Shapiro 不等式的指數(shù)推廣①

隆建軍

(攀枝花市大河中學(xué)，四川攀枝花617061)

0 引言

設(shè)0 ＜ai＜ 1，i=1，2，…，n，則

上述不等式稱為Shapiro不等式[1]，Shapiro不等式是一個(gè)著名的代數(shù)不等式，它在分式不等式研究中有著重要的應(yīng)用，本文中我們利用Holder不等式，Young不等式和冪平均不等式建立Shapiro不等式的指數(shù)推廣形式．

文獻(xiàn)[2]:設(shè)λ，μ，xi≥0．m，t，k≥1，λ－μxi＞0，i=1，2，…，n，則

文獻(xiàn)[3]:設(shè)0 ＜ai＜c，i=1，2，…=s，則

文獻(xiàn)[4]:設(shè)0 ＜ai＜AA，i=1，2，…，n，m，p∈=s，則

文獻(xiàn)[5]:設(shè)0 ＜ai＜ 1，i=1，2，…，n，且a=，則

本文給出Shapiro不等式的指數(shù)推廣，改進(jìn)了相應(yīng)參數(shù)的范圍，該結(jié)論比現(xiàn)有文獻(xiàn)更加具有實(shí)用價(jià)值，它們?cè)诜质讲坏仁窖芯恐杏兄匾膽?yīng)用價(jià)值．

1 引 理

引理1 設(shè)xi＞0，i=1，2，…，n，則:當(dāng)0＜p≤1時(shí)，有

不等式(2)中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)成立．

當(dāng)p＞1，n＞1時(shí)，有

證明: 當(dāng)p=1時(shí)(2)式顯然成立，下證當(dāng)0＜p＜1時(shí)(2)式成立，作輔助函數(shù)f(x)=xp，x∈(0，+∞)，0 ＜p＜ 1;對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)，得f″(x)=p(p－1)xp－2，因?yàn)? ＜p＜ 1，所以當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)f″(x)＜0，所以函數(shù)f(x)=xp(0＜p＜1)是(0，+∞)上的嚴(yán)格凸函數(shù);運(yùn)用Jensen不等式，得

由Jensen不等式取等號(hào)的條件知，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)不等式(2)中等號(hào)成立．

當(dāng)p＞1時(shí)，有p－1＞0，由題設(shè)條件xi＞0，i=1，2，…，n，可得

故(3)得證．

引理2[6](Young不等式) 設(shè)a＞0，b＞0，p＞0，q＞0且，則

引理3[7](Holder不等式) 設(shè)ai＞0，bi＞0，i=1，2，…，n，p＞0，q＞0，，則

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 設(shè)xi＞0，λ∈R，μ∈R，t∈R，λ－＞0(i=1，2，…，n)，則

(Ⅰ)當(dāng)rs＞0，r－s≥1(或r≤0，s＞0)時(shí)，有

對(duì)于rs＞0，r－s=1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(6)式中的等號(hào)成立．對(duì)于rs＞0，r－s＞1(或r≤0，s＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn且λ－μxt1=λ－μxt2=…=λ－μxtn時(shí)，(6)式中的等號(hào)成立．

(Ⅱ)當(dāng)rs＞0，r－s＜1，n＞1時(shí)，有

證明:

下面對(duì)s，r的各種取值情況進(jìn)行討論:

(a)若r＞0，s＞0，r－s≥1，則≤1，由引理1中的(2)和引理2，得

故有

(b)若r＜0，s＜0，r－s≥1，則－r＞0，－s＞0，－s－(－r)≥1，利用(a)中(8)式，得

(c)若r=0，s＞0，則由平均值不等式，得

所以(6)式成立．

(d)若r＜0，s＞0，則－r＞0，s＞0，則利用(a)中已證結(jié)論(8)式，得

運(yùn)用引理3，得

即

由(a)(b)(c)(d)可知，(6)式成立．其中等號(hào)成立的條件可由上述證明過(guò)程得到．

(e)若r＞0，s＞0，r－s＜1，n＞11，由引理1中的(3)和引理2，得

即

(f)若r＜0，s＜0，r－s＜1，n＞1，則－r＞0，－s＞0，－s－(－r)＜1，利用(9)式，得

由(e)和(f)可知(7)式成立．定理證畢．

3 定理的應(yīng)用

在定理1的(6)式中，令s=1，得

推論1 設(shè)xi＞0，λ∈ ，μ∈ ，t∈ ，λ－＞0(i=1，2，…，n)，則當(dāng)r≥2 時(shí)，有

在定理1的(6)式中，令s=1，t=1，得

推論2 設(shè)xi＞0，λ∈ ，μ∈ ，λ－μxi＞0(i=1，2，…，n)，則當(dāng)r≥ 2 時(shí)，令m=有

本文定理及其推論在不等式的證明中有著廣泛的應(yīng)用，是建立新的分式不等式和推廣已有不等式的有力工具．

[1] 匡繼昌．常用不等式(第三版)[M]．濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004．180 －182．

[2] 文開(kāi)庭．一組征解問(wèn)題的統(tǒng)一推廣及其應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1997，(1):21 －22．

[3] 張光華．用“取等匹配”技巧證明非嚴(yán)格不等式[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，1999，(11):13 －15．

[4] 曾小平．一道分式不等式的推廣與運(yùn)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，1999，(9):33－34．

[5] 沈艷．Shapiro不等式的改進(jìn)[J]．湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，27(5):28－30．

[6] 劉玉璉，傅沛仁．?dāng)?shù)學(xué)分析講義:上冊(cè)[M]．北京:高等教育出版社，1992．249 －250．

[7] 王向東，蘇化明，王方漢．不等式·理論·方法[M]．鄭州:河南教育出版社，1994．434 －35．