WAH－B 樣條曲線①

王明星， 謝 進， 王壽城

(1．合肥工業(yè)大學數學學院，安徽合肥230009;2．合肥學院數理系，安徽合肥230601)

1 引言

B樣條曲線和曲面是計算機輔助幾何設計(CAGD)中常用的工具之一．但由于它在實際運用當中有很多的局限性[1]，因此，不少作者[2－9]中引入了一系列新的幾何曲線和曲面模型．文獻[2－4]提出CB樣條，實際上和文獻[5]中提出的螺旋樣條是類似的．C曲線可以精確逼近橢圓曲線，旋輪線和螺旋線．文獻[6]提出了通過一組基{1，t，cosht，sinht}的生成子空間 {1，t，cosht，sinht}來構造指數樣條．文獻[7]在空間 {1，t，cosht，sinht}滿足張量運算下，提出了一類指數樣條．文獻[8]給出了均勻樣條的精確表達式．文獻[9]將曲線和曲面的指數形式推廣到了任意次數的代數雙曲樣條形式上．這類曲線可以精確逼近雙曲線和懸鏈線．除此之外，這類曲線的微積分計算非常的簡單．但是，指數形式的樣條在張量積下是不能逼近高次多項式曲線的，這就嚴重的限制了它們在CAGD中的應用．實際上，目前三次曲線在CAGD中應用的最廣，并且文獻[10－13]給出了三次曲線非常重要的幾何性質．文獻[14－15]提出了用兩組基 {1，t，cosht，sinht}和 {1，t，cosht，sinht}來構造曲線族，并將這類曲線族中的曲線稱為FB樣條．FB樣條幾乎擁有CB樣條和HB樣條的所有性質，比如說，連續(xù)性等性質．然而，FB樣條的表達式卻十分的復雜．文獻[16]歸納和推廣了三類樣條曲線，從而得到了定義在空間 {cosωt，sinωt，1，t，…，tl，…}中的一類新的樣條(簡稱為UE樣條)．這類樣條的好處是，只要改變序列{ωi}就可以得到不同的樣條．

本文提出一類新的基函數，這類基函數是對三次 B 樣條曲線的基 {1，t，t2，t3}與雙曲基 {1，t，cosht，sinht}經過加權而得到．這類基函數繼承了三次B樣條曲線擁有的大部分性質．根據這類基，本文得到了一類新的樣條曲線，稱為WAH－B樣條曲線．這種方法具有如下性質:

*這類曲線既能整體地又能局部地改變形狀．

*取權參數的值為，可以不用解方程組，曲線能直接插值于插入給定的控制頂點．

*選取權參數及適當的控制頂點，WAH－B樣條曲線可精確表示圓錐曲線和超曲線．

*令權參數λi=0或1，可以改變曲線的類型，并且，一段混合樣條曲線可以不同類型曲線組合形成．

2 WAH－B樣條基函數定義

定義2．1 設0≤λi，λi+1≤1，將下面的函數．稱為帶權參數序列{λk}的WAH－B樣條基函數．

很明顯，當所有的λi=0時，WAH－B樣條基函數就是三次B樣條基函數．當所有的λi=1時，WAH－B樣條基函數就是α=1的4階雙曲多項式B樣條基函數[8]．

直接計算可以證明，WAH－B樣條基函數擁有類似于三次B樣條基函數的性質．

A．歸一性

B．非負性．

C．對稱性．

根據文獻[17]中給出的擴展C曲線的定義域的方法，WAH－B樣條基函數中權因子的取值范圍可以擴展到區(qū)間上．其中

圖1給出了三次B樣條基函數(實線)與WAH－B樣條基函數，其中圖a中的權參數取相同值，圖b權參數取不同值．

圖1 樣條基函數的圖像

3 樣條曲線

3．1 構造曲線

定義3．1 給出控制點Pi∈Rd(d=2，3，i=0，1，2，…，n)和結點u1＜u2＜ … ＜un－1，其中u∈[ui，ui+1]，i=1，2，…，n－2，稱曲線為WAH－B樣條曲線．其中

與三次B樣條曲線一樣，我們可以構造一個開WAH－B樣條曲線和一個閉WAH－B樣條曲線．對于開曲線，若設λi，u0＜u1，un－1＜un，P－1=2P0－P1，Pn+1=2Pn－Pn－1就可以保證初始點P0和Pn在曲線上，即r(u0)=P0，r(un)=Pn．對于閉曲線，我們可以周期性的設控制點滿足Pn+1=P0，Pn+2=P1，Pn+3=P2，以及設結點滿足un－1＜un＜un+1＜un+2．其中 λi∈，i=n，n+1，n+2，λ1=λn+2．

3．2 曲線的性質

3．2．1 連續(xù)性

曲線(5)是由代數與雙曲多項式加權混合而成．因此，需要證明該曲線具有連續(xù)性．

定理3．1 設u∈[u1，un－1]，曲線(5)是GC2連續(xù)的．均勻曲線(5)是C2連續(xù)的．

證明: 當i=1，2，…，n－1時，可以得到

結合上面的等式，有

證畢．

根據式(8)和(9)，我們發(fā)現曲線r(u)在點r(ui)處的切線與線段Pi－1Pi+1(對任意的λi)平行．這條性質與三次均勻B樣條曲線的性質是一致的．3．2．2 局部與整體可控性

設u∈[ui，ui+1]，將式(5)變形，有

顯然，權參數λi只會影響兩條曲線段ri－1(u)和ri(u)，而不會影響其它的曲線段．即，權參數λi只會影響控制多邊形．因此，只有改變 λi的值，就可以局部地改變曲線的形狀．從圖2(a)中，可以發(fā)現，曲線r(u)(u∈[ui－1，ui+1])會隨著λi的增加向控制多邊形靠攏，r(u)隨著λi的減小而遠離控制多邊形

當λi取相同值時，可以整體調控曲線的形狀．從圖2(b)中，可以看出，當控制多邊形固定時，加權因子從－62．1748到12．6061范圍內動態(tài)變動時，WAH－B樣條曲線可以從兩側逼近三次B樣條曲線．并且，權參數具有這樣的性質:加權因子取值越大，曲線就越逼近控制多邊形．

圖2 曲線形狀的調控

3．2．3 局部與整體插值

曲線(6)也可以用于局部插值．設 λi=，由式(6)和(7)，可以推出r(ui)=Pi．即，曲線r(u)在u=ui處的插值結點是Pi．因此，這就提供了一種求解GC2連續(xù)的局部插值法．用這種方法，可以不用求解方程組或者為了求解的需要，而刻意的增加控制點．用WAH－B樣條曲線可以局部地插值于給定的控制點．特別地，當所有的時，曲線可以整體地插值于控制多邊形．

4 一些圓錐曲線和超越曲線的表示

4．1 雙曲線和拋物線的表示

定義4．1 設節(jié)點是均勻節(jié)點，且P0，P1，P2和P3是如下定義的四個控制頂點．

當u∈[ui，ui+1]，權參數λi=λi+1=1時，WAH －B樣條曲線可以表示一條拋物弧線．

證明: 將P0，P1，P2和P3代入式(5)中，將會得到WAH－B樣條曲線的坐標形式，

這是雙曲線的一個參數方程，如圖4所示:

圖3 整體和局部插值曲線

圖4 用WAH－B樣條曲線表示雙曲線

定義4．2 設P0，P1，P2和?P3是如下所示的四個控制點

當u∈[ui，ui+1]，權參數λi=λi+1=0時，WAH －B樣條曲線可以比表示拋物線的一部分

證明: 將P0，P1，P2和P3代入式(5)將會得到WAH－B樣條曲線的下面坐標形式，

這是拋物線的一個參數方程，如圖5所示:

圖5 用WAH－B樣條曲線表示拋物線

4．2 懸鏈線和雙曲正弦曲線的表示

定義4．3 設四個控制點如下所示，

當u∈[ui，ui+1]，權參數 λi=λi+1=0 時，WAH －B樣條的曲線可以表示懸鏈線的一部分．

證明: 通過將點P0，P1，P2和P3代入式(5)，我們將會得到WAH－B樣條曲線的如下坐標表示，

顯然，它是懸鏈線的一部分，如圖6所示:

圖6 用WAH－B樣條曲線表示懸鏈線

定義4．4 設節(jié)點是均勻的，且P0，P1，P2和P3是如下所定義的四個控制點，P0=(－1，－1)，P1=(0，1)，P2=(1，1)，

P3=(1，e+e－1)

當u∈[ui，ui+1]，權參數 λi=λi+1=0 時，WAH－B樣條曲線可以表示雙曲正弦線的一部分．

證明: 通過將P0，P1，P2和P3代入式(5)中，我們將會得到WAH－B樣條曲線的如下表示

這是在參數坐標下的雙曲正弦線，如圖7所示:

圖7 用WAH－B樣條曲線表示雙曲正弦線

圖8 C2連續(xù)的混合曲線

5 曲線的應用

正如在第4部分所提到的，可以通過選擇適當的控制點和參數來改變曲線的形狀．因此，我們可以靈活的應用不同類型的部分曲線來構造混合曲線．例如，當取均勻節(jié)點及參數 λi=(1，1，0，0，1，1，0，0，1，1，0，0，1，1，0，0)時，其中i=1，2，…，16，如下定義控制頂點，

因此我們得到了一個由不同類型的曲線構成的混合曲線，且它是一個C2連續(xù)的，如圖8所示:

6 結 論

本文通過三次B樣條基函數 {1，t，t2，t3}和雙曲基函數{1，t，cosht，sinht}來構造WAH －B樣條曲線．在權參數取值范圍內，該曲線可以從兩側逼近三次B樣條曲線．并且這種曲線可以插值于給定的控制點．特別地，當權參數λi=0或1時，這些曲線可以改變?yōu)椴煌愋偷那€．

與用有理方法生成的非均勻有理B樣條曲線或有理Bézier曲線[19]相比，WAH －B樣條曲線在結構上更加簡單，及計算上更加穩(wěn)定．WAH－B樣條曲線的權參數具有明顯的幾何的意義．WAHB樣條曲線能夠精確表示螺旋線、輪轉線和懸鏈線，而非均勻有理B樣條曲線或有理Bézier曲線只能近似表示．因此，WAH－B樣條曲線在工程方面有著更好的應用．

[1] Mainar，E．，Pea，J．M．，Snchez － Reyes．Shape Preserving Alternatives to the Rational Bézier Model[J]．Computer Aided Geometric Design，2001，18，37–60．

[2] Zhang，J．W．C － curves:An Extension of Cubic Curves[J]．Computer Aided Geometric Design，1996，13:199–217．

[3] Zhang，J．W．Two Different Forms of C － B － splines[J]．Computer Aided Geometric Design．1997，14:31 –41．

[4] Zhang，J．W．C － Bézier Curves and Surfaces[J]．Graphical Models and Image Processing，1999，61:2–15．

[5] Pottmann，H．，Wagner，M．G．Helix Splines as Example of Affine Tchebycheffian Splines[J]．Advance in Computational Mathematics，1994，2，123–142．

[6] Pottmann，H．The Geometry of Tchebycheffian Spines[J]．Computer Aided Geometric Design，1993，10:181 –210．

[7] Koch，P．E．，Lyche，T．Exponential B － splines in Tension[M]．In:Chui，C．K．，Schumaker，L．L．，Ward，J．D．(Eds．)，Approximation Theory VI．Academic Press， New York，1989，p．361 －364．

[8] Lü，Y．G．，Wang，G．Z．，Yang，X．N．Uniform Hyperbolic Polynomial B － spline Curves[J]．Computer Aided Geometric Design，2002，19(6):379－393．

[9] Li，Y．J．，Wang，G．Z．Two Kinds of B Basis of the Algebraic Hyperbolic Space[J]．Journal of Zhejiang University Science A，2005，6:750－759．

[10] Hoffmann，M．，Juhász，I．Geometric Aspects of Knot Modification of B － spline Surfaces[M]．J．Geom．Graph．，2003，6:141－149．

[11] Hoffmann，M．，Juhász，I．On the Family of B － spline Surfaces Obtained by Knot Modification[C]．Mathematical Communication，2006，11:9－16．

[12] Hoffmann，M．，Li，Y．J．，Wang，G．Z．Paths of C － Bézier and C －B － spline Curves[J]．Computer Aided Geometric Design，2006，23(5):463－475．

[13] Juhász，I．，Hoffmann，M．Constrained Shape Modification of Cubic B － Spline Curves by Means of Knots[J]．Computer Aided Design，2004，36(5):437－445．

[14] Zhang J．W．，Krause F．－L．Zhang H．Y．Unifying C －curves and H－Curves by Extending the Calculation to Complex Numbers[J]．Computer Aided Geometric Design，2005，22:865–883．

[15] Zhang，J．W．，Krause，F．－ L．，Extend Cubic Uniform B －splines by Unified Trigonometric and Hyperbolic Basis[J]．Graphic Models，2005，67(2):100–119．

[16] Wang，G．Z．Fang，M．E．Unified and Extended Form of Three Types of Splines[J]．Journal of Computational and Applied Mathematics2008，216:498 – 508．

[17] Lin S．H．，Wang G．Z．Extension of Definition Interval for C －Curves[J]．Journal of Computer Aided Design and Computer Graphics，2005，17(10):2281～2285(in Chinese)．

[18] Han X．L．Piecewise Quartic Polynomial Curves with a Local Shape Parameter[J]．Journal of Computational and Applied Mathematics．2006，195(1):34 －45．

[19] Farin，G．Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design[M]．4th ed．Academic Press，San Diego，1997，CA．