基于窗函數(shù)的NLFM波形設(shè)計(jì)及脈壓性能分析

贠亞男， 張文希，許明圣

（1. 平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，平頂山 467001；2. 長沙學(xué)院 電子與通信工程系，長沙 410003;3. 河南平高電器股份有限公司，平頂山 467001）

0 引言

線性調(diào)頻（LFM）、相位編碼以及非線性調(diào)頻（NLFM）是現(xiàn)役脈沖壓縮體制雷達(dá)中常用的脈壓波形[1-2]。其中，線性調(diào)頻和相位編碼波形在匹配濾波器輸出端具有較高的旁瓣，實(shí)際應(yīng)用中盡管可通過加權(quán)處理降低旁瓣影響，但會造成壓縮波形的主瓣展寬以及信噪比損失。而NLFM波形則無需進(jìn)行加權(quán)操作，可通過設(shè)計(jì)和改變發(fā)射信號的頻譜特征，在匹配濾波壓縮輸出端獲取較低旁瓣的同時(shí)，能夠有效避免因加權(quán)處理而引入的信噪比損失，在雷達(dá)和聲納等信號處理領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景[3～7]?；诖昂瘮?shù)的波形綜合法是NLFM波形的主要設(shè)計(jì)方法[5]，本文通過分析和對比幾種基于經(jīng)典窗函數(shù)設(shè)計(jì)的NLFM波形的脈壓性能，得出了一些有益的結(jié)論，為NLFM波形的實(shí)際應(yīng)用提供參考。

1 NLFM波形設(shè)計(jì)方法

設(shè)NLFM波形具有如下表達(dá)形式：

式（3）中w(f) 即為窗函數(shù)，根據(jù)一維距離模糊函數(shù)的方法并運(yùn)用駐留相位原理得：

其中，T(f)為群延時(shí)函數(shù)，而f(t)則為信號頻率，系群延時(shí)函數(shù)的反函數(shù)，即f(t)=T-1(f)。

基于窗函數(shù)設(shè)計(jì)NLFM波形需要首先確定窗函數(shù)W(f)，其次通過式（3.b）求出j"(f)，進(jìn)而積分求出j'(f)，再由式（3.a）得到群延時(shí)函數(shù)T(f)，然后經(jīng)反函數(shù)運(yùn)算得到f(t)，最后代入式（3.c）經(jīng)積分得到相位函數(shù)q(f)，最終獲得NLFM波形m(f)。

2 典型窗函數(shù)及脈壓分析

2.1 典型窗函數(shù)及群延時(shí)

1）矩形窗

矩形窗函數(shù)也稱為門函數(shù)，對應(yīng)了LFM波形的設(shè)計(jì)，其可表示為：

其中，B為信號的調(diào)制帶寬，其群延時(shí)函數(shù)為T(f)=f。

2）海明窗

海明窗函數(shù)為：

3）余弦四次方窗

余弦四次方窗函數(shù)以及對應(yīng)的群延時(shí)函數(shù)可分別表示為：

4）高斯窗

高斯窗函數(shù)一般表達(dá)式為：式中, K為常數(shù)因子，其群延時(shí)函數(shù)為T (f) = 2B/函數(shù)。

2.2 脈壓分析

本節(jié)拋開冗長的脈壓公式推導(dǎo)，利用信號與線性系統(tǒng)的基本知識理解脈沖壓縮。矩形窗的頻譜對應(yīng)的是辛格函數(shù)，即：

其中，rect和FFT分別表示矩形函數(shù)和傅里葉變換，而Sa(×)為辛格函數(shù)。

由式(3)可知，不考慮多普勒頻移時(shí)，脈壓時(shí)接收信號與參考信號在頻域共軛相乘后，其相位譜可近似為一常數(shù)，幅度譜則對應(yīng)窗函數(shù)，即NLFM信號脈沖壓縮時(shí)的頻域具有窗函數(shù)形式W(f )。因此，脈壓最終歸結(jié)到對窗函數(shù)的逆傅里葉變換上，與時(shí)域矩形窗支撐區(qū)長度(時(shí)寬)不同，該頻域矩形窗支撐區(qū)用帶寬來衡量，其有效長度會大大增加。當(dāng)頻域窗W(f )為矩形窗時(shí)，對照式(8)并根據(jù)對偶原理，可知脈壓的時(shí)域輸出為：

其中，IFFT為逆傅里葉變換。

FFT與IFFT在形式上是一致的，辛格函數(shù)的主瓣寬度取決于窗函數(shù)的有效支撐寬度，寬度越大，分辨率越好。受多種因素（如近端盲區(qū)，多普勒模糊等）限制，脈沖體制的發(fā)射信號時(shí)寬不可能太大，而通過頻率調(diào)制，窗函數(shù)的有效支撐寬度拓展到頻域后會成幾何遞增。在相同脈沖寬度條件下，LFM和NLFM信號帶寬相比傳統(tǒng)簡單波形會大大提高，故距離分辨率更優(yōu)。而進(jìn)一步，在相同帶寬的條件下，LFM比NLFM脈壓后的主瓣寬度會窄，這是前者的頻域窗有效支撐寬度相對較大造成的。

由式（9）知，頻域矩形窗反變換到時(shí)域同樣為辛格函數(shù)。進(jìn)一步，當(dāng)W (f )不為矩形窗時(shí)，如海明窗，等效于對矩形窗作了加權(quán)處理，此時(shí)頻域窗類似于“鐘形”，由于NLFM脈壓時(shí)頻域窗的有效支撐寬度變小，反變換到時(shí)域后會使旁瓣降低，同時(shí)主瓣會有所展寬。而根據(jù)能量守恒定律，主瓣展寬后能量主要集中到主瓣區(qū)域，相應(yīng)地旁瓣能量則會顯著降低。但NLFM波形脈壓后的窄主瓣和低旁瓣設(shè)計(jì)是互為矛盾的，在信號設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用時(shí)要根據(jù)需求折中考慮。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證各種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的NLFM的脈壓性能及其一般規(guī)律，下面用以3.1節(jié)給出的窗函數(shù)進(jìn)行仿真。仿真參數(shù)為：脈沖寬度t=20us，信號帶寬B=10MHz，采樣頻率fs=20MHz，高斯窗中的常數(shù)K=23.5。

3.1 窗函數(shù)及時(shí)頻曲線

圖1為四種窗函數(shù)的比較圖，各窗對應(yīng)的有效支撐區(qū)間長度由矩形窗到高斯窗逐漸減小。由3.2節(jié)的脈壓分析，可初步推理出脈壓后的主瓣寬度會逐漸增大。計(jì)算各窗函數(shù)的群延時(shí)函數(shù)到時(shí)頻函數(shù)的變換，涉及到反函數(shù)求解，很難寫出顯示表達(dá)式，需要用到數(shù)值計(jì)算，本文采用樣條插值方法進(jìn)行時(shí)間等間隔重采樣，通過插值可以反求出等間隔時(shí)間對應(yīng)的頻率值。需注意的是，該方法只在頻率和時(shí)間一對一對應(yīng)的條件下才適合，目前所設(shè)計(jì)的NLFM都滿足該條件。

圖1 四種窗函數(shù)

3.2 脈壓輸出及性能分析

根據(jù)各窗函數(shù)的時(shí)頻曲線得到相應(yīng)NLFM信號。圖2給出了所設(shè)計(jì)信號的脈壓輸出，其中矩形窗對應(yīng)的LFM調(diào)頻信號的脈壓結(jié)果，顯然NLFM信號具有更低的旁瓣。圖3(a)和圖3(b)分別為脈壓輸出的主瓣局部放大和旁瓣局部放大圖，不難看出：盡管NLFM具有較低的旁瓣，但是以主瓣展寬為代價(jià)的。表1定量比較了脈壓后信號的-4dB主瓣寬度和峰值旁瓣比（第一旁瓣與主瓣峰值比）。由圖3和表1可看出，設(shè)計(jì)的四種發(fā)射信號隨著窗函數(shù)有效支撐區(qū)間的減小，其主瓣寬度呈遞增趨勢，而第一旁瓣幅度呈遞減趨勢，這與3.2節(jié)的分析是相吻合的。

圖2 脈壓輸出

圖3 局部放大結(jié)果

表1 脈壓結(jié)果對比分析

4 結(jié)束語

本文從矩形窗函數(shù)的（逆）傅里葉變換視角入手，分析了NLFM的設(shè)計(jì)及脈壓性能。分析指出，

相對傳統(tǒng)簡單波形的時(shí)域窗，LFM和NLFM的頻域窗函數(shù)有效支撐區(qū)長度的增加（即帶寬增大）是獲得距離高分辨的關(guān)鍵，這與現(xiàn)有分辨率理論是一致的，隨著支撐區(qū)長度的縮小，NLFM波形主瓣展寬。但是有效支撐區(qū)僅反映了NLFM設(shè)計(jì)中一個(gè)因素，若要得到性能優(yōu)越的NLFM波形，必須對群延時(shí)函數(shù)施加更多的限制，如平滑性，曲率等，這將是下一步研究的方向。

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