Markov鏈隨機(jī)利率下壽險(xiǎn)精算函數(shù)的分布模擬

張連增，段白鴿，卜 林

0 引言

當(dāng)前，隨著計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展和統(tǒng)計(jì)軟件的普及，為數(shù)值模擬現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布提供了技術(shù)支持。一方面，在多數(shù)情況下，現(xiàn)值隨機(jī)變量的解析計(jì)算比較復(fù)雜，不如隨機(jī)模擬方法直接方便。而且在實(shí)務(wù)中，對(duì)大多數(shù)壽險(xiǎn)和生命年金產(chǎn)品的評(píng)估（如對(duì)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的研究），可以預(yù)期考慮解析解是相當(dāng)困難的，甚至是不可行的。另一方面，隨機(jī)模擬結(jié)果也可以作為驗(yàn)證解析計(jì)算的一種途徑。鑒于此，Goovaerts(2000)[1]研究了隨機(jī)模擬在現(xiàn)值隨機(jī)變量精算函數(shù)中的應(yīng)用。目前，隨機(jī)模擬已經(jīng)成為金融工程與統(tǒng)計(jì)研究的常用方法之一，在精算學(xué)中必然也將得到廣泛的應(yīng)用。為此，本文將在Markov鏈隨機(jī)利率下，借助于隨機(jī)模擬的方法來(lái)得到三類(lèi)有代表性的精算函數(shù)的數(shù)值解。而Markov鏈作為最基本的隨機(jī)過(guò)程，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，它具有易于理解、符合直觀(guān)、編程方便、自動(dòng)處理變量的不獨(dú)立性問(wèn)題等優(yōu)點(diǎn)。另一個(gè)值得一提的優(yōu)點(diǎn)在于，由Markov鏈模擬的隨機(jī)利率不會(huì)取負(fù)值或較大值，這彌補(bǔ)了其它一些隨機(jī)利率模型的不足之處。

本文將給出精算學(xué)中三個(gè)簡(jiǎn)單且有代表性的數(shù)值實(shí)例：20年期年金現(xiàn)值隨機(jī)變量與積累值隨機(jī)變量、20年期兩全保險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量、20年期期初付生命年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量，并借助于當(dāng)前國(guó)際上日益流行的R軟件編程實(shí)現(xiàn)。解決這些例子的思路與方法可以推廣到精算學(xué)與金融學(xué)的進(jìn)一步研究中。

1 理論模型

1.1 Markov鏈

關(guān)于Markov鏈的內(nèi)容幾乎在所有的隨機(jī)過(guò)程教材中都有介紹，這里只給出最基本的介紹，參見(jiàn)Grinstead和Snell(1997)[2]。考慮離散時(shí)間的有限狀態(tài)Markov鏈，記為{Xn:n=0,1,2,…}，狀態(tài)空間為{s1,s2,…,sn}，轉(zhuǎn)移概率矩陣可以表示為：

假設(shè)矩陣P對(duì)應(yīng)于特征值為1的特征向量是一維的，則該Markov鏈存在唯一的平穩(wěn)分布。如果記平穩(wěn)分布為π=(π1,…,πn)，那么它滿(mǎn)足如下方程：

平穩(wěn)分布的含義可以表述為：如果設(shè)X0的概率分布為π，那么對(duì)任何n≥1，Xn的概率分布也為π。

另外，在某些條件下，Markov鏈存在極限分布，即當(dāng)n→∞時(shí)，Xn的分布收斂于一個(gè)極限，該極限與初始狀態(tài)X0無(wú)關(guān)。而且在很多情況下，極限分布與平穩(wěn)分布是相同的。

1.2 確定性年金的現(xiàn)值與積累值

考慮期末付年金。對(duì)確定性n年期的年金，如果假設(shè)在時(shí)刻{1,2,…,n}的支付額分別為{b1,b2,…,bn}，在每年內(nèi)的利率分別為{i1,i2,…,in}[9]，那么該年金在時(shí)刻0的現(xiàn)值可以表示為：

為了體現(xiàn)出n個(gè)利率{i1,i2,…,in}的影響，在計(jì)算年金積累值時(shí)，考慮期初付年金。如果假設(shè)在時(shí)刻{0,1,…,n-1}的支付額分別為{b0,b1,…,bn-1}，那么該年金在時(shí)刻n的積累值可以表示為：

1.3 兩全保險(xiǎn)

對(duì)于(x)歲的n年期兩全保險(xiǎn)，在每年內(nèi)的死亡給付可以不同，而且死亡給付也可以與滿(mǎn)期給付不同。為方便起見(jiàn)，假設(shè)死亡給付、滿(mǎn)期給付都是1個(gè)單位。對(duì)給定的利率軌道{i1,i2,…,in}，該兩全保險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的概率分布可以表示為：

其中，npx、n-1|qx等是壽險(xiǎn)精算學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)的生命表函數(shù)（生存概率、死亡概率）。

1.4 定期生命年金

對(duì)于(x)歲的n年期期初付生命年金，在每年初的生存給付可以不同。為方便起見(jiàn)，假設(shè)給付都是1個(gè)單位。對(duì)給定的利率軌道{i1,i2,…,in}，該定期生命年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的概率分布[3]可以表示為：

其中，npx、n-1|qx等是壽險(xiǎn)精算學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)的生命表函數(shù)（生存概率、死亡概率）。

2 在Markov鏈隨機(jī)利率下分布模擬的思路與方法

2.1 產(chǎn)生利率軌道

這里分兩種情況展開(kāi)討論。第一種情況假設(shè)初始利率為常數(shù)，第二種情況假設(shè)初始利率的概率分布為Markov鏈的平穩(wěn)分布。在第二種情況下，每個(gè)周期內(nèi)的利率變量是同分布的（但并不獨(dú)立）。對(duì)每一條利率軌道的產(chǎn)生，都應(yīng)用Markov鏈的定義。利率軌道條數(shù)視兩種不同的情況而定，通常對(duì)第一種情況1000條軌道即可，對(duì)第二種情況10000條軌道足夠多了。

2.2 確定性年金的現(xiàn)值與積累值

針對(duì)每條利率軌道，計(jì)算確定性年金的現(xiàn)值[4]與積累值。對(duì)所有的利率軌道，重復(fù)計(jì)算后得到一系列年金現(xiàn)值與積累值的樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)而通過(guò)對(duì)這些樣本數(shù)據(jù)特征的描述便可得到現(xiàn)值隨機(jī)變量和積累值隨機(jī)變量的概率分布。

2.3 兩全保險(xiǎn)

由中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000～2003），得到各個(gè)年度內(nèi)的死亡概率，以及保險(xiǎn)期限屆滿(mǎn)時(shí)的生存概率。針對(duì)每條利率軌道，得到一個(gè)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布。對(duì)所有的利率軌道，重復(fù)計(jì)算后得到一系列現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布。這些現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的特點(diǎn)是：概率值相同，而隨機(jī)變量的取值可以不同。

下一步對(duì)得到的一系列概率分布進(jìn)行混合（mixture），最終得到一個(gè)完整的概率分布。其原理可以表述如下：

如果設(shè)X|Λ=λ的條件概率分布函數(shù)為Fλ(x)，而且Λ的概率密度函數(shù)為u(λ)，那么X的無(wú)條件概率分布函數(shù)F(x)可以表示為：

假設(shè)模擬的利率軌道共有m條，在對(duì)上式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，首先要進(jìn)行離散化處理。如果設(shè)每條利率軌道的權(quán)重均為，而且每個(gè)Fλ都由離散分布來(lái)代替，那么上述積分就可以變?yōu)殡x散求和。具體來(lái)說(shuō)，在本文的兩全保險(xiǎn)數(shù)值實(shí)例中，每一條利率軌道對(duì)應(yīng)一個(gè)λ*值，則有，而分布函數(shù)Fλ*的形式如式（5）所示。值得注意的是，因?yàn)楸疚臄?shù)值實(shí)例部分采用離散時(shí)間的有限狀態(tài)Markov鏈，所以不同的利率軌道的現(xiàn)值隨機(jī)變量的取值是有可能重復(fù)的。

在得到分布函數(shù)F(x)之后，即可獲得概率密度函數(shù)f(x)，進(jìn)而可以計(jì)算隨機(jī)變量X的均值、方差、進(jìn)一步也可得到各個(gè)分位數(shù)以及相關(guān)的分布度量等。

2.4 定期生命年金

由中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000～2003），得到各個(gè)年度內(nèi)的死亡概率，以及生命年金期限屆滿(mǎn)時(shí)的生存概率。針對(duì)每條利率軌道，便可得到一個(gè)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布[5]。對(duì)所有的利率軌道，重復(fù)計(jì)算后便可得到一系列現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布。最后通過(guò)對(duì)一系列概率分布進(jìn)行混合后得到一個(gè)完整的概率分布。其計(jì)算原理與兩全保險(xiǎn)的情形相同，這里不再贅述。

3 數(shù)值實(shí)例及結(jié)果分析

假設(shè)Markov鏈利率取值為{0.02,0.03,0.04}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

下面通過(guò)數(shù)值實(shí)例進(jìn)行分析，按照本文第2節(jié)的思路，基于Markov鏈隨機(jī)利率對(duì)三個(gè)有代表性的精算函數(shù)進(jìn)行了隨機(jī)模擬，得到相應(yīng)精算函數(shù)變量的概率分布及相關(guān)的分布特征。這里采用R軟件對(duì)其進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)。

3.1 在Markov鏈隨機(jī)利率下，模擬確定性年金現(xiàn)值與積累值隨機(jī)變量的概率分布

為了簡(jiǎn)便，假設(shè)年金的支付額都為1個(gè)單位。如果利率i為常數(shù)，那么這里考慮的期末付年金現(xiàn)值就是通常意義下的其計(jì)算公式為：

對(duì)于20年定期年金來(lái)說(shuō)，根據(jù)初始利率的不同假設(shè)，下面分兩種情況進(jìn)行討論。

（1）假設(shè)初始利率i1=0.03，每條利率軌道包含20個(gè)利率。通過(guò)模擬1000條利率軌道，分別得到包括1000個(gè)①為了統(tǒng)一，這里采用與本文后續(xù)兩個(gè)實(shí)例相同的處理方式，在年金現(xiàn)值和積累值各自的1000次模擬結(jié)果中，不同結(jié)果的個(gè)數(shù)恰好都為1000個(gè)。定期年金現(xiàn)值與積累值的樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以描述該年金現(xiàn)值與積累值隨機(jī)變量的概率分布。圖1給出了初始利率為常數(shù)0.03情況下，基于Markov鏈隨機(jī)利率模擬得到的年金現(xiàn)值與積累值隨機(jī)變量的概率分布，其相應(yīng)的分布特征如表1所示。

圖1 初始利率為常數(shù)0.03時(shí)Markov鏈模擬的年金現(xiàn)值與積累值隨機(jī)變量的概率分布

表1 初始利率為常數(shù)0.03時(shí)年金現(xiàn)值、積累值隨機(jī)變量的概率分布的分布特征

為了便于比較，表2給出了利率分別為常數(shù)0.02、0.03、0.04情形下，計(jì)算的確定性年金現(xiàn)值和積累值。注意到表1中模擬得到的年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為14.93，積累值隨機(jī)變量的均值為27.62，它們明顯處于這三個(gè)常數(shù)利率計(jì)算的現(xiàn)值、積累值的范圍內(nèi)。這表明在有限的利率波動(dòng)范圍內(nèi)，采用確定性利率計(jì)算年金現(xiàn)值和積累值是合理的。另外，這兩個(gè)均值都與利率為0.03時(shí)計(jì)算的年金現(xiàn)值和積累值非常接近，這與Markov鏈模擬時(shí)初始利率的選擇有關(guān)。

若模擬次數(shù)為10000次，則得到的年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為14.93，標(biāo)準(zhǔn)差為0.33；積累值隨機(jī)變量的均值為27.57，標(biāo)準(zhǔn)差為0.77。與表1中的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相比，差異不大，從一定意義上說(shuō)，采用1000條利率軌道模擬的結(jié)果已相當(dāng)可靠。

表2 三個(gè)常數(shù)利率下計(jì)算的20年定期年金現(xiàn)值和積累值

（2）假設(shè)初始利率的概率分布為Markov鏈的平穩(wěn)分布，每條利率軌道包含20個(gè)利率。經(jīng)計(jì)算，該Markov鏈的平穩(wěn)分布為 (π1, π2, π3)=(0.2308,0.5769,0.1923)。通過(guò)模擬10000條利率軌道，分別得到包括10000個(gè)②與注釋①類(lèi)似，在年金現(xiàn)值和積累值各自的10000次模擬結(jié)果中，不同結(jié)果的個(gè)數(shù)都為9991個(gè)。定期年金現(xiàn)值與積累值的樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以描述該年金現(xiàn)值與積累值隨機(jī)變量的概率分布。圖2給出了初始利率為平穩(wěn)分布情況下，基于Markov鏈隨機(jī)利率模擬得到的年金現(xiàn)值與積累值隨機(jī)變量的概率分布，其相應(yīng)的分布特征如表3所示。

表3 初始利率為平穩(wěn)分布時(shí)年金現(xiàn)值、積累值隨機(jī)變量的概率分布的分布特征

注意到表3中模擬得到的年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為14.94，積累值隨機(jī)變量的均值為27.56，它們也明顯處于這三個(gè)常數(shù)利率計(jì)算的現(xiàn)值、積累值的范圍內(nèi)，且與利率為0.03時(shí)計(jì)算的年金現(xiàn)值和積累值最為接近。另外，若模擬次數(shù)為1000次，則得到的年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為14.93，標(biāo)準(zhǔn)差為0.37；積累值隨機(jī)變量的均值為27.59，標(biāo)準(zhǔn)差為0.77。與表3中的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相比，差異也不大，從一定意義上說(shuō)，這里采用1000條利率軌道進(jìn)行模擬也是相當(dāng)可靠的。

3.2 在Markov鏈隨機(jī)利率下，模擬兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布

考慮關(guān)于(30)歲男性的20年期兩全保險(xiǎn)，保額為1000元。引用中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)表（2000～2003,CL1）。對(duì)應(yīng)于不同的利率假設(shè)，其躉繳凈保費(fèi)及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 不同的利率假設(shè)下兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

現(xiàn)模擬計(jì)算在Markov鏈隨機(jī)利率下，該兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布。類(lèi)似于前面的討論，根據(jù)初始利率的不同假設(shè)，下面分兩種情況進(jìn)行討論。

（1）假設(shè)初始利率i1=0.03，每條利率軌道包含20個(gè)利率。模擬1000條利率軌道，得到1000個(gè)概率分布，對(duì)這1000個(gè)概率分布混合后，得到該兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布，如圖3中的左圖所示，其相應(yīng)的分布特征如表5第二列所示。值得注意的是，這里選定了隨機(jī)模擬的“種子”數(shù)為set.seed(2525)③應(yīng)用R軟件進(jìn)行隨機(jī)模擬時(shí)，可以設(shè)定不同的“種子”數(shù)。選擇同一個(gè)“種子”數(shù)，一方面可以唯一確定模擬結(jié)果，另一方面有助于對(duì)各種模擬方法的結(jié)果進(jìn)行比較。。在這種情況下，該現(xiàn)值隨機(jī)變量的不同取值共有902個(gè)。按照從小到大順序排列這些現(xiàn)值，其中第500個(gè)現(xiàn)值為655.01，而取值大于655.01的概率僅為1.93%。

（2）假設(shè)初始利率的概率分布為Markov鏈的平穩(wěn)分布，每條利率軌道包含20個(gè)利率。模擬10000條利率軌道，得到10000個(gè)概率分布，對(duì)這10000個(gè)概率分布混合后，得到該兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布，如圖3中的右圖所示，其相應(yīng)的分布特征如表5第三列所示。在選定了隨機(jī)模擬的“種子”數(shù)（set.seed(2525)）后，該現(xiàn)值隨機(jī)變量的不同取值共有1240個(gè)。按照從小到大順序排列這些現(xiàn)值，其中第700個(gè)現(xiàn)值為660.73，而取值大于660.73的概率僅為2.18%。的

圖3 兩種情況下兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布

表5 兩種情況下兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的分布特征

與表4相比，兩種情況下模擬得到的兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的均值都明顯處于這三個(gè)常數(shù)利率計(jì)算的躉繳凈保費(fèi)的范圍內(nèi)，且與利率為0.03時(shí)的躉繳凈保費(fèi)最為接近。而兩種情況下模擬得到的概率分布的標(biāo)準(zhǔn)差都高于這三個(gè)常數(shù)利率計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差，這可以直觀(guān)地理解為Markov鏈隨機(jī)利率帶來(lái)了更大的波動(dòng)性。另外，當(dāng)初始利率為常數(shù)0.03時(shí)，若模擬次數(shù)為10000次，則得到的兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為563.29，標(biāo)準(zhǔn)差為41.67；當(dāng)初始利率為平穩(wěn)分布時(shí)，若模擬次數(shù)為1000次，則得到的兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為562.21，標(biāo)準(zhǔn)差為42.43。從一定意義上說(shuō)，采用1000條利率軌道對(duì)兩種情況進(jìn)行模擬都是可行的。

從圖3可以看出，兩種情況得到的兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率取值忽大忽小，其概率分布存在多個(gè)峰值，并非傳統(tǒng)意義上的單峰分布。當(dāng)然，從理論上講，這種分布也是存在的，我們可以將其看作是一類(lèi)特殊的奇異分布。

3.3 在Markov鏈隨機(jī)利率下，模擬定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布

考慮關(guān)于(30)歲男性的20年期期初付生命年金，為了簡(jiǎn)便，假設(shè)每次支付額都為1個(gè)單位。引用中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)表（2000～2003,CL1）。如果利率i為常數(shù)，那么這里考慮的精算現(xiàn)值就是通常意義下的其計(jì)算公式為：

其中，式（11）中的k表示整數(shù)生存年數(shù)。

對(duì)應(yīng)于不同的利率假設(shè)，該定期生命年金的精算現(xiàn)值及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表6 不同利率假設(shè)下定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

現(xiàn)模擬計(jì)算該定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布。類(lèi)似于前面的討論，根據(jù)初始利率的不同假設(shè)，下面分兩種情況進(jìn)行討論。

（1）假設(shè)初始利率i1=0.03，每條利率軌道包含20個(gè)利率。模擬1000條利率軌道，得到1000個(gè)概率分布，對(duì)這1000個(gè)概率分布混合后，得到該定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布，如圖4中的左圖所示，其相應(yīng)的分布特征如表7第二列所示。在選定了隨機(jī)模擬的“種子”數(shù)（set.seed(2525)）后，該現(xiàn)值隨機(jī)變量的不同取值共有10846個(gè)。按照從小到大順序排列這些現(xiàn)值，其中第5000個(gè)現(xiàn)值為12.10，而取值小于12.10的概率僅為1.96%。實(shí)際上，經(jīng)過(guò)細(xì)致的研究發(fā)現(xiàn)，在第5000個(gè)現(xiàn)值以后有1000個(gè)不同的現(xiàn)值對(duì)應(yīng)的概率都相等，加總后的概率為0.9679，對(duì)應(yīng)的現(xiàn)值隨機(jī)變量的取值范圍為[14.56,16.38]。為了更清晰地展示這一特征，圖4中的右圖給出了這1000個(gè)不同現(xiàn)值對(duì)應(yīng)的概率值。

圖4 初始利率為常數(shù)0.03時(shí)Markov鏈模擬的定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布

（2）假設(shè)初始利率的概率分布為Markov鏈的平穩(wěn)分布，每條利率軌道包含20個(gè)利率。模擬1000條利率軌道，得到1000個(gè)概率分布，對(duì)這1000個(gè)概率分布混合后，得到該定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布，如圖5中的左圖所示，其相應(yīng)的分布特征如表7第三列所示。在選定了隨機(jī)模擬的“種子”數(shù)（set.seed(2525)）后，該現(xiàn)值的不同取值共有11849個(gè)。按照從小到大順序排列這些現(xiàn)值，其中第6000個(gè)現(xiàn)值為12.07，而取值小于12.07的概率僅為1.97%。實(shí)際上，經(jīng)過(guò)細(xì)致的研究發(fā)現(xiàn)，在第6000個(gè)現(xiàn)值以后也有1000個(gè)不同的現(xiàn)值對(duì)應(yīng)的概率都相等，加總后的概率為0.9679，對(duì)應(yīng)的現(xiàn)值隨機(jī)變量的取值范圍為[14.42,16.49]。為了更清晰地展示這一特征，圖5中的右圖給出了這1000個(gè)不同現(xiàn)值對(duì)應(yīng)的概率值。

圖5 初始利率為平穩(wěn)分布時(shí)Markov鏈模擬的定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布

表7 兩種情況下定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的分布特征

與表6相比，兩種情況下模擬得到的定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差都明顯處于這三個(gè)常數(shù)利率計(jì)算的精算現(xiàn)值、相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，且與利率為0.03時(shí)的精算現(xiàn)值、相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差最為接近。另外，當(dāng)初始利率為常數(shù)0.03時(shí)，若模擬次數(shù)為100次，則得到的定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為15.18，標(biāo)準(zhǔn)差為1.23；當(dāng)初始利率為平穩(wěn)分布時(shí)，若模擬次數(shù)為100次，則得到的定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值為15.17，標(biāo)準(zhǔn)差為1.23。從一定意義上，采用100條④這里模擬100次之所以可行，是因?yàn)?00次模擬可以得到100個(gè)概率分布，每個(gè)概率分布包括20個(gè)現(xiàn)值隨機(jī)變量的取值，共可得到2000個(gè)現(xiàn)值隨機(jī)變量的取值，且此時(shí)不同結(jié)果的個(gè)數(shù)已足夠多了。利率軌道對(duì)兩種情況進(jìn)行模擬也是可行的。

從以上結(jié)論，初步猜測(cè)，不論初始利率如何選擇，若利率軌道數(shù)為m，則該定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的取值都將以很大的概率均勻分布在m個(gè)較大的取值上。進(jìn)一步注意到，在該定期生命年金的數(shù)值實(shí)例中，這個(gè)很大的概率正是npx=20p30=0.9679。正如圖4、5所示，這兩種情況模擬得到的定期生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布也不是傳統(tǒng)意義上的單峰分布。從理論上講，這種分布也是存在的，可視為一類(lèi)特殊的奇異分布。

4 研究結(jié)論與方法推廣

4.1 研究結(jié)論

（1）Markov鏈隨機(jī)利率模型具有易于理解、符合直觀(guān)、編程方便、能自動(dòng)處理變量的不獨(dú)立性問(wèn)題、模擬的利率不會(huì)取負(fù)值或較大值等優(yōu)點(diǎn)。在R軟件下的編程實(shí)現(xiàn)運(yùn)算時(shí)間少、效率較高。本文在R軟件算法實(shí)現(xiàn)中，采用了同一個(gè)“種子數(shù)”，這樣有助于進(jìn)一步對(duì)兩種利率軌道的結(jié)果進(jìn)行比較。

（2）兩種利率軌道模擬結(jié)果的一致性。從圖1和圖2、圖3、圖4和圖5可以看出，兩種利率假設(shè)下，基于Markov鏈隨機(jī)利率模擬的三個(gè)精算函數(shù)隨機(jī)變量相應(yīng)的概率分布的圖形都很相似；同時(shí)，從表1和表3、表5、表7也可以看出，其相應(yīng)的分布特征也都很接近。

（3）實(shí)際上，對(duì)Markov鏈來(lái)說(shuō)，如果存在極限（平穩(wěn)）分布，那么該分布不依賴(lài)于初始狀態(tài)。另外，一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)較少的轉(zhuǎn)移次數(shù)，Markov鏈即可收斂于極限（平穩(wěn)）分布。很容易驗(yàn)證，在本文選擇的Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率下，不論初始狀態(tài)如何，Markov鏈在不同時(shí)刻的概率分布一般都較快地收斂到極限（平穩(wěn)）分布。因此，本文三個(gè)數(shù)值實(shí)例中，初始利率為常數(shù)和初始利率的概率分布為平穩(wěn)分布兩種情況得到的結(jié)論差異不大。

（4）從表1、表3可以看出，在實(shí)例1中，兩種情況下模擬得到的確定性年金現(xiàn)值、積累值隨機(jī)變量的概率分布的均值和中位數(shù)幾乎相同；從表5、表7可以看出，在實(shí)例2和實(shí)例3中，兩種情況下模擬得到的現(xiàn)值隨機(jī)變量的概率分布的均值和中位數(shù)有一定差異。這可以從確定性年金、兩全保險(xiǎn)、定期生命年金本身的差異得到解釋。其中，確定性年金與死亡概率無(wú)關(guān)，因而每次模擬都可以得到一個(gè)確定的年金支付額，多次模擬的結(jié)果一般呈現(xiàn)出接近正態(tài)分布的單峰分布；而兩全保險(xiǎn)、定期生命年金的支付額是不確定性的，受死亡概率的影響，每次模擬只能得到一個(gè)具體的概率分布，每個(gè)概率分布又包括若干個(gè)現(xiàn)值隨機(jī)變量，其波動(dòng)性很大，多次模擬的結(jié)果一般都不能呈現(xiàn)出正常意義下的分布，我們將其稱(chēng)為是一類(lèi)特殊的奇異分布。

4.2 方法推廣

（1）本文在Markov鏈隨機(jī)利率模型假設(shè)下，應(yīng)用隨機(jī)模擬方法，對(duì)精算函數(shù)隨機(jī)變量的概率分布進(jìn)行了數(shù)值求解。具體地講，本文采用了兩種產(chǎn)生利率軌道的思路；一種是基于初始利率為常數(shù)的假設(shè)；另一種是基于初始利率的概率分布為Markov鏈的平穩(wěn)分布的假設(shè)。并通過(guò)壽險(xiǎn)精算學(xué)中的三個(gè)數(shù)值實(shí)例，分別給出了這兩種假設(shè)下模擬得到的精算函數(shù)隨機(jī)變量的概率分布以及相關(guān)的分布特征。解決這些例子的思路與方法可以推廣到精算學(xué)和金融學(xué)的進(jìn)一步研究中。這是一個(gè)有待深入研究的新方向。

（2）壽險(xiǎn)利率市場(chǎng)化對(duì)我國(guó)精算技術(shù)提出了很大的挑戰(zhàn)，將更符合市場(chǎng)變化規(guī)律的隨機(jī)利率模型應(yīng)用到壽險(xiǎn)公司的定價(jià)、準(zhǔn)備金評(píng)估以及隨機(jī)資產(chǎn)負(fù)債管理中，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文對(duì)隨機(jī)利率下壽險(xiǎn)精算中一些基本的隨機(jī)變量的概率分布進(jìn)行了研究，作為后續(xù)研究，將進(jìn)一步對(duì)Vasicek隨機(jī)利率模型、Cox-Ingersoll-Ross（CIR）隨機(jī)利率模型、Multiplicative Shock隨機(jī)利率模型等進(jìn)行系統(tǒng)研究，并應(yīng)用R軟件進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)，以期對(duì)各種壽險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)、準(zhǔn)備金、現(xiàn)金價(jià)值、部分利潤(rùn)指標(biāo)等的變動(dòng)進(jìn)行分析，并進(jìn)一步比較隨機(jī)利率下保險(xiǎn)合同的價(jià)值與固定利率下保險(xiǎn)合同的價(jià)值等。

（3）不斷更新的計(jì)算技術(shù)和日益復(fù)雜的金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，以及對(duì)金融數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的深入和學(xué)科交叉，促進(jìn)了保險(xiǎn)公司利率市場(chǎng)化的進(jìn)程。進(jìn)一步的研究?jī)?nèi)容是：在對(duì)隨機(jī)利率下壽險(xiǎn)精算理論進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)我國(guó)壽險(xiǎn)業(yè)的利率市場(chǎng)化問(wèn)題，提出可行性建議，為我國(guó)壽險(xiǎn)利率市場(chǎng)化的進(jìn)程提供理論支持和技術(shù)保證。

[1] Goovaerts,M.,Dhaene,J.,De Schepper,A.Stochastic Upper Bounds for Present Value Functions[J].Journal of Risk and Insurance,2000，(67).

[2] Grinstead,C.M.,Snell,J.L.Introduction to Probability(2ndEdition)[M].American Mathematical Society,1997.

[3] Bühlmann,H.Stochastic Discounting[J].Insurance:Mathematics and Economics,1992，(11).

[4] Beekman,J.A.,Fuelling,C.E.Interest and Mortality Randomness in Some Annuities[J].Insurance:Mathematics and Economics,1990，(9).

[5] De Schepper,A.,De Vylder,E.,Goovaerts,M.,Kaas,R.Interest Ran?domness in Annuities Certain[J].Insurance:Mathematics and Econom?ics,1992,11(3).

[6] Vanneste,M.,M.Goovaerts,E.Labie.The Distribution of Annuities[J].Insurance:Mathematics and Economics,1994,15(1).