幾種分形方法在圖像邊緣檢測中的應(yīng)用研究

吳立春

（重慶第二師范學(xué)院，重慶 400067）

1 引言

圖像邊緣檢測是計(jì)算機(jī)視覺和圖像處理中最基本最重要的研究內(nèi)容之一，是成功進(jìn)行圖像分析、圖像理解與圖像描述的關(guān)鍵技術(shù)。經(jīng)典的邊緣檢測方法，大都是以原始圖像為基礎(chǔ)，通過考察圖像的每個像素的某個鄰域內(nèi)灰度的變化，利用邊緣鄰近一階或二階方向?qū)?shù)變化規(guī)律用簡單的方法檢測邊緣。經(jīng)典的圖像邊緣檢測算法主要有梯度算子、拉普拉斯算子、Sobel算子、Prewitt算子、Roberts算子、Canny算子等，這些算法已經(jīng)取得了較好的處理效果。但這類方法也都存在邊緣像素寬、噪聲干擾較嚴(yán)重等缺點(diǎn)。而分形理論的應(yīng)用，為圖像邊緣檢測開拓了廣闊的前景。近年來，國內(nèi)外很多學(xué)者，都做了有關(guān)基于分形理論的圖像邊緣檢測方面的研究。本文的目的在于對國內(nèi)外已有這方面成果進(jìn)行總結(jié)、歸納，并指出它們存在的問題，為以后開展進(jìn)一步的研究工作打好基礎(chǔ)。

2 分形在圖像處理中的理論基礎(chǔ)

由于可以用簡單的迭代方法生成復(fù)雜的自然景物，用分維數(shù)可以有效度量物體的復(fù)雜性，因此分形與圖像之間存在著一種自然聯(lián)系，而正是這種聯(lián)系，奠定了分形理論用于圖像處理的基礎(chǔ)，開辟了圖像應(yīng)用的新領(lǐng)域，使得分形幾何理論在圖像處理領(lǐng)域成為許多科學(xué)工作者的研究課題。

羅強(qiáng)等［1］指出:任意一幅圖像都是有灰度的、非嚴(yán)格自相似，不具有整體與局部的自相似，也就是從整體上沒有明顯的確定性分形結(jié)構(gòu)。但是，圖像卻存在局部之間的自相似，即從局部上存在一定程度的近似的分形結(jié)構(gòu)。由于存在局部之間的自相似性，就可以構(gòu)造圖像的迭代函數(shù)。分形幾何中的壓縮映射定理，就可以保證局部迭代函數(shù)的收斂；而分形幾何中的拼貼定理，就允許一個完整圖像分成若干個分形結(jié)構(gòu)，即構(gòu)成一個迭代函數(shù)系統(tǒng)。有了這個迭代函數(shù)系統(tǒng)，就必然決定了唯一的分形圖形。這個圖形被稱為迭代函數(shù)系統(tǒng)的吸引子。因此，壓縮映射定理和拼貼定理，構(gòu)成了分形在圖像處理的核心部分。

3 多種分形方法提取圖像邊緣

3.1 單一分形方法

3.1.1 基于分形編碼的圖像邊緣檢測

一副圖中的一個迭代函數(shù)系統(tǒng)的吸引子與原圖像存在著差異，圖像中的每個子圖分形結(jié)構(gòu)也不同程度存在差異，子圖的分形失真度大小不一。處在邊緣區(qū)的子圖的分形失真度比較大，而處在平坦區(qū)或紋理區(qū)的子圖的分形失真度相對比較小。因此，我們利用圖像邊緣在分形中有這一性質(zhì)來提取圖像的邊緣。這就是利用分形編碼來提取圖像邊緣。但是，一般的分形編碼提取圖像邊緣時(shí)，分塊的搜索需要的計(jì)算時(shí)間太長。針對此問題，羅強(qiáng)等［1］提出了一種改進(jìn)的方法，采用自適應(yīng)四叉樹法和鄰近搜索法結(jié)合的思想，來提高工作效率。具體步驟如下:

（1）將圖像分成大小為2Rmax×2Rmax且互不重疊的子塊，這些子塊被稱為 Ri，R 的左上角位與（k，1）的位置上。

（2）搜索子塊Ri的最佳匹配父塊 Dj，以位置為中心，在2L×2L范圍內(nèi)尋找Ri的最佳匹配父塊Dj。

（3）在搜索過程中，若它們的失真度小于ε，則停止尋找其最佳匹配父塊。若最佳匹配父塊Dj的最小失真度大于ε，則記錄子塊和父塊的位置。

（4）重復(fù)（2）、（3）步驟，直至所有最大子塊都尋找了。

（5）如果把失真度大于ε的子塊均劃分四塊，則把它對應(yīng)的父塊作為鄰近搜索范圍區(qū)域，此時(shí)取i＝i＋1，每一個子塊取為 2Rmax－i×2Rmax－i，在其對應(yīng)范圍搜索其最佳匹配父塊（大小為 2Rmaxj＋1×2Rmax－j＋1）。在搜索過程中，若它們的失真度小于ε，則停止尋找其最佳匹配父塊，記下失真度大于ε的子塊和父塊的各自位置。

（6）重復(fù)（5）步驟，直至所有大于ε的子塊都為2Rmax×2Rmax。

（7）把失真度大于ε的子塊變成邊緣測度空間，應(yīng)用零交叉法進(jìn)一步提取圖像邊緣。

（5）二值化處理后得到圖像的邊緣。

3.1.2 基于離散分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)模型的圖像邊緣檢測

自然界中大多數(shù)的現(xiàn)象在總體分布上具有統(tǒng)計(jì)自相似性。Mandelbrot采用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動這一數(shù)學(xué)模型來加以描述。Plentland證明了自然界大多數(shù)的表面是空間各向同性的分形，且它們的表面映射成的灰度圖像是具有相同分形特性的分形表面［2］。因此，分形模型是描述自然景物的有效方法。同一圖像區(qū)域的灰度表面具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，它們滿足分形模型。當(dāng)采用模型提取它的特征參數(shù)時(shí)，在不同區(qū)域的交界處，這種分形的一致性將被破壞，在此求出的分形參數(shù)H值將會偏離其理論值的范圍，稱偏離H參數(shù)理論值域的H參數(shù)為H參數(shù)的奇異值。正是這些H值發(fā)生奇異的位置提供了不同區(qū)域交界處的位置。因此，根據(jù)這些，H值則可以進(jìn)行邊緣檢測。該H參數(shù)值為:

式中，Nr為到點(diǎn)（x0，y0）之間距離為 r的像素點(diǎn)數(shù)。

H參數(shù)的計(jì)算可以按（1）式，但不能滿足實(shí)時(shí)處理的要求。為簡化計(jì)算，在圖像中任一點(diǎn)（x0，y0）處設(shè)置n×n矩形窗口。在計(jì)算H參數(shù)時(shí)，僅需計(jì)算n×n、3×3 窗口邊界上象點(diǎn)與中心象點(diǎn)（x0，y0）之間的灰度絕級差值的均值即可。其中，n取值較大時(shí)，邊緣檢測的結(jié)果將遺漏較多的重要細(xì)節(jié)，且檢測的邊緣也較粗；當(dāng)n取值較小時(shí)，抗干擾性能較差。一般取n＝3較好。由圖像區(qū)域的分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場模型及以上H參數(shù)的估算方法可得出邊緣檢測準(zhǔn)則:

應(yīng)用該種方法，許杰等［3］提出了基于分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)模型的X線影像邊緣檢測算法，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明，應(yīng)用該算法可以準(zhǔn)確判斷出X線影像的邊緣。董文明等［4］提出了一種新的基于分形特征參數(shù)的目標(biāo)邊緣檢測方法。算法基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的方差性質(zhì)提出一種改進(jìn)的分形維數(shù)及其截距特征參數(shù)的計(jì)算方法，進(jìn)而將該分形維數(shù)與截距特征參數(shù)相結(jié)合，提出了一種基于分形特征參數(shù)的邊緣檢測算法。實(shí)驗(yàn)表明，算法可以有效地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)邊緣檢測，同時(shí)算法的運(yùn)算效率得到提高。

3.2 多重分形方法

分形有單一分形和多重分形，它們本質(zhì)上描述了對象的復(fù)雜性和自相似性。但單一的分形維數(shù)不能完全刻畫信號的特征，只能刻畫那些具有理想的自相似性的分形體。而多重分形譜比單一的分形維數(shù)能提供更多的信息，更適合于描述紋理。

研究表明，多重分形理論為圖像分析提供了強(qiáng)有力的工具。圖像邊緣可由局部的Holder指數(shù)α及整體的譜 f（α）來刻畫，f（α）表征了 α 出現(xiàn)頻率的多少。若 f（α）小于零，則表示 α 出現(xiàn)的頻率很少。f（α）＝1 對應(yīng)于規(guī)則輪廓，0≤f（α）＜1 對應(yīng)與角點(diǎn)、特殊點(diǎn)，1＜f（α）＜2對應(yīng)于非常不規(guī)則的邊緣。對圖像而言，測度μ常為圖像灰度的函數(shù)，可定義如下幾種測度，設(shè) Ω 為一個區(qū)域，I（x，y）為點(diǎn)（x，y）的灰度，則

邊緣檢測的步驟:

（1）求測度 μ（x，y）。首先取一系列領(lǐng)域半徑分別為:1，，然后由以上定義的測度公式，計(jì)算出響應(yīng)的測度。

（2）求 Holder指數(shù) α（x，y）及廣義維數(shù) D（x，y）。用最小二乘法擬合直線的斜率即可求出每點(diǎn)的α（x，y）及 D（x，y）。

（3）求譜 f（α（x，y））。利用步驟（2）所得數(shù)據(jù)，計(jì)算出每一點(diǎn)譜 f（α（x，y））。

（4）提取邊緣。當(dāng) f（α（x，y））≈1 時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)（x，y）為邊緣點(diǎn)。

張紅蕾等［5］用多重分形理論中的廣義維數(shù)譜作為邊緣檢測的依據(jù)，對原始SAR圖像的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)計(jì)算其奇異性指數(shù)和多重分形奇異譜，根據(jù)判決準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)邊緣檢測。張瑩等［6］通過定義在圖像灰度級上的測度，計(jì)算圖像中每一個像素點(diǎn)的奇異性和它的多重分形譜，然后根據(jù)多重分形譜，提取圖像的邊緣信息，將此方法應(yīng)用在變形性骨炎的診斷中，取得良好效果。

要進(jìn)行圖像的邊緣檢測的關(guān)鍵問題是計(jì)算多重分形奇異譜。只要在圖像中每個像素點(diǎn)上定義的測度有相應(yīng)的奇異性指數(shù)，就可以利用該方法。但由于每幅圖像的信息不同，所以在計(jì)算時(shí)用哪一種測度要根據(jù)具體情況而定。所以通過每幅圖像的分形特性和統(tǒng)計(jì)特性來決定測度的采用以及如何定義合適的測度是使用多重分形檢測圖像邊緣的關(guān)鍵也是難點(diǎn)。并且如何同時(shí)使用幾個測度來提高圖像邊緣的精度，是今后的一個重要研究方向。

3.3 利用人造目標(biāo)和自然背景的不同分形特征提取目標(biāo)邊緣

大量的研究表明，分形模型可以很好地描述自然背景的表面和空間結(jié)構(gòu)，但人造目標(biāo)不滿足分形模型，在用分形模型描述一幅包含人造目標(biāo)的自然背景圖像時(shí)，人造目標(biāo)區(qū)域和自然背景區(qū)域表現(xiàn)出不一樣的分形特征，正是可以根據(jù)這種分形特征的差異可以檢測出目標(biāo)。根據(jù)此原理，張東曉等［7］提出了一種多尺度分形目標(biāo)檢測方法，該目標(biāo)檢測算法分為圖像預(yù)處理、閾值分割、多尺度分形特征提取、目標(biāo)判定和區(qū)域生長五個步驟進(jìn)行。作者應(yīng)用該算法，進(jìn)行了艦船目標(biāo)檢測，實(shí)驗(yàn)證明該算法能準(zhǔn)確有效地檢測出目標(biāo)，具有較高的檢測率和較低的虛警率。吳志強(qiáng)等［8］提出將分形維數(shù)與幾何度量空間變化率進(jìn)行D－S融合處理，通過決策理論進(jìn)行圖像邊緣像素分類，有效地提取目標(biāo)邊緣，改善了目標(biāo)檢測性能?？朔嗽趶?fù)雜背景下，由于背景的干擾，在計(jì)算得到的分形特征圖中，目標(biāo)與背景的對比度不很明顯的問題。

4 結(jié)語

本文比較了幾種基于分形理論的邊緣檢測技術(shù)，針對不同分形特征的圖像可以選擇不同的算法，實(shí)際上無論哪一種算法在解決一定問題的同時(shí)也存在不同類型的缺陷?；诜中尉幋a的圖像邊緣檢測的方法比較復(fù)雜，并且搜尋邊緣的運(yùn)算時(shí)間較長；對自相似性比較強(qiáng)和隨機(jī)分布明顯的圖像進(jìn)行邊緣檢測，用基于DFBR場的邊緣檢測算法檢測出的邊緣更好些。應(yīng)用多重分形的方法提取圖像邊緣可以得到更多的圖像信息，但關(guān)鍵問題是如何定義合適的測度。實(shí)質(zhì)上邊緣檢測作為視覺的初級階段，通常認(rèn)為是一個非良態(tài)問題，很難從根本上解決。因而，尋求算法較簡單、能較好解決邊緣檢測精度與抗噪聲性能協(xié)調(diào)問題的邊緣檢測算法將一直是圖像處理與分析中研究的主要問題之一，還有待許多工作進(jìn)一步研究。

［1］羅強(qiáng)，任慶利.基于分形理論的圖像邊緣提取方法.通信學(xué)報(bào).2001，11，104－109.

［2］薛東輝，朱耀庭.朱光喜.基于DFBIR場的圖像邊緣提取的一種新方法.信號處理.Vol，12，No.1，l996.

［3］許杰，馮馳，高云麗，李含平，孫龍.基于分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)模型的X線影像邊緣檢測算法的探索與實(shí)踐.東南大學(xué)學(xué)報(bào)（醫(yī)學(xué)版）.2011，Apr；30（2）:336－340.

［4］董文明，吳樂華，姜德雷.基于分形特征參數(shù)的目標(biāo)邊緣檢測算法.光電工程.2009，36（6），21－25.

［5］張紅蕾，宋建社，張憲偉.一種基于多重分形的SAR圖像邊緣檢測方法.電光與控制.2007，10（5），86－88.

［6］張瑩，王紹源，基于多重分形的醫(yī)學(xué)圖像邊沿分析.微計(jì)算機(jī)信息.2009，3，248－250.

［7］張東曉，何四華，楊紹清.一種多尺度分形的艦船目標(biāo)檢測方法.激光與紅外.2009，29（3），315－318.

［8］吳志強(qiáng)，吳樂華，袁寶峰，周道華.基于分形特征融合的目標(biāo)邊緣檢測算法.電光與控制.2010，17（10），16－19.

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