＝－3.25dB，S11＝－32.9dB，S22＝－29.2dB，S22＝－29.1dB，符合預(yù)期設(shè)計(jì)指標(biāo)?？梢?jiàn)，利用經(jīng)驗(yàn)公式設(shè)計(jì)PATL是行之有效的，能夠大大縮短基于PATL的微波器件的設(shè)計(jì)周期。另外，圖7（b）給出了功分器的S參數(shù)仿真結(jié)果，該結(jié)果是基于功分器的等效集總電路模型得到的，和實(shí)測(cè)結(jié)果基本一致。仿真和實(shí)測(cè)結(jié)果間的差別主要源于樣品加工誤差，以及經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)PATL損耗和等效集總參數(shù)頻率色散的忽略。

圖7 基于平面人工傳輸線的威爾金森功分器S參數(shù)實(shí)測(cè)結(jié)果和仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

借助數(shù)值仿真考察了微帶彎曲線電感和微帶交指電容兩種微帶準(zhǔn)集總元件的等效集總參數(shù)與元件結(jié)構(gòu)尺寸、基板厚度和介電常數(shù)間的相互關(guān)系，并總結(jié)出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式。這些經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)于由微帶彎曲線和交指構(gòu)成的慢波結(jié)構(gòu)如新型平面人工傳輸線的快速準(zhǔn)確設(shè)計(jì)有著重要意義。

本文的研究忽略了平面人工傳輸線的損耗，并假設(shè)其等效集總電路的各個(gè)元件的參數(shù)大小與頻率無(wú)關(guān)。在后續(xù)的研究中，我們將進(jìn)一步考慮金屬和介質(zhì)損耗以及等效集總元件的色散等因素，給出更為完善的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)公式。

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