帶負顧客和Bernoulli 反饋的M/G/1休假排隊系統(tǒng)①

高顯彩， 單雪紅， 張麗慧

(1．宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 宿州234000;2．宿州市第二中學(xué)，安徽宿州234000)

0 引言

Gelenbe[1]在20世紀90年代首次提出了負顧客的排隊模型．負顧客可以看成是某些工作的外來援助或取消信號，一般作為系統(tǒng)的制約因素而存在，能抵消系統(tǒng)中的正顧客．關(guān)于負顧客排隊系統(tǒng)的研究近年來取得了較大的進展[2－6]，本文研究了帶負顧客和Bernoulli反饋的M/G/1休假排隊系統(tǒng)模型．日常生活中有許多相應(yīng)的例子，如:在通訊系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)傳輸?shù)浇邮芘_，數(shù)據(jù)傳輸看成正顧客的到達，外來的干擾信號看成負顧客的到達，當?shù)浇邮芘_發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸錯誤時，數(shù)據(jù)會被要求反饋再次傳輸．

1 模型的數(shù)學(xué)描述

(1)正、負顧客各自以到達率為 λ+，λ－的Possion流獨立到達，負顧客到達時，若系統(tǒng)處于忙期，則帶走一名正在接受服務(wù)的正顧客;若系統(tǒng)處于閑期或假期，則負顧客自動消失．負顧客只起抵消正顧客的作用，并不接受服務(wù)．

(2)正顧客在接受服務(wù)的過程中若沒有被抵消，則在服務(wù)完后以概率θ(0＜θ≤1)離開系統(tǒng)，以概率1－θ反饋到隊尾等待下次服務(wù)．

(3)正顧客的服務(wù)時間有一般分布函數(shù)B(t)，有概率密度函數(shù)b(t)，風(fēng)險率函數(shù)μ(t)

(4)休假策略是空竭服務(wù)單重休假(E，SV)，休假時間V為一般連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為:V(t)=P(V≤t)概率密度函數(shù)v(t)，風(fēng)險率函數(shù)r(t)

顧客的到達時間間隔、服務(wù)時間、休假時間相互獨立且各自獨立同分布．

0＜ρ=是系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)分布的充要條件．

令N(t)表示時刻t系統(tǒng)中的正顧客數(shù)．I(t)=0，1，2分別表示t系統(tǒng)處于閑期、忙期和假期．顯然{I(t)，N(t)}不是馬爾可夫過程．引入補充變量X(t)，Y(t)分別表示正顧客在時刻t接受服務(wù)的時間和服務(wù)臺已休假的時間．這樣，隨機過程{I(t)，N(t)，X(t)，Y(t)}成向量馬爾可夫過程．定義:

令

顧客的到達時間間隔、服務(wù)時間、休假時間相互獨立且各自獨立同分布．

0＜ρ=

常用符號:Z變換:

2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程組及求解

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移和頻度轉(zhuǎn)移法則，分析可得穩(wěn)態(tài)情況下系統(tǒng)的狀態(tài)偏微分方程組:邊界條件:

正則性條件:

由(2)，(3)式可得:

由(4)，(5)式可得:

由(1)，(5)式可得:

由(6)，(7)式可得:

由(9)，(14)可得:

將(11)，(12)，(15)帶入，(14)式整理可得:

由(11)，(16)式可得:

由(12)，(15)式可得:

3 主要排隊指標

定理1: 帶負顧客和Bernoulli反饋的M/G/1

休假排隊系統(tǒng)，系統(tǒng)處于閑期的概率是證明: 由(10)式可知:P0+P(1)+K(1)=1，當z=1時，(18)式右端是型的，且右端分式的分子、分母關(guān)于z的導(dǎo)數(shù)都存在，故由L'Hospital法則可得:P(1)

同理可得:K(1)

把P(1)，K(1)式代入P0+P(1)+K(1)=1即可求得(20)．

定理2: 帶負顧客和Bernoulli反饋的M/G/1休假排隊系統(tǒng)，系統(tǒng)處于休假期的概率是其中P0由(20)式給出．

證明:

可得:

定理3: 帶負顧客和Bernoulli反饋M/G/1的休假排隊系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊長的概率母函數(shù)是

其中

證明: 由Lv(z)=P0+P(z)+K(z)可得結(jié)論．

本文研究了帶負顧客和 Bernoulli反饋的M/G/1休假排隊系統(tǒng)，求得了系統(tǒng)處于閑期的概率和休假期間無正顧客的概率，得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊長的概率母函數(shù)，關(guān)于負顧客的排隊模型有待于進一步研究．

[1] Glenbe E．Queues with Negative Arrivals[J]．Appl．Prob．1991，28:245－250．

[2] Harrison P G，Pitel E The M/G/1 Queue with Negative Customers[J]．Adv．Appl．Prob．1996，28:540 －566．

[3] Bayer N，Boxma O J．Wiener－ Hopf Analysis of an M/G/1 Queue with Negative Customers and of a Relative Class of Random Walks[J]．Queueing Systems．1996，23:301 －316．

[4] Zhu Y J．Analysis on a Type of M/G/1 Models with Negative Arrivals[R]．Proceeding of the 27th Stochastic Precess Conference University of Cambrige，UK，July 2001．

[5] 杜貞斌，朱翼雋等．負顧客的M/G/1排隊模型[J]．江蘇大學(xué)學(xué)報，2002，(3):91－94．

[6] 朱翼雋，陳燕．負顧客排隊系統(tǒng)的研究進展[J]．江蘇大學(xué)學(xué)2004 25(1):48－51．