關(guān)于新課標(biāo)將《九章算術(shù)》列入數(shù)學(xué)教材的思考

為貫徹落實(shí)《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》，深化基礎(chǔ)教育課程改革，教育部對(duì)義務(wù)教育階段各學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修訂。修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)有很多方面的變化。其中，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重要變化是建議將《九章算術(shù)》列為教材內(nèi)容[1]。本文試就《九章算術(shù)》融入數(shù)學(xué)教材這一主題進(jìn)行論述，實(shí)際探索以《九章算術(shù)》為代表的古代算經(jīng)與新課程的整合方式及其教育價(jià)值。

筆者首先查閱了現(xiàn)行人教版、北師大版、華東師大版等三個(gè)版本的初中、高中實(shí)驗(yàn)教材，發(fā)現(xiàn)以《九章算術(shù)》為代表的我國(guó)古代算經(jīng)中的問題已經(jīng)在這些教材中占據(jù)了一席之地。相比之下，各版本初中數(shù)學(xué)教材中古算題數(shù)量較多一些，分別為北師大版（21道），人教版（11道），華東師大版（4道）。高中教材中，僅有的如北師大版高中教材必修3中的“韓信點(diǎn)兵”，蘇教版教材必修3中的“百雞問題”等。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，新教材所涉及的古算題數(shù)量較少，而且僅僅在“勾股定理”等內(nèi)容上才有所涉及。顯然，對(duì)于這些古代算經(jīng)的使用還有待進(jìn)一步開發(fā)。

一、《九章算術(shù)》史述

《九章算術(shù)》是中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的著作，也是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著?！毒耪滤阈g(shù)》因全書共有九章而得名，九章的章名及所指用途如下：方田一以御田疇界域；粟米一以御交質(zhì)變易；衰分一以御貴賤察稅；少?gòu)V一以御積冪方圓；商功一以御功程積實(shí)；均輸一以御遠(yuǎn)近勞費(fèi)；盈不足一以御隱雜互見；方程一以御錯(cuò)揉正負(fù)；勾股一以御高深廣遠(yuǎn)。全書共包括246個(gè)應(yīng)用問題，近百條一般性的抽象公式、解法，涉及算術(shù)、代數(shù)、幾何等多方面的知識(shí)。具體來看，“方田章”講述四畝面積的計(jì)算，結(jié)合這種需要，系統(tǒng)地介紹了分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)，以及求幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)的方法。根據(jù)現(xiàn)有的史料，《九章算術(shù)》是世界上最早記載分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則的文獻(xiàn)。歐洲人到15世紀(jì)才掌握這些法則。“粟米章”研究各類糧食的交換?！八シ终隆碧岢霰壤峙浞▌t，稱為衰分術(shù)，討論按比例分配賦稅與徭役。“均輸章”用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法?！坝蛔阏隆备鶕?jù)兩次假設(shè)所得出的盈余或不足，來推算問題的答案，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的又一項(xiàng)創(chuàng)造，后來歐洲人就把它叫做“中國(guó)算法”。“少?gòu)V章”介紹籌算開平方與開立方，其中也包含了分?jǐn)?shù)的內(nèi)容?！吧坦φ隆睂ｉT解決筑城、開渠等土木工程中所提出的各種體積計(jì)算問題?！肮垂烧隆闭撌龉垂啥ɡ砗拖嗨频闹苯侨切巍２⑶姨岢隽硕畏匠痰幕I算解法，這是世界上運(yùn)用一定的算法求解二次方程的最早記錄。“方程章”詳細(xì)地研究了一次方程組的解法，引進(jìn)了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算法則，這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中兩項(xiàng)非常杰出的成就。在這一章里，共收集了18道涉及實(shí)際應(yīng)用的多元一次方程組的問題。我國(guó)古代解這類問題的方法（“方程術(shù)”）是把方程各未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)用算籌依次按“直行”排成一個(gè)“方程組”，然后通過行的數(shù)乘與行、行之間的加減，逐個(gè)消去未知數(shù)，得到“方程組”的解。這些思想及形式，可以無愧地稱之為近代高等代數(shù)中“矩陣”概念和“線性方程組矩陣解法”的先聲?！毒耪滤阈g(shù)》的出現(xiàn)，標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的正式確立。自隋唐之際，《九章算術(shù)》已傳入朝鮮、日本，后期又經(jīng)印度和阿拉伯傳播至歐洲，現(xiàn)在更被譯成多種文字?？梢哉f，《九章算術(shù)》不但對(duì)我國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了優(yōu)良的傳統(tǒng)，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn)。

二、《九章算術(shù)》與數(shù)學(xué)教育的整合形式分析

1.直接將《九章算術(shù)》中的古算題作為例題、習(xí)題使用，呈現(xiàn)原題、翻譯及注解

對(duì)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)古算題的呈現(xiàn)、處理和一般習(xí)題沒什么兩樣，在很大程度上忽視了古算題在數(shù)學(xué)思想方法、育人等方面的教育功能。結(jié)合對(duì)新課標(biāo)的解讀，我們認(rèn)為《九章算術(shù)》與新教材的融合應(yīng)著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化兩個(gè)層面的教育意義。因此，《九章算術(shù)》在新教材中的呈現(xiàn)應(yīng)圖文并茂，既有原文的文化底蘊(yùn)，又為了便于學(xué)生理解，還要有現(xiàn)代白話文的解釋；既要呈現(xiàn)原書的解答過程，又要呈現(xiàn)出解題的思路—“術(shù)”。下面以《九章算術(shù)》“盈不足章”問題1為例進(jìn)行說明。問題如下：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？答曰：七人，物價(jià)五十三”。術(shù)曰：列出所出率，盈、不足之?dāng)?shù)各在其下方。令盈、不足數(shù)與所出率交叉相乘，所得之?dāng)?shù)相加作被除數(shù)。將盈、不足之?dāng)?shù)相加作除數(shù)。除數(shù)除以被除數(shù)得一結(jié)果。若有分?jǐn)?shù)，要通分。盈、不足若與“同買物”相關(guān)，列出所出率，以少減多，用所得余數(shù)去約除數(shù)、被除數(shù)。被除數(shù)約后為物價(jià)，除數(shù)約后為人數(shù)[3]。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)在解題進(jìn)行的同時(shí)，逐句理解“術(shù)”及后世數(shù)學(xué)家的“注釋”的本質(zhì)，然后將“術(shù)”及“注”用現(xiàn)代文翻譯出來，在此基礎(chǔ)上，遵循波利亞的解題四步驟，在“檢驗(yàn)回顧”的同時(shí)加深對(duì)解題思維的理解。

2.以古算題為背景的考試題

以古算題為背景的試題的編制主要有以下幾種方式：一是直接選用。命制試題時(shí)要特別注意試題的取材，要量力而行不能糾纏細(xì)枝末節(jié)，所涉及的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)屬基礎(chǔ)知識(shí)且要服務(wù)于能力考查。二是將古算題稍加設(shè)計(jì)或簡(jiǎn)化情形或保留其思路和方法?？梢詫⒁恍┗A(chǔ)知識(shí)和基本方法嫁接在所要使用的古算題上，也可以通過古算題將相關(guān)的基礎(chǔ)概念、基本結(jié)論、重要性質(zhì)和方法等有機(jī)地組合在一起，以擴(kuò)大知識(shí)覆蓋面。命制的試題應(yīng)在能力目標(biāo)的要求范圍內(nèi)，有效地利用古算題讓這些知識(shí)點(diǎn)能夠整合得自然流暢。三是以古算題為素材，對(duì)其進(jìn)行推廣。對(duì)古算題的推廣主要是對(duì)所要利用的古算題的條件、結(jié)論或者證明思路進(jìn)行整合或調(diào)整。可以拓寬條件得到一般的結(jié)論，也可以對(duì)結(jié)論進(jìn)行合理的修改成為探索性的試題，亦可同時(shí)變更古算題的條件及其結(jié)論從而得到更一般的兼具開放性和探索性的研究性試題。

此類試題最直接地就是能夠調(diào)動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師積極地在課堂里滲透數(shù)學(xué)文化。它拓寬了數(shù)學(xué)試題命制思路，有效避免了數(shù)學(xué)試題命制模式化。這一類型的試題能夠客觀地檢測(cè)學(xué)生猜測(cè)、歸納、類比、推廣等數(shù)學(xué)思維水平；能夠有效地檢測(cè)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法在古算題情境中分析、解決問題的能力；能夠間接地檢測(cè)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)能力；能夠適當(dāng)?shù)貦z測(cè)學(xué)生遇到陌生的數(shù)學(xué)語言和符號(hào)時(shí)的應(yīng)變能力和心理素質(zhì)。

三、以《九章算術(shù)》為代表的古代算經(jīng)的教育價(jià)值分析

1.激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，激勵(lì)成就動(dòng)機(jī)

縱觀現(xiàn)今的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的內(nèi)容體系編排，呈現(xiàn)在學(xué)生面前的數(shù)學(xué)只是一個(gè)孤零零的“骨架”，使得原本活生生的、有血有肉、富有文化意蘊(yùn)的、鮮活的、生動(dòng)的數(shù)學(xué)知識(shí)被淹沒在數(shù)學(xué)課程的形式化、結(jié)構(gòu)化、演繹性的體系之下。一般來說，古算題立意廣泛，大都切實(shí)反映了那個(gè)年代人們的衣食住行以及社會(huì)的民風(fēng)、民俗等特征。此類問題融入課程勢(shì)必會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，讓學(xué)生以一種平和、積極的心態(tài)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。

歷史上各個(gè)時(shí)代的古算題的提出都是為了解決當(dāng)時(shí)的實(shí)際問題，《九章算術(shù)》中的問題涉及現(xiàn)實(shí)生活中的糧食比例折換、工程分配、合理攤派賦稅、土地面積丈量等現(xiàn)實(shí)問題。這些問題本身或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，或者揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法。而且許多古算題的求解歷經(jīng)多位不同時(shí)代的數(shù)學(xué)家的演繹，這會(huì)讓學(xué)生感到他正在解決一個(gè)曾經(jīng)被數(shù)學(xué)家探索過的問題，學(xué)生會(huì)感到一種智力的挑戰(zhàn)，也會(huì)激發(fā)學(xué)生無限的潛能，這有利于激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)態(tài)度和成就動(dòng)機(jī)。

2.展示數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀

如上所述，古算題的提出及解決都是為了解決當(dāng)時(shí)社會(huì)的實(shí)際問題，涉及社會(huì)生活的方方面面，諸如糧食囤積、房屋建造、商業(yè)貿(mào)易、市場(chǎng)買賣、天文歷法、戰(zhàn)爭(zhēng)等。因此，古算題在一定程度上反映了各個(gè)時(shí)代的人們關(guān)注的熱點(diǎn)問題，因而古算題本身就包含著豐富的社會(huì)文化信息，古算題題設(shè)的字里行間也充滿著濃郁的人文色彩和寶貴的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)。在此試舉幾例，以期引起讀者的共鳴，激發(fā)一線教師的對(duì)于古算題的開發(fā)欲望。

問題1：廬山山高八十里，山峰頂上一粒米，黍米一轉(zhuǎn)只三分，幾轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到山腳底？（選自明程大位《算法統(tǒng)宗》）之“粒米求程”）[4]

本題是說廬山從山頂?shù)缴侥_有一條80里長(zhǎng)的道路，山頂上有一粒黍米，滾動(dòng)一周，行程3分，問沿著這條路滾到山腳底，共轉(zhuǎn)了多少周？這是一個(gè)明代的題，取明朝的度量制度，1步為5尺，1里為360步。其實(shí)問題本身很簡(jiǎn)單，但借用“黍米”來命題卻與我國(guó)度量衡制度形成的歷史背景有關(guān)。數(shù)學(xué)源于生活，度量衡制度的建立也是生活的需要。在歷史上，黍米是用來作為建立度量衡制度的“標(biāo)準(zhǔn)參照物”的。[2]《說苑·辨物篇》：“度量權(quán)衡，以黍生之。十黍?yàn)橐环郑譃橐淮?，十寸為一尺，十尺為一丈?！睂W(xué)生從本題可以體會(huì)到，我國(guó)以農(nóng)立國(guó)，度量權(quán)衡，無一不與農(nóng)業(yè)有關(guān)，也可以了解到有關(guān)度量衡單位之間的換算。

再看下面幾個(gè)例子[5]：

問題2：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高幾何？（《九章算術(shù)》之“竹折抵地”）

問題3：竹高十八尺，為風(fēng)吹折，竹尖抵地，離根六尺，求兩段之長(zhǎng)。（印度婆羅摩及多，620年）。

問題4：一矛直立水中，出水三尺，風(fēng)吹矛沒入水中，矛尖恰在水面上，矛尾仍在原位，矛頭與原位相距5尺，求矛長(zhǎng)。（阿爾卡西《算術(shù)之論》，1427年）

上述三個(gè)問題都是有關(guān)勾股定理的應(yīng)用，其出處、文獻(xiàn)的年代都相距甚遠(yuǎn)，這體現(xiàn)出全世界范圍內(nèi)對(duì)于勾股定理及其應(yīng)用的關(guān)注。三個(gè)問題中，印度婆羅摩及多的問題2的表述近似于問題1的“竹折抵地”，且《九章算術(shù)》的成書年代遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于婆羅摩及多的著作，再結(jié)合我國(guó)古代社會(huì)與國(guó)外的交往情況，不排除這可能是《九章算術(shù)》等古代算經(jīng)流傳國(guó)外，再由國(guó)外的學(xué)者編譯而成的題目。這可以被認(rèn)為是不同社會(huì)文化在數(shù)學(xué)知識(shí)方面相互借鑒和轉(zhuǎn)化的典范。通過設(shè)置并合理使用這些頗具代表性的古算題，可使學(xué)生獲得社會(huì)歷史文化與數(shù)學(xué)思維的雙重熏陶，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的文化意義。

3.呈現(xiàn)一題多解以及解題方法的古今演變，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是最基本的活動(dòng)形式，知識(shí)的獲得、方法的掌握都需要通過解題活動(dòng)來完成。然而，由于考試功利的驅(qū)使，常常把數(shù)學(xué)解題異化為“把學(xué)生培養(yǎng)為對(duì)考題作出快速反應(yīng)的解題機(jī)器”，使得數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸流于單純的演算習(xí)題的訓(xùn)練。真正的解題教學(xué)，應(yīng)通過典型數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)，去探究數(shù)學(xué)解題的基本規(guī)律，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。因此，在古算題的教學(xué)中，應(yīng)側(cè)重把古算題的古今解法、初高等解法進(jìn)行比較，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)各種方法的特點(diǎn)，理清解題方法演變的脈絡(luò)，明晰何種方法更適合于何種脈絡(luò)，哪種策略應(yīng)該向什么地方遷移。通過比較，可以清楚地看出其中的指導(dǎo)思想和總體思路，有助于拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)全方位的認(rèn)知能力，在更高層面上理解和把握知識(shí)。以《張邱健算經(jīng)》的“百雞問題”為例。

原題為：今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，凡百錢買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何？

答曰：雞翁四，值錢二十。雞母十八，值錢五十四。雞雛七十八，值錢二十六。

雞翁八，值錢四十。雞母十一，值錢三十三。雞雛八十一，值錢二十七。

雞翁十二，值錢六十。雞母四，值錢十二。雞雛八十四，值錢二十八。

術(shù)曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三即得[6]。

分析發(fā)現(xiàn)，原題中的“術(shù)曰”令人費(fèi)解，很難從中想出解題的思路。我們不妨按照常規(guī)思路，設(shè)未知數(shù)，列方程，將探得的結(jié)果盡量用“術(shù)曰”來解釋。

解：設(shè)有大公雞x只，母雞y只，小雞z只，依題意有，

5x+3y+=100……（1）x+y+z=100……（2）

消去z得7x=4（25-y）……，（3）式表明，公雞x數(shù)應(yīng)是4的倍數(shù)，不妨令x=4t，則y=25-7tz=75+3t……（4），

當(dāng)t=1，2，3時(shí)，其解為：x：4，8，12y：18，11，4z：78，81，84。分析發(fā)現(xiàn)，（4）式揭示了“術(shù)曰”的關(guān)鍵：t增1，則x增4，y減7，z益3。從x必須是4的倍數(shù)出發(fā)，其解就不難得到了。

我們知道，“百雞問題”是一個(gè)二元一次不定方程的問題，然而學(xué)者除了用《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”外，還把它化歸為等價(jià)的同余問題，用“大衍求一術(shù)”來解。此外，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)也給出了“百雞問題”的解法，其解法的本質(zhì)也是蘊(yùn)含了極為重要的“求一”思想。限于篇幅，這兩種解題方法本文不再展開，有興趣的讀者可參閱清代學(xué)者時(shí)曰醇著《百雞術(shù)衍》（1861年），以及陳景潤(rùn)著《初等數(shù)論》。幾百年來，眾多學(xué)者圍繞“百雞問題”進(jìn)行了研究，給出了不同的解題方法。教學(xué)中全面、系統(tǒng)分析這些解法首先是豐富了教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（PCK），也拓寬了學(xué)生的視野，有利于從整體上把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，掌握各種數(shù)學(xué)思想方法。

4.原始、樸素的數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)作用

數(shù)學(xué)思想方法是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。人的數(shù)學(xué)智能在很大程度上依賴于數(shù)學(xué)思想方法的掌握。數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一條“暗線”，反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識(shí)的背后，需要加以分析、提煉才能使之顯露出來。在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展與應(yīng)用過程中應(yīng)始終以數(shù)學(xué)思想方法的形成作為數(shù)學(xué)教學(xué)的高層次追求，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的骨架與肌肉，是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的活力與靈魂。這其中，教材中的習(xí)題也應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)結(jié)合。然而遺憾的是，傳統(tǒng)的解題教學(xué)大都是為解題而解題，忽視對(duì)解題過程中數(shù)學(xué)思想方法的整理與提煉，這與問題本身質(zhì)量不高，純粹為了“題海戰(zhàn)術(shù)”式的演練有很大關(guān)系。古算題卻恰恰相反，以《九章算術(shù)》為例，其每一章都是先列舉若干個(gè)實(shí)際問題，并對(duì)每個(gè)問題都給出解答，然后再給出“術(shù)”作為一類問題的共同解法，這些“術(shù)”都包含了深刻的數(shù)學(xué)思想。以《九章算術(shù)》“盈不足”章的“雙鼠穿垣”問題為例。

原題為：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？

答曰：二日、十七分日之二。

大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，

小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。

術(shù)曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半[7]。

《九章算術(shù)》對(duì)于該題的求解思路是把問題巧妙地轉(zhuǎn)化為“盈虧問題”，用“盈不足術(shù)”求解。

解：假設(shè)兩只老鼠打洞2天，則仍差5寸，不能把墻打穿；假設(shè)打洞3天，就會(huì)多出3尺7寸半。利用《九章算術(shù)》中的一盈，一不足公式得到，兩只老鼠相遇的天數(shù)為：

=2。相會(huì)時(shí)，大小老鼠分別穿墻：1+2+4×=3，1++×=1。

可以看出，這種解法的高明之處是避開了每天變化的速度，把含有變量的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為常量的數(shù)學(xué)問題。這種方法的本質(zhì)是通過兩次假設(shè)，得到問題的解決。其實(shí)，“盈不足術(shù)”也包含著哲學(xué)思辨，對(duì)待一個(gè)多因素制約的問題，采用增、減自變量數(shù)值，觀察結(jié)果的變化，最終找到最佳方案，使得問題定量解決，從這個(gè)角度看，盈虧思想已經(jīng)超越數(shù)學(xué)本身而成為一種思維模式。

“雙鼠穿垣”問題還有指數(shù)方程的解法。設(shè)天后兩鼠相遇，那么，

大鼠打洞：1+2+22+23+…+2x-1，小鼠打洞：1++（）2+（）3+…+（）x-1，

可得方程，1+2+22+23+…2x-1+1++（）2+（）3+…+（）x-1，最終解得，

x=。

如上，該題的兩種解法蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)思想。盈虧方法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，指數(shù)方法體現(xiàn)了直觀化的數(shù)學(xué)思想。此外，我們也發(fā)現(xiàn)，兩種解法所得到的答案不一樣，顯然，一個(gè)是有理數(shù)，一個(gè)是無理數(shù)。各取近似值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)誤差不大。究竟是什么原因?qū)е陆Y(jié)果不一致？追根溯源，其實(shí)這是由對(duì)問題背后的數(shù)學(xué)意境的理解不同造成的。我們知道，古代數(shù)學(xué)家缺少“動(dòng)“的數(shù)學(xué)意境，他們很自然地把老鼠的打洞速度看成是每天不變的勻速，因此用盈虧方法來解。近代數(shù)學(xué)則是動(dòng)態(tài)的，用指數(shù)方程來解，是把每一天老鼠打洞的速度也呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律變化的，所以不同的結(jié)果就產(chǎn)生了。兩種截然不同的數(shù)學(xué)思想也代表了數(shù)學(xué)發(fā)展的基本規(guī)律，數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)、否定、完善的過程中發(fā)展起來的。因此，教學(xué)中系統(tǒng)利用這些古算題，有效地進(jìn)行解題教學(xué)的“變式”訓(xùn)練，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)思想方法的深刻理解和靈活運(yùn)用都是非常有幫助的。

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