Cauchy睱ebesgue微積分體系缺陷的思考

丁小平

【摘要】系統(tǒng)地闡述了微積分原理的演化歷史，發(fā)現(xiàn)獵auchy睱ebesgue微積分原理對優(yōu)化微積分方法的應(yīng)用意義不大.同時(shí)，指出現(xiàn)行微積分原理體系中微分概念定義的缺陷.

【關(guān)鍵詞】獵auchy睱ebesgue微積分原理;微分

1665~1667年，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，發(fā)明了微積分方法，并試圖建立微積分原理.稍后，萊布尼茨也獨(dú)立地開展了同樣的研究.他們所建立的微積分方法是正確的，但是缺乏嚴(yán)密的邏輯論證，只能被看作是一種因天才般的直覺而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)工具.為了解決這個微積分原理的論證問題，不少數(shù)學(xué)家做了重要的工作：達(dá)朗貝爾引進(jìn)了“極限論”；歐拉、拉格朗日、柯西、卡爾?威爾士特拉斯、黎曼等多位數(shù)學(xué)家也都做了創(chuàng)建性的工作；進(jìn)入20世紀(jì)，又經(jīng)過了達(dá)布和沃特拉等數(shù)學(xué)家的奠基性工作，勒貝格將傳統(tǒng)微積分原理推向了新的高度.自此，國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)并宣布微積分理論完善.

盡管如此，微積分演化歷史上所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”中的“0/0”，其后的微分定義、引入極限論后導(dǎo)數(shù)與積分的定義、病態(tài)函數(shù)積分等至今仍存在不少爭議.本文系統(tǒng)地梳理了獵auchy睱ebesgue微積分原理體系的演化歷史，重點(diǎn)論述了該原理體系中微分定義的缺陷及其對該理論體系的影響.

1.獵auchy睱ebesgue微積分原理體系演化歷史

微積分早期演化的一條主線是自柏拉圖，經(jīng)阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴羅的量變積累，到牛頓發(fā)生根本質(zhì)變，形成了運(yùn)動學(xué)特征的微積分；另一條主線是自德謨克利特、開普勒、費(fèi)馬、帕斯卡和惠更斯的量變積累過程，到萊布尼茲發(fā)生根本性質(zhì)變，形成了原子論性質(zhì)的微積分.㊣.Newton在1665~1667年間所做的工作和G.Leibniz在1672~1676年間所做的工作就分別是這兩條主線上的各自的質(zhì)變.它們是微積分演化史上不朽的里程碑.以此為標(biāo)志，我們稱以前的微積分演化歷程為微積分演化史的第一歷史階段，稱此后到1821年為微積分演化的第二歷史階段.

微積分演化的第二個歷史階段，不僅是微積分演化史中最輝煌的歷史階段，也是整個科學(xué)發(fā)展史中最輝煌的歷史階段之一.在這個歷史階段中，不僅形成了被恩格斯譽(yù)為“人類精神最高勝利”的本初微積分，而且，還形成了微積分的各分支科學(xué)和以微積分方法為工具的眾多門科學(xué).

微積分演化的第三個歷史階段從1821年至今.第三個歷史階段又可分為上葉和下葉，其分期在1850年前后，標(biāo)志是獶irichlet函數(shù)、Weierstrass函數(shù)、Thomae函數(shù)和Volterra函數(shù)等的構(gòu)造.Cauchy睱ebesgue微積分原理體系指的就是微積分演化歷史的第三個階段.1821年，A-L.Cauchy出版了《分析教程》，1823年，又出版了《無限小計(jì)算教程概論》.這兩部著作建立了極限理論，并以此為工具建立了全新的微積分原理，以這兩部劃時(shí)代的著作為標(biāo)志，微積分演化史進(jìn)入了第三個歷史階段的上葉.進(jìn)入微積分演化史的第三個歷史階段的下葉，V.Volterra,L.Bell和H.Lebesgue等多位數(shù)學(xué)家，尤其是Lebesgue集前人之智慧，用G.Cantor的集合論解決了怪異函數(shù)的可積性問題，并建立了Lebesgue積分，其標(biāo)志是其1902年撰寫的博士論文《積分、長度和面積》.從此，實(shí)變函數(shù)和現(xiàn)代分析建立起來，數(shù)學(xué)界公認(rèn)并宣布微積分完善.

應(yīng)該指出的是，在微積分的第三個歷史時(shí)期，科學(xué)雖有重大突破，但不是微積分的功績，比如，相對論、量子力學(xué)、基因工程、計(jì)算機(jī)工程等.除將分析引入復(fù)數(shù)領(lǐng)域外，微積分的分支學(xué)科和以微積分為支撐的自然科學(xué)發(fā)展得很有限.最有說服力的是科學(xué)家S.Poisson的科研實(shí)踐，Poisson在積分理論、行星運(yùn)行理論、熱物理、彈性理論和概率論領(lǐng)域都作出了重要貢獻(xiàn).泊松在其《力學(xué)論著》中大量使用無窮小法，他認(rèn)為這些量“小于任何同類性質(zhì)的給定量”，是真實(shí)存在的，而不僅僅是“幾何學(xué)家想象的一種研究方法”.按理說，有了“嚴(yán)格分析奠基者”Cauchy和“現(xiàn)代分析之父”Weierstrass建立起的嚴(yán)密而完整的微積分，微積分分支學(xué)科和相關(guān)學(xué)科的發(fā)展應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過前一個時(shí)期，可科學(xué)實(shí)踐證明答案并不是這樣.相反，科學(xué)實(shí)踐一再證明，玠玿以“直”代“曲”的推演和計(jì)算是精確的（而非近似的）；科學(xué)實(shí)踐一再證明，積分是微分的直接累加（根本不需再求極限）.

2.獵auchy睱ebesgue微積分原理中微分定義的缺陷

Cauchy承認(rèn)Leibniz在1676~1677年間給出的玠玿玡=玡玿┆玡-1玠玿,А要x玡玠玿=x┆玡+1猍]玡+1和А要琤璦y玠玿=Z(b)-Z(a)，但不理解獿eibniz關(guān)于微分玠玿和玠珁的解釋.獿eibniz說：“……玠玿表示兩相鄰x的差……相當(dāng)于歐幾里得的接觸角，比任何給定的量都小，但又不是絕對的0，是相對的0.”在把獿eibniz的箴言誤作囈語的同時(shí)，Cauchy決定另起爐灶，因?yàn)闃O限的思想和方法已經(jīng)讓他看到“光明”.在Cauchy的心目中，微分無非有三種可能性：是0，0至∞之間的量，是∞.Cauchy首先排除了是0和∞的兩種可能，于是微分只可能是有限量（包括極小的有限量），在極限方法的貫通下，獵auchy認(rèn)為自己完成了正確的微積分原理的構(gòu)建，只是統(tǒng)一微分定義中的玠珁=f(x)Δ玿成玠珁=f(x)玠玿還有困難.然而，在獵auchy睱ebesgue微積分原理體系中，“微分”的定義，其上承“導(dǎo)數(shù)”，下啟“積分”.因此，如果“微分”定義的不恰當(dāng)，則“導(dǎo)數(shù)”和“積分”必然遭到影響，勢必導(dǎo)致微積分原理的結(jié)構(gòu)變得支離破碎，在邏輯上自相矛盾.

按照Cauchy睱ebesgue微積分原理，定義Δ珁=f(x)Δ玿+o(Δ玿)的線性主部f(x)Δ玿為“微分”.為了湊出能夠“承上啟下”的“玠珁=f(x)玠玿形式”，現(xiàn)行的微積分原理又“強(qiáng)行約定”出了兩個前提：其一，強(qiáng)行認(rèn)為“x的微分”就是“y=x的微分”；其二，強(qiáng)行定義“玠珁=Δ珁”.基于這兩種強(qiáng)行約定，┆玠珁=猣(x)Δ玿就變成了玠珁=f(x)玠玿.

事實(shí)上，玠玿不可能等于Δ玿，因?yàn)槲⒎郑ú还苁谦d珁,玠玿，抑或其他）已經(jīng)被定義作增量（不管是Δ珁,Δ玿，抑或其他）的線性主部.也就是說對任意可微的z=E(y),y=F(x),x=〨(t)，總有Δ珃=e(y)Δ珁+o璄(Δ珁)，Δ珁=f(x)Δ玿+o璅(Δ玿),Δ玿=g(t)Δ玹+o璆(Δ玹),即Δ珃≠玠珃,Δ珁≠玠珁,Δ玿≠玠玿.可是，在美好的前景的誘惑下，獵auchy終于下定決心采用非數(shù)學(xué)的手段統(tǒng)一玠珁=f(x)Δ玿和玠珁=f(x)玠玿.這便是第三個歷史時(shí)期的微積分原理，加上傳統(tǒng)的微積分方法，這便構(gòu)成了第三個歷史時(shí)期的微積分.

現(xiàn)行微積分原理，即獵auchy睱ebesgue體系，就是一個在承上啟下的核心問題上采用非數(shù)學(xué)手段的一個微積分原理.對可微函數(shù)y=F(x1,x2,x璶)而言，它的手段為兩種：第一，強(qiáng)行認(rèn)為（玱r：約定）x1,x2,…,x璶的微分就是y同時(shí)分別等于x1,x2,…，x璶的微分，其中，n為1或任意有限的自然數(shù)；第二，強(qiáng)行定義玠玿1=Δ玿1，玠玿2=Δ玿2，…，玠玿璶=Δ玿璶，其中，n為1或任意有限的自然數(shù).對如上兩種做法，獵auchy睱ebesgue體系內(nèi)的數(shù)學(xué)家沒有拿出任何令人信服的依據(jù).

從立論的角度說，Cauchy已經(jīng)將微分（玠珁,玠玿或其他符號）定義作增量（Δ珁,Δ玿或其他符號）的線性主部，因此，不可再同時(shí)定義微分就是增量自身.另一方面，可微函數(shù)y璱=F璱(x1,x2,…，x璲,…，x璶)已經(jīng)規(guī)定了y璱與x璲的一般關(guān)系，不可再認(rèn)為y璱同時(shí)等于x1,x2,…，x璶，即荒唐的y璱=x1=x2=…=﹛璲=…=x璶，結(jié)果把一般的n元函數(shù)變成了一元函數(shù).事實(shí)上，定義玠玿璲=Δ玿璲與認(rèn)為x璲的微分就是y璱=x璲的微分等價(jià).前者錯，后者也錯；后者錯，前者也錯.總之，這兩種方法都是錯的.

從駁論的角度說，對一般可微函數(shù)z環(huán)=E環(huán)(y1,y2,…，y璱,…，y璵),y璱=F璱(x1,x2,…，x璲,…，x璶),x璲=G璲(t1,t2,…，t璳,…，t璷)，有Δ珃環(huán)=А苙[]i=1И礒環(huán)[]祔璱Δ珁璱+o環(huán)(ρ環(huán)),Δ珁璱=А苙[]j=1И礔璱[]祒璲Δ玿璲+o璱(ρ璱),Δ玿璲=А苚[]k=1И礕璲[]祎璳Δ玹璳+o璲(ρ璲)=玠玿璲+o璲(ρ璲).因此，一般說來，┆玠珃環(huán)≠Δ珃環(huán),玠珁璱≠Δ珁璱,玠玿璲≠Δ玿璲.由于等價(jià)關(guān)系，一般說來，也不可以認(rèn)為z環(huán)=y璱(i=1,…,m),y璱=x璲(j=1,…,n),x璲=t璳(k=1,…,o).

如上兩種偷換概念的做法在Cauchy睱ebesgue體系的微積分原理中是具有代表性的做法，這是科學(xué)所不允許的.然而，Cauchy睱ebesgue體系的捍衛(wèi)者卻反駁說：“數(shù)學(xué)僅僅是一個形式體系，它不是一個物理體系，Cauchy的微分定義不面對復(fù)合函數(shù)，因此，Cauchy睱ebesgue體系是無懈可擊的.”如果是這樣，微分的不變性是不是針對復(fù)合函數(shù)而言的？復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)又是針對什么？沒有復(fù)合函數(shù)思想，隱函數(shù)形式、參數(shù)方程形式和極坐標(biāo)形式的求導(dǎo)又如何解釋？不定積分的兩類換元法還有成立的依據(jù)嗎？微分方程中的變量替換方法如何解釋？事實(shí)上，即使是Cauchy睱ebesgue流派的數(shù)學(xué)工作者，也有發(fā)現(xiàn)其錯誤并悄悄做改動的，但改動后仍存在一些問題；還有就干脆回避微分的.這至少說明，很多數(shù)學(xué)家在此問題上也存在困惑，但是他們沒有直接把困惑說出來，而是變相的修改.

3.結(jié) 論

（1）獵auchy睱ebesgue微積分原理體系對優(yōu)化和推動微積分方法的應(yīng)用意義有限.

（2）Cauchy睱ebesgue微積分原理體系中微分的定義存在缺陷.

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