概率統(tǒng)計(jì)中的典型問題分析

郭祥標(biāo)

概率有其廣泛的社會(huì)生活背景,在現(xiàn)代社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用,概率及其思想方法已經(jīng)滲透到各個(gè)領(lǐng)域.近年來,概率及其思想方法已經(jīng)作為中學(xué)數(shù)學(xué)中新增的內(nèi)容,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,是高考的熱點(diǎn)之一,并且在今后的高考及數(shù)學(xué)競(jìng)賽中其體現(xiàn)的力度必將加大.筆者根據(jù)長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中的體會(huì),就概率中的典型例題與概率中容易出現(xiàn)的問題作粗淺分析.

一、頻率與概率的關(guān)系

頻率是在n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)m占總次數(shù)n的比率m[]n，它是一個(gè)隨著試驗(yàn)的不同時(shí)、不同次而表現(xiàn)出來的往往是不同的頻率值；概率是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率所表現(xiàn)出來的規(guī)律性，它是事物固有的、客觀的、本質(zhì)的東西.頻率是概率的表現(xiàn)形式，概率是頻率的本質(zhì)反映，二者關(guān)系密切，但不能混同.

例1 一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,那么計(jì)算兩次試驗(yàn)?zāi)辰Y(jié)果出現(xiàn)的頻率與概率的所有可能值.

解 ①若某結(jié)果出現(xiàn)0次,其頻率=0[]n=0,其概率

②若某結(jié)果出現(xiàn)1次,其頻率=1[]2,其概率

二、等可能與非等可能的區(qū)別

在概率問題中，最典型最基本的概率模型，就是古典概型，古典概型的特征有兩點(diǎn)：①試驗(yàn)結(jié)果的有限性；②每一結(jié)果的等可能性.但往往在許多試驗(yàn)中把非等可能誤認(rèn)為等可能而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例2 上下樓梯的問題：某人要上10級(jí)臺(tái)階，每步可上一級(jí)或兩級(jí)，求此人7步上完的概率.

分析 10級(jí)臺(tái)階，若每步上一級(jí)，則要１０步，若每步上兩級(jí)，則要５步，于是上完10級(jí)臺(tái)階可能需要５，６，７，８，９，１０步６種情況，則此人7步上完的概率是１[]６，這樣就把上述６種可能情況看成了等可能性，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

解 若１０步上完只有一種方法，若９步上完必有１步要上兩級(jí)，共有獵19種方法；若８步上完必有２步要上兩級(jí)┯小…所以走完10級(jí)中出現(xiàn)k次兩級(jí)分類k=1,2,…,6,注意6類的非等可能性,則此人7步上完的概率是

再如拋擲兩骰子的點(diǎn)數(shù)和等也容易把和的各種可能結(jié)果的非等可能誤認(rèn)為等可能.

三、互斥事件與獨(dú)立事件混淆

例3 對(duì)于事件Ａ，Ｂ，下列命題正確的是().

獳.如果Ａ，Ｂ互斥，則〢，〣也互斥

獴.如果Ａ，Ｂ不互斥，則〢，〣也不互斥

獵.如果Ａ，Ｂ互斥，且P(A)，P(B)均大于0，則Ａ，Ｂ相互獨(dú)立

獶.如果Ａ，Ｂ相互獨(dú)立，則〢，〣也相互獨(dú)立

分析 若A，B互斥，則〢，〣不一定互斥，用文氏圖表示很容易判斷，①A∪B是基本事件全集Ω的真子集時(shí)命題假，A∪B=Ω時(shí)命題真，即：若A，B互斥，則〢，〣不一定互斥；②若A∪B是Ω的真子集時(shí)命題真，A∪B=Ω命題假；③若A，B互斥，且P(A)，P(B)均大于0，由P(A+B)=㏄(A)+狿(B)-P(AB)得P(AB)=0,而Ａ,Ｂ相互獨(dú)立，則㏄(AB)=狿(A)P(B)＞0，二者矛盾；④只有當(dāng)Ａ，Ｂ相互獨(dú)立時(shí)，才能推出〢，〣也相互獨(dú)立.故選獶.

由以上分析知，在一般情況下，互斥與相互獨(dú)立是互不等價(jià)、完全不同的兩個(gè)概念，對(duì)A，B互斥與獨(dú)立和〢，〣的互斥與獨(dú)立關(guān)系的理解是概率計(jì)算中對(duì)復(fù)雜事件運(yùn)算的關(guān)鍵,非常重要，千萬不能混同.

四、有放回取與不放回取的混同

例4 設(shè)N件產(chǎn)品中有m件次品,現(xiàn)從中抽取n(n≤N)次,每次取一件,若采用有放回取與不放回取兩種方式抽取,求恰有k件次品的概率各是多少.

分析 若采用有放回取的方式，因?yàn)槊看纬槿『笥址呕兀俪槿r(shí)題設(shè)條件沒有改變，所以各次的抽取結(jié)果是相互獨(dú)立的，且每次抽取為次品的概率都為m[]N，因此n次中恰有k件次品的概率屬于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

所以P=P璶（k）=獵琸璶m[]N琸1-m[]N﹏-k.

若采用不放回取的方式，即每次取后不放回，這種取法等同于一次性隨機(jī)抽取n件，且每件產(chǎn)品被抽到的可能性相等，則恰有k件次品的概率是

P=獵琸璵獵﹏-k㎞-m猍]獵琻璑.

從以上分析知，有放回取與不放回取是兩種截然不同的抽取方式，它們的概率值不同，二者不能混同.

本文對(duì)概率中的幾類典型問題進(jìn)行了認(rèn)真分析，給出了各類問題的分析和解題方法，也提醒大家在這幾類典型問題中容易混淆的概念如何分析，最終尋求正確的途徑解決這些問題.