基于蒙特卡羅法的失真度測(cè)量不確定度分析

葉春生，武曉東，周 健

(天津市河西區(qū)計(jì)量檢定所 天津 300191)

0 引 言

測(cè)量不確定度是指測(cè)量結(jié)果變化的不肯定，是與測(cè)量結(jié)果關(guān)聯(lián)的一個(gè)參數(shù)，用以表征被測(cè)量值的分散性。[1]基于快速傅里葉變換的失真度測(cè)量方法(以下簡(jiǎn)稱“FFT失真度”)是通過快速傅里葉變換獲得基波和各次諧波分量，通過計(jì)算獲得波形的總諧波失真度。[2]目前對(duì) FFT失真度測(cè)量不確定度評(píng)定的研究還不健全，缺乏完整、客觀和準(zhǔn)確的評(píng)定方法。ISO發(fā)布的《測(cè)量不確定度評(píng)定指南》(GUM)提出，測(cè)量結(jié)果必須表明結(jié)果的測(cè)量不確定度，其不確定度可以作為下一個(gè)測(cè)量結(jié)果的不確定度分量，它們是可以傳播的。[3]但是現(xiàn)在常用的測(cè)量不確定度判定有 A類評(píng)定，即重復(fù)性統(tǒng)計(jì)分析方法和 B類評(píng)定，即非統(tǒng)計(jì)分析方法。這兩種分析方法在 FFT失真度的不確定度的評(píng)定中都受到各種相關(guān)量的非線性、分布規(guī)律、誤差源、環(huán)境溫度等的影響和限制，因此難以對(duì)FFT失真度進(jìn)行完整評(píng)定。本文提出了基于蒙特卡羅方法的FFT失真度不確定度評(píng)定方法。

1 蒙特卡羅法FFT失真度不確定度評(píng)定原理

蒙特卡羅方法(Monte Carlo Method)也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算方法，以偽隨機(jī)抽樣獲得服從特定概率分布的隨機(jī)數(shù)，并以此模擬測(cè)量過程中的各種隨機(jī)誤差。蒙特卡羅方法在不確定度的評(píng)定中通過對(duì)輸入量按照特定的概率分布采樣，由測(cè)量模型傳播輸入量的分布，計(jì)算輸出量的分布函數(shù)，進(jìn)而獲取輸出量(被測(cè)量)的最佳估計(jì)值和不確定度。[4]其平均值為：

失真度是評(píng)價(jià)信號(hào)偏離純正信號(hào)的程度，其定義為信號(hào)中全部諧波電壓的有效值與基波電壓的有效值之比。[5]如下面公式所示：

式中：U1——基波信號(hào)的有效值電壓；U2～Un——各次諧波信號(hào)的有效值電壓。

本文的 FFT失真度是通過快速傅里葉變換(FFT)獲得基波和各次諧波分量的電壓有效值，代入公式(3)獲得總諧波失真度。根據(jù)傅里葉變換原理，把周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)為：[6]

由于(6)式的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)雜，不易得到(5)式精確的不確定度傳遞公式，而蒙特卡羅法適用于偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算困難的模型，因此對(duì)于 FFT失真度不確定度的評(píng)定蒙特卡羅法尤為適合。

本文構(gòu)造了基于虛擬儀器技術(shù)的 FFT失真度測(cè)量系統(tǒng)，正弦波信號(hào)由 NI USB-6210數(shù)據(jù)采集卡采集到計(jì)算機(jī)，使用Labview對(duì)采集的信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，產(chǎn)生被測(cè)信號(hào)的幅值-頻率譜，對(duì)產(chǎn)生的幅值-頻率譜進(jìn)行分析和計(jì)算，求出各次諧波分量及其有效值，就可得到被測(cè)信號(hào)的失真度。被測(cè)信號(hào)的不確定度的評(píng)定是通過蒙特卡羅法進(jìn)行評(píng)定，其評(píng)定傳播模型如圖 1所示，不同概率分布的輸入量，經(jīng)過數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)分析模型傳播，得到輸出量概率分布的過程。

圖1 失真度評(píng)定傳播模型Fig.1 Model of FFT distortion evaluation and propagation

綜上所述，應(yīng)用蒙特卡羅法進(jìn)行FFT失真度不確定度的評(píng)定就是對(duì)數(shù)據(jù)采集模塊和數(shù)據(jù)處理模塊誤差源及其統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行分析和評(píng)估，再累加到采樣信號(hào)，依靠隨機(jī)抽樣進(jìn)行M次模擬仿真建立概率模型，依據(jù)概率模型得到參數(shù)的估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度。[7]

2 蒙特卡羅法FFT失真度測(cè)量不確定度評(píng)定

2.1 數(shù)據(jù)采集模塊測(cè)量不確定度來源

FFT失真度數(shù)據(jù)采集模塊主要是通過 NI USB-6210數(shù)據(jù)采集卡進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，其測(cè)量不確定度來源就是數(shù)據(jù)采集卡的誤差源。

NI USB-6210數(shù)據(jù)采集卡的誤差源主要有增益誤差及其溫度系數(shù)、偏移誤差及其溫度系數(shù)、積分非線性、微分非線性、噪聲、多通道道間干擾、靈敏度、量化誤差、時(shí)間轉(zhuǎn)換間隔、A/D轉(zhuǎn)換精度等，其中噪聲誤差可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，其余誤差源可以認(rèn)為服從均勻分布，誤差源數(shù)據(jù)可以從數(shù)據(jù)采集卡技術(shù)指標(biāo)得到，如表 1所示，其中選擇的測(cè)量范圍為-5～5,V，基準(zhǔn)溫度為 5,℃，環(huán)境溫度為 25,℃，測(cè)量幅值為2,V。

表1 數(shù)據(jù)采集卡技術(shù)指標(biāo)及其誤差概率分布Tab.1 DAQ technical indexes and its error probability distribution

2.2 數(shù)據(jù)處理模塊(FFT)測(cè)量不確定度來源

數(shù)據(jù)處理模塊是利用快速傅里葉變換(FFT)把時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)，通過分析基波和各次諧波的能量而得到正弦波失真度，在進(jìn)行 FFT運(yùn)算時(shí)會(huì)產(chǎn)生混疊、柵欄效應(yīng)和頻譜泄露，因而引入運(yùn)算誤差。該誤差源數(shù)據(jù)可以認(rèn)為服從反正弦分布，其相對(duì)誤差數(shù)據(jù)為0.003,8%；[8]FFT量化誤差也是FFT測(cè)量不確定度的來源，該誤差源數(shù)據(jù)可以認(rèn)為服從均勻分布，其相對(duì)誤差可以控制在0.001,5%，如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)采集模塊(FFT)誤差及其概率分布Tab.2 FFT errors and their probability distribution

2.3 蒙特卡羅法FFT失真度測(cè)量不確定度評(píng)定

FFT失真度測(cè)量誤差由數(shù)據(jù)采集模塊和數(shù)據(jù)處理模塊的誤差數(shù)據(jù)累加而成，依據(jù)誤差源數(shù)據(jù)和其所服從的各種概率分布隨機(jī)抽樣，經(jīng)M 次蒙特卡羅仿真，得到偽測(cè)量誤差，，依據(jù) FFT失真度測(cè)量公式(5)，建立蒙特卡羅FFT失真度的數(shù)學(xué)模型：

2.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在實(shí)驗(yàn)室條件下，環(huán)境溫度為 25,℃，采用本文基于虛擬儀器技術(shù)構(gòu)造的失真度測(cè)量系統(tǒng)對(duì) EGC-1C型智能心腦電圖機(jī)檢定儀輸出的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本文使用GUM法和蒙特卡羅發(fā)對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度進(jìn)行評(píng)定，以驗(yàn)證蒙特卡羅法不確定度的評(píng)定結(jié)果。

2.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)幅值為 2,V、頻率為 100,Hz的正弦波失真度進(jìn)行 10次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如表 3所示，其測(cè)量結(jié)果平均值為3.22%。

表3 幅值2,V、頻率為100,Hz的正弦波失真度測(cè)量結(jié)果Tab.3 Measuring result of sine wave distortion (amplitude as 2,V and frequency as 100,Hz)

2.6 GUM法測(cè)量結(jié)果不確定度實(shí)驗(yàn)分析

2.7 蒙特卡羅法測(cè)量結(jié)果不確定度實(shí)驗(yàn)分析

蒙特卡羅法不確定度實(shí)驗(yàn)利用MATLAB對(duì)誤差源數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)采集模塊誤差數(shù)據(jù)和概率分布見表1，數(shù)據(jù)處理模塊的誤差數(shù)據(jù)和概率分布見表2，樣本容量為100,000次，其相對(duì)誤差均值 δ = 0 .0414，對(duì)公式(6)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行蒙特卡羅仿真(諧波分量n＝5)，得到失真度 D 的均值= 3 .21%，標(biāo)準(zhǔn)差σ= 0 .0008。概率分布直方圖如圖 2所示，其 95%概率區(qū)間內(nèi)的失真度D值為：(3.06%，3.36%)。

圖2 蒙特卡羅失真度概率直方圖Fig.2 Histogram of distortion probability based on Monte Carlo Method

2.8 結(jié)果分析

使用 GUM 法評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度與使用蒙特卡羅法評(píng)定的不確定度結(jié)果基本一致，說明兩種方法具有很好的一致性，可以驗(yàn)證蒙特卡羅法的準(zhǔn)確性，因此蒙特卡羅法可以很好地對(duì) FFT失真度的不確定度進(jìn)行評(píng)定。

由于已經(jīng)知道 GUM法評(píng)定FFT失真度具有一定的局限性，因此證明蒙特卡羅法是 FFT失真度不確定度評(píng)定方法的首選。

3 結(jié) 論

本文通過蒙特卡羅法對(duì) FFT失真度不確定度評(píng)定進(jìn)行了分析，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了蒙特卡羅法與 GUM法的一致性，驗(yàn)證了蒙特卡羅法對(duì) FFT失真度不確定度評(píng)定的準(zhǔn)確性。

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