隨機利率下多元衰減模型的Thiele’s 微分方程①

許道軍， 李 敏， 沈 浮

(解放軍陸軍軍官學院基礎部數(shù)學教研室，安徽合肥230031)

0 引言

不管是單張保單還是保單組合，死亡率和利率都隨機時準備金的表達形式比較繁瑣，因此，人們對隨機利率下壽險的準備金理論研究很少，對于多元衰減模型的情形更是如此．在Hans U．Gerber的著作“Life Insurance Mathematics”(Third Edition 1997)中給出了在固定利息力δ下多元衰減的模型

(1)在時刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅谋ｋU金額記為Cj(t)，(j=1，2，…，m);

(2)在時刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅乃劳隽瘮?shù)記為 μj，x+t，(j=1，2，…，m)，且有

(3)保費連續(xù)繳納，設時刻t的保費繳納率為π(t)的凈準備金與Thiele’s微分方程，得到時刻t繳納的保費由儲蓄保費πs(t)和(死亡)風險保費πr(t)構(gòu)成，其中 πs(t)

1 模型的建立

亡后立即給付，采用下面的表示方法

(1)在時刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅谋ｋU金額記為Cj(t)，j=1，2，…，m;

(2)在時刻t，由第j種原因?qū)е滤劳龅乃劳隽?/p>

考慮下面的模型:在x歲投保的壽險，假設保費連續(xù)繳納，死亡原因有m種，死亡保險金額在死函數(shù)記為μj，x+t，j=1，2，…，m，且有

(3)保費連續(xù)繳納，設時刻t的保費繳納率為π(t);

(4)在時刻t的利息力函數(shù)隨機變量記為，其中t≥0，δ≥0，β 為參數(shù)，W(t)為標準Wiener過程．

3 論文必須包括題名(不超過20個漢字)、作者姓名(多位作者的署名之間以逗號“，”隔開，不同工作單位的作者，應在姓名右上角加注阿拉伯數(shù)字序號)、作者工作單位(寫明地址、郵政編碼和聯(lián)系電話，并在其工作單位名稱之前加與作者姓名序號相同的數(shù)字，各工作單位之間連排并以分號“；”隔開)、中文摘要(100-200字)、關鍵詞(3-5個)、中圖分類號、英文題目、作者姓名(漢語拼音)及英譯作者單位、英文摘要及關鍵詞、正文、參考文獻。

記Y(t)，易得Y(t)，時刻t保險人的未來損失量為

2 凈準備金與Thiele’s微分方程

定理1: 時刻t的凈準備金

證明: 由凈準備金的定義知，時刻t的凈準備金

定理2: 時刻t的凈準備金t對t的導數(shù)

從而有

方程兩邊t求導數(shù)，得到

顯然，(3)式就是隨機利率為Wiener過程時的Thiele’s Differential Equation．值得注意的是，它與固定利率下的Thiele’s Differential Equation在結(jié)構(gòu)上是一致的．(3)式整理得

這里，πs(t)為儲蓄保費，而πir(t)為利率風險保費，πmr(t)為死亡風險保費，因此在隨機利率條件下，風險保費是由利率風險保費和死亡風險保費兩部分組成，即

證明: 在定理1的證明中，易知πr(t)=πir(t)+πmr(t)

不難發(fā)現(xiàn)，隨機利率下的保費比固定利率下多出一部分，即利率風險保費πir(t)，而在傳統(tǒng)的固定利率的情形下，這一部分保費全部是由保險公司獨自承擔的，這必然加大了保險公司的經(jīng)營風險．

3 數(shù)值模擬

下面，將把固定利率下多元衰減模型的凈準備金與隨機利率下的多元衰減模型的凈準備金進行數(shù)值模擬并比較．假定衰減原因有兩種，即m=2，并設兩種原因?qū)е碌乃劳霰ｋU金額分別為:C1(t)=1000，C2(t)=2000，兩種原因?qū)е滤劳龅乃劳隽Ψ謩e為:μ1，x=，投保年齡x=25，極限年齡ω=105，保費繳納率π(t)取常數(shù)．

在傳統(tǒng)的固定利率下，假設利息力δ=0．05，則由0V=0，計算出保費繳納率π(t)=73．0240．在隨機利率為Wiener過程下，取δ=0．05，β=0．1，仍由0V=0，計算出保費繳納率 π(t)=73．6495．

通過兩種模型的對比，首先在隨機利率下，保費繳納率π(t)=73．6495，要比固定利率下的保費繳納率π(t)=73．0240增加了0．6255．不難發(fā)現(xiàn)，這正是由于利率風險的存在所導致的，所以按照固定利率收取保費，實際上增大了保險公司的經(jīng)營風險．其次，當β=0．1時，剛開始時，利率風險保費πir(t)的值都比較小，當然這首先是由保額較低所導致的，但是可以看到πir(t)隨著t的增加也在不斷增加．事實上，隨著投保人年齡的增大，保險公司的準備金也會隨之大幅增長，從而導致利率風險保費的增加，由Matlab容易計算出當t=50時，利率風險保費高達7．0250，約占保費的10%，因此保險公司在實際經(jīng)營中利率風險是絕對不容忽視的，在產(chǎn)品設計中，不應忽視利率風險保費的收取．

[1] Hans U．Gerber．Life Insurance Mathematics[M]．Springer，1997，75 －81．

[2] 楊靜平．壽險精算基礎[M]．北京:北京大學出版社，2002．

[3] Kellison S G．尚漢冀，譯．利息理論[M]．上海:上?？茖W技術出版社，1995．

[4] 張千祥．一類隨機利率模型下的年金計算問題[J]．巢湖學院學報，2006，(3):1 －2．

[5] 尚勤，王永茂．隨機利率下的年金[J]．吉林師范大學學報，2004，(3):49 －51．

[6] 王廷臣，代金，張波．隨機利率下的保險精算函數(shù)[J]．經(jīng)濟數(shù)學，2004(3):189－193．