基于Gumbel Copula的金融市場波動溢出模型

馮 烽

(1.福州大學 管理學院，福建福州350002;2.廣西財經(jīng)學院 數(shù)學與統(tǒng)計系，廣西 南寧530003)

在經(jīng)濟全球化的背景下，很少有一國或地區(qū)的金融市場是封閉和孤立的，不同市場或不同資產(chǎn)之間往往存在著相互影響和波動的關(guān)系，2007年在美國爆發(fā)的次貸危機就是最好的例證［1］。近年來，國內(nèi)外學者開始應用Copula函數(shù)研究金融市場之間的這種波動溢出效應［2－6］。Copula函數(shù)主要分為橢圓型Copula和阿基米德型Copula兩大類。其中，橢圓型Copula又有Normal Copula和t Copula兩種;阿基米德型 Copula有 Clayton Copula、Plackett Copula和Gumbel Copula等多種。應當注意的是，不同的Copula函數(shù)刻畫不同的尾部相依特征，因此，選擇正確的Copula函數(shù)形式對于測度尾部相依性具有重要意義［7］。目前，由于橢圓型Copula參數(shù)便于估計，已被廣泛應用，但其在實證研究中效果并不理想，原因在于Normal Copula的上、下尾相關(guān)系數(shù)均為0，t Copula又需滿足上、下尾部對稱相關(guān)的要求，而實際中，上、下尾部的相關(guān)結(jié)構(gòu)常是非對稱相關(guān)，且下尾部相關(guān)系數(shù)對于金融資產(chǎn)在險價值的研究更具意義。

Gumbel Copula作為一種重要的阿基米德型Copula并不要求具有對稱的上、下尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)，因而更合適于對尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)的建模。為此，筆者擬使用Gumbel Copula構(gòu)建波動溢出模型，以刻畫金融市場間的波動溢出效應。

1 Copula理論

1.1 Copula函數(shù)與Sklar定理

定理:設(shè)隨機向量(X1，X2，…，XN)的聯(lián)合分布函數(shù)F為具有連續(xù)邊緣分布F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)N的聯(lián)合分布函數(shù)，則一定存在唯一的Copula函數(shù)C(·)，滿足 F(x1，x2，…，xN)=C［F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)N(xN)］。

上述定理表明利用Copula函數(shù)可以避免直接估計聯(lián)合分布函數(shù)F(x1，x2，…，xN)的困難，因為它可以把聯(lián)合分布函數(shù) F(x1，x2，…，xN)的估計問題轉(zhuǎn)化為以下兩個問題:

(1)確定各隨機分量的邊緣分布F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)N;

(2)選取一個適當?shù)腃opula函數(shù)C(·)，確定隨機向量(X1，X2，…，XN)的相依結(jié)構(gòu)。

對Copula函數(shù)取混合偏導數(shù)，可得:

其中，ui=Fi(xi)為邊際分布函數(shù)值;c(u1，u2，…，uN)為 Copula 密度函數(shù)。

1.2 Gumbel Copula 函數(shù)

作為一種重要的Archimedean Copula，Gumbel Copula并不要求具有對稱的上、下尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)，且其參數(shù)與尾部相關(guān)系數(shù)具有對應關(guān)系，因而更適合對尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)的建模。二元Gumbel Copula函數(shù)的分布函數(shù)與密度函數(shù)分布［8］為:

其中，參數(shù)θ∈［1，+∞)。當θ=1時，隨機變量 U1，U2獨立，即 CG(u1，u2;1)=u1u2;當 θ→+∞時，U1，U2趨向于完全相關(guān)。

2 尾部相關(guān)系數(shù)

隨機向量(Z1，Z2)常用的相關(guān)性指標有Pearson線性相關(guān)系數(shù)、Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)系數(shù)等。其中，尾部相關(guān)系數(shù)因其可以刻畫金融時間序列之間的尾部結(jié)構(gòu)而對金融風險管理更具意義，尾部相關(guān)系數(shù)包括上尾部相關(guān)系數(shù)和下尾部相關(guān)系數(shù)，其上、下尾部相關(guān)系數(shù)定義［9］如下:

式(1)、式(2)所定義的Gumbel Copula的下尾部相關(guān)系數(shù)為0，上尾部相關(guān)系數(shù)為2－ 如果將式(1)、式(2)中 u1，u2分別用1 －u1，1 －u2代替，可獲得Rotated Gumbel Copula，相應的下尾部相關(guān)系數(shù)為2－ ，上尾部相關(guān)系數(shù)為0。

3 模型的設(shè)定

3.1 邊緣分布模型的設(shè)定

由于金融時間序列常具有尖峰厚尾和波動聚集的特點，因此，常用厚尾的GARCH(1，1)模型刻畫各金融資產(chǎn)收益率的邊際分布。故筆者采用GARCH(1，1) － t模型［10］及 Gumbel Copula 函數(shù)對金融市場間的相關(guān)結(jié)構(gòu)進行建模，可將模型設(shè)定為:

其中，αi+ βi＜1，ωi，αi，βi＞0，i=1，2。θ∈［1，+∞)。式(3)～式(5)表示新息為t分布的GARCH(1，1)模型，rit為第 i個市場時刻 t的收益率，式(3)為均值方程，式 (4)和式(5)為條件方差波動方程，式(6)為對新息εit作概率積分變換，Tvi(·)是自由度為 vi的t分布的分布函數(shù)，式(7)為描述相關(guān)結(jié)構(gòu)的Gumbel Copula模型，其密度函數(shù)如式(2)所示。

3.2 模型的參數(shù)估計

采用極大似然估計法對上述模型的參數(shù)進行估計。兩市場收益率(r1t，r2t)在給定時刻t－1的信息集It－1下的條件聯(lián)合密度函數(shù)如下:

由式(8)得到兩市場收益率序列{(r1t，r2t)，t=1，2，…，T}的對數(shù)似然函數(shù)為:

盡管，理論上可通過極大化對數(shù)似然函數(shù)l(η)獲得所有參數(shù)的極大似然估計值，但在高維的情況下常會難以收斂到極值點。注意到對數(shù)似然函數(shù)l(η)可分解為3項之和，其中，LC為Copula函數(shù)的似然程度，L1為第一個市場收益率的邊緣似然程度，L2為第二個市場收益率的邊緣似然程度。因此，可采用兩步極大似然法來估計模型的參數(shù)。

對于Rotated Gumbel Copula的情形，估計方法是一樣的，只需把式(1)～式(9)中的u1，u2分別用1－u1，1－u2代替即可。

4 次貸危機前后滬深股市波動的實證研究

筆者采用上證綜指與深圳成指日收指數(shù)為原始數(shù)據(jù)，完全樣本期為2005年1月4日—2010年9月21日，共1 392個交易日。由于2007年8月次貸危機全面爆發(fā)，因此以2007年8月1日為分界點將樣本區(qū)間劃分為兩個部分，其中2005年1月4日—2007年7月31日為危機前，共622個交易日;2007年8月1日—2010年9月21日為危機后，共770個交易日。實證步驟如下:

首先，對上證綜指與深圳成指的日收益率進行描述性統(tǒng)計分析;其次，對上證綜指與深圳成指的日收益率的邊緣分布進行估計，并過濾出標準化殘差;最后，對過濾出的標準化殘差作概率積分變換后再進行Copula模型的參數(shù)估計。

(1)描述性統(tǒng)計分析。在對滬深市場指數(shù)進行建模之前，對日收指數(shù)及收益率進行描述性的統(tǒng)計分析是有意義的。滬深指數(shù)日收益率的描述性統(tǒng)計量如表1所示。

表1 滬深指數(shù)日收益率的描述性統(tǒng)計量

由表1中的峰度值可以看到，滬、深指數(shù)日收益率呈現(xiàn)出厚尾的特征。分別對滬、深指數(shù)日收益率序列進行ARCH效應的LM檢驗表明，當滯后階數(shù)q=10，在0.05的顯著性水平下均拒絕原假設(shè)，表明序列存在GARCH效應;將滬、深日收指數(shù)分別轉(zhuǎn)化為初始日的日收指數(shù)為1的相對日收指數(shù)，并作時序圖(見圖1)，表明滬、深兩市呈現(xiàn)出同向變動的態(tài)勢，提示可能存在波動溢出效應。

圖1 滬、深指數(shù)相對日收指數(shù)時序圖

(2)邊緣分布估計。筆者采用兩步極大似然法進行參數(shù)估計，為此，需要先估計出滬、深兩市的日收益率的邊緣分布，根據(jù)上述描述性統(tǒng)計分析，采用GARCH(1，1)模型分別對滬、深兩市的日收益率序列進行建模，估計結(jié)果如表2所示。

表2 邊緣GARCH模型參數(shù)估計結(jié)果列表

由表2可知，無論是完全樣本期，還是次貸危機前或次貸危機后的滬、深兩市日收益率，條件方差方程的參數(shù)都是顯著的，這意味著中國股票市場存在著顯著的波動聚集性。值得注意的是，完全樣本期、次貸危機前滬、深兩市的均值方程的常數(shù)項在0.01的水平下都是顯著的，但次貸危機后的均值方程的常數(shù)項都不顯著，這意味著次貸危機前滬、深兩市均有一個顯著的正期望收益，次貸危機發(fā)生后股市低迷，期望收益接近于0。顯然，次貸危機前后的股票市場具有較大的變化，因此將樣本期分為次貸危機前與次貸危機后分別建模更為恰當。

(3)Gumbel Copula函數(shù)的參數(shù)估計。把表2中獲得的邊緣分布參數(shù)的估計值代入似然函數(shù)中進一步獲得Gumbel Copula函數(shù)的參數(shù)估計值，并計算出相應的尾部相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表3所示。

表3 Copula函數(shù)估計結(jié)果列表

表3中的估計結(jié)果顯示出次貸危機提升了滬深兩市的尾部相關(guān)性，危機后兩市的波動溢出現(xiàn)象加劇，其中下尾部相關(guān)系數(shù)由危機前的0.819 3上升到危機后的0.853 4;上尾部相關(guān)系數(shù)由危機前的0.814 3上升到危機后的0.857 3。

5 結(jié)論

筆者運用Gumbel Copula對次貸危機前、后的滬深股市相關(guān)結(jié)構(gòu)進行研究，實證結(jié)果表明:

(1)次貸危機前、后的滬、深股市均存在波動聚集的特征;

(2)次貸危機對滬、深股市的沖擊引致了股市的低迷，兩市的收益率均顯著降低;

(3)牛市與熊市的滬深兩市的尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)具有顯著差異，次貸危機造成了股市的結(jié)構(gòu)性突變，可把次貸危機看作是一個結(jié)構(gòu)性變點;

(4)次貸危機后，尾部相關(guān)系數(shù)的增大提示次貸危機后滬深股市的波動溢出程度更高，表明利空消息對股市相關(guān)性的影響大于利好消息對股市相關(guān)性的影響。

［1］PAULO H，CARLOSM，ISABEL V.Contagion effects of the US subprime crisis on developed countries［EB/OL］.［2011 － 11 － 23］.http://www.cefage.uevora.pt/pt/content/download/1446/18985/version/1/file/2008_08.pdf.

［2］SKLAR A.Random variables，distribution functions and copulas－a personal look backward and forward［M］.Hayward:Institute of Mathematical Statistics，1996:1－14.

［3］HUANG JJ，LEE L J，LIANG H，et al.Estimating value at risk of portfolio by conditional copula－GARCH method［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2009，45(3):315 －324.

［4］ERIC J，MICHAEL R.The Copula － GARCH model of conditional dependencies:an international stockmarket application［J］.Journal of International Money and Finance，2006，25(5):827 －853.

［5］LEOM，CATHY N.The dependence structure between the Canadian stock market and the USD/CAD exchange rate:a copula approach［J］.Canadian Journal of Economics，2010，43(3):1016 －1039.

［6］韋艷華，張世英.多元Copula－GARCH模型及其在金融風險分析上的應用［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007，26(3):432 －439.

［7］FREES E W，VALDEZ E A.Understanding relationships using Copulas［J］.North American Actuarial Journal，1998，2(1):1 －25.

［8］GUMBEL E J.Bivariate exponential distributions［J］.Journal of American Statistical Association，1960，55(292):698－707.

［9］CYRIL C，DOMINIQUEG.Empirical estimation of tail dependence using Copulas application to Asian markets［J］.Quantitative Finance，2005(5):489 －501.

［10］BOLLERSLEV T.Generalised autoregressive conditional heteroscedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986，31(3):307－327.