一類具有無窮時滯中立型泛函微分方程反周期解的存在性①

張洪彥， 王 奇， 丁敏敏， 王志杰

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039)

0 引言

中立型泛函微分方程有著廣泛的應(yīng)用背景，人們對其周期解和概周期已有了深入的研究，例如文獻(xiàn)[1－4]，在文獻(xiàn)[4]中作者利用指數(shù)二分法和不動點(diǎn)定理給出了一類高維滯后型泛函微分方程

x(t)=A(t，x(t))x(t)+f(t，xt)

周期解的存在性，同時在文獻(xiàn)[3]中作者利用指數(shù)二分法討論了方程+G(t，x(t)，x(t－g(t)))的概周期解的存在性．

隨著生產(chǎn)和社會的發(fā)展，反周期現(xiàn)象逐漸引起人們的關(guān)注，反周期在生物學(xué)，醫(yī)學(xué)和各種物理工程現(xiàn)象中得到廣泛的應(yīng)用，因此許多學(xué)者對反周期解的存在性給予了大量研究，并得到一些結(jié)果，參見文獻(xiàn)［5－9］．然而對中立型泛函微分方程反周期解問題的討論甚少，本文討論下面一類具有無窮時滯中立型泛函微分方程反周期解的存在性．其中x∈n，t∈．定義是n×n周期連續(xù)函數(shù)矩陣，函數(shù)G和Q是從n×n到n的反周期連續(xù)函數(shù)矩陣，且

A(t+T)=A(t)，

G(t+T，－u，－v)=－G(t，u，v)，

g(t+T)=g(t)，

Q(t+T，－x，－y)=－Q(t，x，y)，

u，v，x，y∈n．本文利用指數(shù)二分法和壓縮定理，證明了本方程反周期解的存在性．

2 準(zhǔn)備知識

定義1 若u(t+T)=－u(t)，稱連續(xù)函數(shù)u(t): → 是T反周期的．

顯然當(dāng)u(t+T)=－u(t)時，則u(t+2T)=u(t)．

定義范數(shù)

記PTA(，X)={u(t)|u為 → 的連續(xù)函數(shù)，u(t+T)=－u(t)}

則(PTA(，X)，‖·‖)為一Banach空間．

首先考慮線性系統(tǒng)

和

其中A(t)=(αij(t))n×n是 上的n維連續(xù)函數(shù)矩陣，f(t)是 上的n維連續(xù)向量函且A(t+T)=A(t)，f(t+T)=－f(t)．

對于A(t)=(αij(t))n×n，我們假設(shè)下面兩個條件[7]:

(H1) 假設(shè)存在正可微函數(shù)d1(t)，d2(t)，

…，dn(t)(C1≤di≤C2，C1，C2為正的常數(shù))以及連續(xù)的T周期函數(shù)α(t)，使得:

≤ α(t)dj(t)，j=1，2，…，n

引理1[10]設(shè)X(t)是系統(tǒng)(2)的一個基解矩陣，如果存在一個映射P和正常數(shù)α，β使得:則稱系統(tǒng)(2)具有指數(shù)二分性．

引理2[4]對于方程(2)，A(t)若滿足(H1)則

‖X(t)X－1(s)‖

若A(t)滿足(H2)，則‖X(t)X－1(s)

其中X(t)為方程(2)的基解矩陣，滿足X(0)=I

引理3[4](1)若A(t)滿足條件(H1)，

且k1=，則方程(3)存在

唯一的T周期解:

本文研究數(shù)據(jù)顯示，觀察組顱內(nèi)動脈瘤患者診斷符合率96.00%高于對照組，差異有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.05）。觀察組顱內(nèi)動脈瘤患者誤診率和漏診率均低于對照組，差異有統(tǒng)計學(xué)意義，P＜0.05。

(2)若A(t)滿足條件(H2)，且k2=exp(－，則方程(3)存在唯一的T周期解:

引理4 (1)若A(t)滿足條件(H1)，且k1=exp(∫T0α(λ)dλ)＜1，則方程(3)存在唯一反周期解:

(2)若A(t)滿足條件(H2)，且k2=exp(－，則方程(3)存在唯一反周期解:

證明 (1)由引理3知，方程有唯一有界解:

下面只需證明該有界解是反周期的即可．

又因X(t)是方程(2)的基解矩陣，則存在可逆矩陣B，使X(t+T)=X(t)B有

所以

即X(t)是反周期的，且是有界的．

(2)類似可證．

3 主要結(jié)論及證明

定理1 假設(shè)方程(1)滿足條件(H1)且滿足下列條件

(H3)

(H4)存在常數(shù)L1，L2，L3，L4，L5和u1，v1，u2，v2，x1，y1，x2，y2∈PTA( ，X)使得下列式子成立

其中k1=和＜ 1．則方程(1)存在反周期解．

證明

對任意的u(t)∈PTA(，X)，首先考慮方程

設(shè)

則有

其中

由前面介紹知h(t+T)=－h(huán)(t)，即h(t)是T－反周期的．

根據(jù)假設(shè)條件和引理4知，方程(5)存在唯一的反周期解:

從而方程(4)有唯一的反周期解:

作映射Γ:PTA(，X)→PTA(，X)如下:

Γu(t)=Φu(t)，(?u∈PTA(，X))下面證明Γ是壓縮的．

事實(shí)上，對 ?u1，u2∈PTA( ，X)，有

由條件(H5)知

因此Φ在PTA(，X)是壓縮的，由壓縮不動點(diǎn)定理知，Φ在PTA(，X)中存在不動點(diǎn)，此不動點(diǎn)即為方程(1)的反周期解．證畢．

定理2 假設(shè)方程(1)滿足條件(H2)，(H3)，(H4)和(H6)

其中

則方程(1)存在反周期解．

證明 方法類似定理1．證畢．

4 例 子

考慮系統(tǒng):

其中

取d1(t)=2，d2(t)=1，

且有

另外經(jīng)過簡單的計算可以得到:

則有

即方程(6)滿足條件(H1)，(H3)，(H4)，(H5)，由定理1可知方程(6)存在一個π反周期解．證畢．

[1] 彭世國朱思銘．具有無窮時滯泛函微分方程的周期解[J]．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2002，23A:371 －380．

[2] 石磊．具有無窮時滯中立型泛函微分方程解的有界性及周期解[J]．科學(xué)通報，1990，35:409 －411．

[3] Xiaoxing Chen，F(xiàn)axing Lin．Almost Periodic Solutions of Neutral Functional Differential Equations[J]．Nonlinear Anal．，2010，11:1182－1189．

[4] 周宗福．一類高維滯后型泛函微分方程的周期解[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2002，22(4):423 －430．

[5] Yan Wang．Antiperiodic Solutions for Dissipative Evolution Equations[J]．Mathematical and Computer Modelling．2010，51:715－721．

[6] Aizicovici S，McKibben M，Reich S．Anti－periodic Solutions to Nonmonotone Evolution Equations with Discontinuous Nonlinearities[J]．Nonlinear Anal．2001，43:233 － 51．

[7] Aizicovici S，Pavel N．Anti－ periodic Solutions to a Class of Nonlinear Differential Equations in Hilbert Space[J]．J Funct Anal．1991，99:387 －408．

[8] Aizicovici S，Reich S．Anti－periodic Solutions to a Class of Non － monotone Evolution Equations[J]．Discrete Contin Dyn Syst．1999，5:35 －42．

[9] Chen Y．Anti－periodic Solutions for Semilinear Evolution Equations[J]．J Math Anal．Appl，2006，315:337 － 348．

[10] 林發(fā)興．線性系統(tǒng)指數(shù)型二分性[M]．合肥:安徽大學(xué)出版社，1999．