一般參數(shù)下曲線的曲率、撓率和Frenet公式及其應(yīng)用

潘全香

（河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

一般參數(shù)下曲線的曲率、撓率和Frenet公式及其應(yīng)用

潘全香

（河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

將自然參數(shù)下空間曲線的曲率、撓率和Frenet公式推廣到一般參數(shù)下,還給出一般參數(shù)下空間曲線的曲率、撓率和Frenet公式的應(yīng)用及曲率、撓率滿足不同關(guān)系時得到的幾種特殊的曲線.

曲率；撓率；Frenet公式

微分幾何近幾十年來與數(shù)學(xué)中其他分支如代數(shù)、拓?fù)?、分析與物理等學(xué)科互相影響促進,有許多應(yīng)用,它的內(nèi)容與方法也在不斷的發(fā)展.曲率、撓率,Frenet公式都是微分幾何中空間曲線論的基本公式,是研究空間曲線論的基礎(chǔ),在微分幾何中占有十分重要的地位,可以由它們導(dǎo)出曲線的許多重要性質(zhì)與定理.但是經(jīng)典的曲率、撓率,Frenet公式都是在自然參數(shù)下推導(dǎo)得到的[1-2],無法直接應(yīng)用于許多用非自然參數(shù)的應(yīng)用工程,以致一些應(yīng)用理論不得不舍棄經(jīng)典的曲率、撓率、Frenet公式而采用形式復(fù)雜且計算量大的標(biāo)架公式[3-4].為此,下面給出一般參數(shù)形式下的曲率、撓率公式,Frenet公式及其應(yīng)用.

1 自然參數(shù)形式下曲線的曲率、撓率和Frenet公式

2 一般參數(shù)形式下曲線的曲率、撓率和Frenet公式

經(jīng)簡單的推導(dǎo)可以得出一般參數(shù)下曲率、撓率的表達(dá)式

下面就?給出一般參數(shù)形式下曲線的Frenet公式的推導(dǎo).

（1）α′(t )的計算

令

因此,由式（1）、式（3）得：

把式（5）代入式（3）得

（2）γ′(t )的計算

已知γ(t)⊥α(t ),易得γ(t)⊥r′( t ),γ(t)⊥r′′( t),且由γ(t )=1,得到γ(t)⊥γ′(t ),可知r′′( t),γ′(t),均位于α(t)-β(t )平面內(nèi),由式（7）得γ′(t) g r′( t )=0.因此γ′(t) g α(t)=0,可知γ′(t )//β(t ),令

由式（8）、式（9）、式（10）得

由式α′(t ),γ(t)的定義,以及叉乘公式a×b×c=(a×c) b-(b×c) a 得

由上式、曲率的表達(dá)式再結(jié)合式（10）得

由上式和式（11）得：

因此代入式（9）得

將兩邊關(guān)于參數(shù)t求導(dǎo)得：

（4）一般參數(shù)形式下的Frenet公式

根據(jù)步驟（1）～（3）,由代數(shù)中矩陣乘法得到一般參數(shù)形式下的Frenet公式：

特別當(dāng)參數(shù)t取作自然參數(shù)s時,由于α(s)=r′( s)=1,從而得經(jīng)典的Frenet公式

3 曲線的曲率、撓率和Frenet公式的應(yīng)用

對于給定的正則曲線,弧長是它的不變量,曲率k( s)=α˙(s)由曲線的單位切向量關(guān)于弧長的微商決定.如果k≠0,則有撓率τ=γ˙·=γ· β,曲線的曲率、撓率與曲線的參數(shù)選取無關(guān),與弧長一起是曲線的3個不變量.空間曲線論的基本定理指出,曲線的曲率和撓率完全決定了曲線的形狀,當(dāng)曲線的曲率和撓率之間滿足多種不同的關(guān)系時,就會得到不同類型的曲線[5-6].下面給出一些曲線形狀與它的曲率、撓率的關(guān)系：

（1）直線：k=0；

（2）平面曲線：τ=0；

（3）圓：k=a＞0,τ=0；

（4）圓柱螺線：k=a＞0,τ=b≠0；

.

（7）Bertrand曲線：λk( t)+μτ(t)=1,μk( t)-λτ(t )≠0,λ≠0；（8）Mannheim曲線：k( t)=λ[k2(t)+τ2(t )],λ≠0.

4 結(jié)語

本文將在自然參數(shù)形式下的曲率、撓率公式以及Frenet公式推廣到一般參數(shù)形式下,并給出一些曲線形狀與它的曲率、撓率的關(guān)系,由于將這些理論推廣到一般參數(shù)下,可以得到更加廣泛的應(yīng)用.

[1]梅向明,黃敬之.微分幾何[M].北京：高等教育出版社,2003.

[2]陳維桓.微分幾何初步[M].北京：北京大學(xué)出版社,2006.

[3]汪國平,馮藝東,董士海.Sweep曲面中三種定位標(biāo)架的分析比較[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2001,13（5）：455-460.

[4]Wang G P.Sun J G,Hua X J.The SEDE algorithm for general deformed swept volumes[J].Computer Aided Geometry Design, 2000,17（5）：399-418.

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[6]約翰·奧普里.微分幾何及其應(yīng)用[M].北京：機械工業(yè)出版社,2005.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Curvature,torsion and Frenet formulas for a regular curve and its application

Pan Quanxiang
（Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang 453003,China）

Extending the curvature、torsion and frenet formulas for a unit speed cueve to a regular curve and also giving the application of the formulas and some special curves．

curvature；torsion；Frenet formula

O186.1

A

1008-7516（2012）03-0069-03

10．3969/j．issn．1008-7516．2012．03．017

2012-04-21

潘全香（1980-）,女,河南?？h人,碩士,助教．主要從事微分幾何研究．