樹上n維乘積自映射等度連續(xù)的充要條件*

楊 柳

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

在動力系統(tǒng)的研究中，不變點集性質(zhì)的研究是十分重要的工作，對于區(qū)間上的連續(xù)自映射所產(chǎn)生的動力系統(tǒng)來說，已經(jīng)有了較多而且比較深刻的結(jié)果.此處主要研究樹上n維乘積自映射所具有的一些性質(zhì).

系統(tǒng)的等度連續(xù)性是系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種刻劃，對于區(qū)間上連續(xù)自映射和圓周自映射的周期點集上的等度連續(xù)性，文獻［1］-［3］分別進行了討論，文獻［4］給出了樹上連續(xù)自映射在周期點集上具有等度連續(xù)性的幾個充要條件，此處在他們的基礎(chǔ)上給出了樹上n維乘積自映射在周期點集上具有等度連續(xù)性的3個充要條件.

下面給出一些基本概念和記號.

記T為樹，即不含有圈的一維緊致連通的分支流形，f∈C°(X，X)表示緊致度量空間(X，d)上的連續(xù)自映射，T，T1，T2，…，Tn均表示樹，設(shè)(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xn，dn)是緊致度量空間，

定義1［1］設(shè)X為一拓撲空間，f∈C°(X，X)，用f°表示恒等映射，對任意自然數(shù)n，歸納地定義f1=f，f2=f°f，…，fn=f°fn-1.

定義2［1］設(shè)x∈X，若存在自然數(shù)n，使得fn(x)=x，則稱x為f的周期點，f的周期點集記作P(f).

定義3［2］設(shè)x∈X，若對x的任何鄰域V(x)，存在自然數(shù)n，使得fn(x)∈V(x)，則稱x為f的回歸點，記f的回歸點集為R(f).

定義4［2］設(shè)f∈C°(X，X)，稱x是f的異狀點，若存在p∈P(f)，滿足

①x≠p;②x∈Wu(p，fn)，這里Wu(p，f)表示p的非穩(wěn)定流形，n是p的周期;③存在m∈N，fmn(x)=p.

定義5［5］設(shè)f∈C°(X，X)，若?ε ＞0，?p∈P(f)，存在p的鄰域V(p)，使得直徑 diam(fm(V(p)∩P(f)))＜ε，?m≥0，則稱等度連續(xù).

定義6［5］X×X×…×X的度量 ρ為

1 若干引理

引理 1 若f∈C°(T，T)，則fP(f)具有等度連續(xù)性等價于h(f)=0.

引理3 若f∈C°(X，X)，p∈F(fn)，n＞0，則Wu(p，fn)=Wu(p，fkn)，?k＞0.

引理 4 若fi∈C°(X，X)(i=1，2，…，n)，則

其中m=［m1，m2，…，mn］為m1，m2，…，mn的最小公倍數(shù)，m1，m2，…，mn分別是p1，p2，…，pn的周期.

證明 ?z=(x1，x2，…，xn)∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2×… ×fn)n)，設(shè)V(pi)分別是pi的任意一個鄰域，則V(p1)×V(p2)×… ×V(pn)是(p1，p2，…，pn)的一個鄰域.由于z∈WU(p1，p2，…，pn)，存在k＞0，使得z=(x1，x2，…，xn)∈(f1×f2x× … ×fn)kn(V(P1)×V(P2)× … ×V(Pn))，從而xi∈(V(pi))，即xi∈WU(pi).故(x1，x2，…，xn)∈WU(p1)×WU(p2)×… ×WU(pn)，即

反之，?xi∈WU(pi)(i=1，2，…，n)，令z=(x1，x2，…，xn)，下證z∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2× … ×fn)n)，因xi∈WU(pi)(i=1，2，…，n)，由引理 4，存在→pi及mli，使()→xi，li→ + ∞，i=1，2，…，n，若=對于無窮多個li成立，則(f1×f2× … ×fn)n，…)→(x1，x2，…，xn)，且(，…)→(p1，p2，…，pn)，不妨設(shè)＞，對于無窮多個k成立.

令ti=)，則(f1×f2×… ×(t1，t2，…，tn)→(x1，x2，…，xn)，總之z=(x1，x2，…，xn)∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2×… ×fn)n)，即證.

引理5 若f∈C°(X，X)，則f有異狀點等價于存在n＞0，p∈F(fn)，及z∈WU(p，fn)，z≠p，fn(z)=p.

引理6 若f∈C°(T，T)，則f有異狀點等價于h(f)＞0.

引理 7 設(shè)fi∈C°(Xi，Xi)，i=1，2，…，n，則

證明 ?z=(x1，x2，…，xn)∈CR(f1×f2× … ×fn)，?ε ＞0，有z到z的 ε -鏈，設(shè)為{z0=z，z1，…，zn=z0}，令zi=，…，)，i=1，2，…，n，由于 ρ(f1×f2× … ×fn(zi-1)，zi)＜ ε，i=1，2，…，n，即ρ((f1()，f2()，…，fn()，(，…，))＜ε，從而di(fi)，xii)＜ε，故xi∈CR(fi)，即CR(f1×f2×… ×fn)?CR(f1)×CR(f2)×… ×CR(fn).反之，?(x1，x2，…，xn)∈CR(f1)×CR(f2)×… ×CR(fn)，即xi∈CR(fi)，則?ε ＞0，存在從xi到xi的 ε - 鏈，分別設(shè)為{=xi，，…=}.從而可以構(gòu)造n條長度為m1m2…mk+1的ε-鏈如下:

令zi=(，…)，0≤i≤m1m2…mk，則

由 ε的任意性，n的有限性，(x1，x2，…，xn)∈CR(f1×f2×… ×fn)，從而CR(f1)×CR(f2)×… ×CR(fn)，即證.

引理 8 設(shè)fi∈C(Xi，Xi)，i=1，2，…，n，則

這里Asp(f)表示f的漸進周期點.

證明 ?(x1，x2，…，xn)∈Asp(f1×f2×… ×fn)，存在(p1，p2，…，pn)∈P(f1×f2× … ×fn)，使得 ρ((f1×f2×… ×fn)n(x1，x2，…，xn)，(f1×f2× … ×fn)n(p1，p2，…，pn))→0，n→ + ∞，從而di((xi)，(pi))→0，n→ +∞.由于P(f1×f2× … ×fn)=P(f1)×P(f2)× … ×P(fn)，故pi∈P(fi)，所以xi∈Asp(fi)，即(x1，x2，…，xn)∈Asp(f1)×Asp(f2)×…×Asp(fn)，故 Asp(f1×f2×…×fn)?Asp(f1)×Asp(f2)×… ×Asp(fn).反之，若xi∈Asp(fi)，存在pi∈P(fi)，有di((xi)，(pi))→0，n→ + ∞，從而 ρ((f1×f2× … ×fn)n(x1，x2，…，xn)，(f1×f2×… ×fn)n(p1，p2，…，pn))→0，n→ +∞，又P(f1×f2×… ×fn)=P(f1)×P(f2)×… ×P(fn)，故(p1，p2，…，pn)∈P(f1×f2×… ×fn)，所以(x1，x2，…，xn)∈Asp(f1×f2×… ×fn)即 Asp(f1×f2× … ×fn)?Asp(f1)×Asp(f2)×…×Asp(fn)，即證.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)fi∈C°(Ti，Ti)，i=1，2，…，n，則(f1×f2×… ×fn)具有等度連續(xù)性等價于h(f1×f2×…×fn)=0.

證明 “?”因為(f1×f2×…×fn)具有等度連續(xù)性，由引理 2，也具有等度連續(xù)性，再由引理1，h(fi)=0，i=1，2，…，n，故h(f1×f2× … ×fn)=h(f1)+h(f2)+… +h(fn)=0.

“?”由h(f1×f2× … ×fn)=0，則h(fi)=0，i=1，2，…，n，由引理1，分別具有等度連續(xù)性，再由引理2得(f1×f2×…×fn)具有等度連續(xù)性.

定理2 設(shè)fi∈C°(Ti，Ti)，i=1，2，…，n，則(f1×f2× … ×fn)具有等度連續(xù)性等價于f1×f2×…×fn沒有異狀點.

證明 “?”由(f1×f2×… ×fn)具有等度連續(xù)性，再由定理 1，h(f1×f2× … ×fn)=0，故h(fi)=0，i=1，2，…，n，最后由引理6，fi都沒有異狀點.

現(xiàn)假設(shè)f1×f2×… ×fn有異狀點z=(x1，x2，…，xn)，則存在p=(p1，p2，…，pn)是f1×f2× … ×fn的周期點，滿足(x1，x2，…，xn)≠(p1，p2，…，pn).

(x1，x2，…，xn)∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2× … ×fn)n)，n是p的周期，且存在m＞0，(x1，x2，…，xn)=(f1×f2×… ×fn)kn(p1，p2，…，pn)，設(shè)pi的周期為mi，i=1，2，…，n，則mi都能整除n，由引理 4

故xi∈WU(pi，)，并且由(x1，x2，…，xn)=(f1×f2× … ×fn)kn(p1，p2，…，pn)，則xi=(pi)=(pi)，其中kini=n，又由已知(x1，x2，…，xn)≠(p1，p2，…，pn).則x1≠p1或x2≠p2或xn≠pn，不妨設(shè)x1≠p1，則x1是f1的異狀點，與f1沒有異狀點矛盾，故f1×f2×…×fn沒有異狀點.

“?”假設(shè)(f1×f2×…×fn)不是等度連續(xù)的，由定理1，h(f1×f2×… ×fn)＞0，故h(f1)＞0或h(f2)＞0或h(fn)＞0，不妨設(shè)h(f1)＞0，由引理6，f1有異狀點，由引理5，存在n1＞0，p1∈F()及z1∈WU(p1，)，z1≠p1(z1)=p1.設(shè)pi是fi的周期點(i=2，3，…，n)，且周期為mi，記z=(z1，p2，…，pn)，由z1≠p1，故z=(z1，p2，…，pn)≠(p1，p2，…，pn)=p.設(shè)n=［m1，m2，…，mn］，則(f1×f2× … ×fn)n(z)=(z1)(p2)，…(pn))=(p1，p2，…，pn)=p，且n是p的周期.

下證z∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2×… ×fn)n):

設(shè)V(p)是p的任一個鄰域，則存在V(pi)是pi的鄰域，滿足V(p1)×V(p2)×…×V(pn)?V(p)，因z1∈WU(p1)，由引理 3，z1∈WU(p1)，從而存在k＞0，z∈(V(p1))，又pi是fi的周期為ni的周期點，i=2，3，…，n，故pi∈n(V(pi))，從而(z1，p2，…，pn)∈(f1×f2× … ×fn)kn(V(p1)×V(p2)× … ×V(pn))?fkn(V(p1))，即 z=(z1，p2，…，pn)∈WU((p1，p2，…，pn)，(f1×f2× … × fn)n)，由引理 5，f1× f2× … × fn有異狀點，與已知矛盾.

證明 “?”P(F)對F 具有等度連續(xù)性，由定理1，h(F)=0，故 h(f)=0，?z=(x1，x2，…，xn)∈CR(F)P(F)，由引理8及 P(f1×f2×… ×fn)=P(f1)×P(f2)×… ×P(fn)，有 xi∈CR(f)P(f)(i=1，2，…，n)，由引理 12，xi?Asp(f)，由引理 9，(x1，x2，…，xn)?Asp(F).

“?”?xi∈CR(f)P(f)(i=1，2，…，n)，由引理8及 P(f1×f2×… ×fn)=P(f1)×P(f2)×… ×P(fn)，則(x1，x2，…，xn)∈CR(F)P(F)，由已知，(x1，x2，…，xn)?Asp(F)，由引理 9，xi?Asp(f)，不妨設(shè) x2?Asp(f)，由引理12，h(f)=0，從而h(F)=0，故P(F)對F具有等度連續(xù)性.

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