初中函數(shù)概念教學(xué)舉例有效性的心理分析

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念獲得的方式有兩種，一種以概念形成方式獲得，另一種是以概念同化方式獲得。由于初中生的年齡、認(rèn)知水平的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單而具體，數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能作為同化新知識(shí)的已有基本知識(shí)比較少或沒有，因此在教學(xué)中，大部分概念是以概念形成方式進(jìn)行教學(xué)的。所謂概念形成是指人們對(duì)同類事物中若干不同例子進(jìn)行感知、分析、比較和抽象，以歸納方式概括出這類事物的本質(zhì)屬性從而獲得概念的方式。函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)的核心概念之一。因和學(xué)生已有的常量數(shù)學(xué)知識(shí)不能直接相聯(lián)系，因此函數(shù)概念的引入利用概念形成的方式進(jìn)行，本文談?wù)勗谶@個(gè)過程中，如何提高函數(shù)概念教學(xué)的有效性。

一、正例的充分性

正例的充分性是指在函數(shù)概念的形成過程中，所舉正例的個(gè)數(shù)、正例的類型滿足什么條件，才能使學(xué)生形成正確的函數(shù)概念的表征。在函數(shù)概念的形成過程中，有很多因素需要考慮，其中主要應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面的因素。

第一，從數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)對(duì)概念形成的要求，所舉的正例要有利于學(xué)生通過觀察、分析、比較、歸納、概括出這些例子的本質(zhì)屬性，從這個(gè)角度分析，所舉正例的個(gè)數(shù)至少應(yīng)在二個(gè)，才能進(jìn)行比較、分析、歸納、概括例子共同的本質(zhì)屬性。

第二，從函數(shù)的表示方法上來分析。兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用解析式、列表法、圖像法等三種方法表示，因此所舉正例的個(gè)數(shù)至少應(yīng)包括二種類型。不妨假設(shè)只舉兩個(gè)變量之間的關(guān)系用解析法表示的例子，這樣會(huì)使學(xué)生認(rèn)為函數(shù)解析式是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，從而擴(kuò)大函數(shù)概念的內(nèi)涵。例如，舉如下問題1、問題2兩個(gè)例子形成函數(shù)概念。

問題1.地球上的赤道是一個(gè)大圓，半徑長(zhǎng)r0≈6.378×106（米）。設(shè)想有一個(gè)飛行器環(huán)繞赤道飛行一周，其軌道是與赤道在同一平面且同圓心的圓E。如果圓E的周長(zhǎng)比赤道的周長(zhǎng)多a米，那么圓E的半徑r是多少米？

問題2.一輛汽車行駛在國(guó)道上，汽車油箱里原有汽油120升，每行駛10千米耗油2升。

（1）填表：

（2）在汽車行駛過程中，汽車行駛的路程與油箱里剩余的油量都是變量嗎？

（3）設(shè)汽車行駛的路程為x千米，油箱里剩余的油量為y升，用含x式子表示y。

顯然上面兩個(gè)例子兩個(gè)變量之間的關(guān)系均可用解析式表示，而這并不是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，因此以這兩個(gè)例子形成函數(shù)概念不能使學(xué)生正確表征函數(shù)概念，要有使學(xué)生舍棄這二個(gè)例子中非本質(zhì)屬性的例子（舍棄解析式），所以至少應(yīng)包括用兩種方法表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)角度分析至少二個(gè)例子。

第三，從學(xué)生的氣質(zhì)類型上來分析，至少應(yīng)有四個(gè)例子。因?yàn)橛械膶W(xué)生是代數(shù)氣質(zhì)類型，很容易理解代數(shù)方面的例子；有的學(xué)生是幾何氣質(zhì)類型，很容易理解幾何方面的例子。故這些例子應(yīng)包括幾何與代數(shù)類型的例子，而幾何與代數(shù)方面的例子要分別舉二個(gè)例子，以使學(xué)生概括出例子的本質(zhì)屬性。

綜上分析，可知，在函數(shù)概念的形成過程中，至少應(yīng)有四個(gè)例子，這四例子是兩個(gè)幾何方面的例子，兩個(gè)代數(shù)方面的列子，應(yīng)包括三種表示變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法。一個(gè)代數(shù)例子和一個(gè)幾何例子，變量之間的關(guān)系用解析式表示的，用表格法、圖像法表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，舍棄代數(shù)例子、幾何例子中的解析式這個(gè)非本質(zhì)屬性。這樣才能有利于學(xué)生充分感知素材，正確形成函數(shù)概念的表征。

二、經(jīng)驗(yàn)的緊密性

經(jīng)驗(yàn)的緊密性是指在函數(shù)概念的形成過程中所舉例子要和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系。一是心理學(xué)研究表明：對(duì)初中學(xué)生而言，形成抽象概念的能力不強(qiáng)，對(duì)抽象的概念還把握不了本質(zhì)屬性，雖然函數(shù)概念是在初二年級(jí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，但初二只是學(xué)生理解抽象概念轉(zhuǎn)折點(diǎn)，還不具備理解抽象概念的真正能力。二是研究表明：從智力與經(jīng)驗(yàn)對(duì)概念學(xué)習(xí)的影響程度來看，經(jīng)驗(yàn)的作用更大，豐富的經(jīng)驗(yàn)背景是理解概念本質(zhì)的前提，否則將容易導(dǎo)致死記硬背概念的字面定義而不能領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵。三是學(xué)生在函數(shù)概念學(xué)習(xí)之前，所掌握的是常量數(shù)學(xué)知識(shí)，主要是代數(shù)式的恒等變形和方程、不等式等，以通過運(yùn)算結(jié)果為目的，主要目的是計(jì)算。而函數(shù)是研究變量與變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)，這些知識(shí)不能與學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)直接相聯(lián)系，所以學(xué)生要重建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以順應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和改造，以適應(yīng)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，因此所舉的例子要聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際。學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過內(nèi)化也是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分，可以成為同化新知識(shí)的固著點(diǎn)，這樣學(xué)生能夠利用已有的經(jīng)驗(yàn)來理解所舉的例子，同時(shí)所舉的例子又能夠在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)一步地建構(gòu)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)過程本質(zhì)是縮小新知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間跨度的過程，縮小這個(gè)距離，才能有利于學(xué)生同化函數(shù)概念，有利于學(xué)生掌握函數(shù)概念的本質(zhì)。例如：上面的以問題1為函數(shù)概念形成的例子，與學(xué)生的直接生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系不密切，不利于形成函數(shù)概念。而下面的問題3與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系密切，而且是每個(gè)學(xué)生都感知過，因此有利于函數(shù)概念的形成。

問題3.汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí)，先填下表，然后再用含t的式子表示s。

三、首例的典型性

首例的典型性是指在函數(shù)概念形成過程中，所舉的第一個(gè)例子要具有典型的代表性。因?yàn)榘凑崭拍钚纬傻木劢共呗?，第一個(gè)例子是學(xué)生對(duì)后面例子進(jìn)行分析的思維載體，第一個(gè)例子分析好，才有利于學(xué)生在后面的例子中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)屬性，而舍棄非本質(zhì)屬性，這樣才有利于函數(shù)概念的形成。另外，第一個(gè)例子容易使學(xué)生形成思維定勢(shì)，先入為主，因此第一個(gè)例子一定要具有典型代表性，第一問一定要體現(xiàn)變量之間的對(duì)應(yīng)這個(gè)函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，這樣會(huì)使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的第一印象就是變量之間對(duì)應(yīng)的本質(zhì)。上面的問題1如作為函數(shù)概念形成的首例，一是脫離學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，二是對(duì)學(xué)生的空間想象力要求太高，三是沒有分步提問進(jìn)行分析，體現(xiàn)變量之間對(duì)應(yīng)的本質(zhì)屬性，做為首例容易擴(kuò)大函數(shù)概念的內(nèi)涵，認(rèn)為兩個(gè)變量之間必須有解析式表示才是函數(shù)。而問題3做為函數(shù)概念形成的首例，是具有典型代表性的。問題先是填表體會(huì)變量之間的對(duì)應(yīng)本質(zhì)，然后給出解析式，使學(xué)生能體會(huì)、感知到變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，故有利于后續(xù)例子的分析。

四、反例的必要性

反例的必要性是指在函數(shù)概念給出后，要及時(shí)給出正反例變式讓學(xué)生進(jìn)行辨析。通過正反例變式以使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延有個(gè)清晰的邊界，這樣進(jìn)一步使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)概念的內(nèi)涵的理解。正例變式可考慮不同學(xué)生的生活背景，可從多種背景、多重層次、多個(gè)側(cè)面揭示變量之間對(duì)應(yīng)的本質(zhì)屬性。通過反例變式明確函數(shù)概念的外延，概念的內(nèi)涵與外延是對(duì)立而統(tǒng)一的，內(nèi)涵明確則外延清晰，反之亦然。因此，函數(shù)概念的教學(xué)除了在內(nèi)涵上下功夫外，還應(yīng)該使學(xué)生對(duì)概念所包含的對(duì)象集合有一個(gè)清晰的邊界。反例變式的運(yùn)用消除了非本質(zhì)特征的干擾，劃清了與其他概念之間的邊界，明確了概念的外延，以達(dá)到對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)特征的深刻理解，以使學(xué)生建構(gòu)起函數(shù)概念有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之成為學(xué)生內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分。

總之，函數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心概念，它標(biāo)志著常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的過渡，是教學(xué)中難啃的硬骨頭。教學(xué)過程中必須恰到好處地選擇聯(lián)系學(xué)生直接生活經(jīng)驗(yàn)，具有一定代表性、典型性，類型全面和一定數(shù)量的例子進(jìn)行分析，才能使學(xué)生在函數(shù)概念的形成過程中，建構(gòu)函數(shù)概念的概念域和概念系，并最終建立函數(shù)概念的圖示，這樣才能使學(xué)生正確地表征函數(shù)概念，真正地理解函數(shù)概念，而不是死記硬背函數(shù)概念，從而提高函數(shù)概念教學(xué)的有效性。

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（責(zé)任編輯 劉永慶）