淺談高中數(shù)學(xué)中的一類(lèi)導(dǎo)數(shù)題

沈 凱

一次在本校的聽(tīng)課學(xué)習(xí)中聽(tīng)到了這樣一道題目：

例1 （2009年南京一模，14）已知函數(shù)f(x)=ax-x4,﹛∈1[]2,1,A,B是其圖像上不同的兩點(diǎn).若直線(xiàn)AB的斜率k總滿(mǎn)足1[]2≤k≤4，則實(shí)數(shù)a的值是.

本題做對(duì)答案的學(xué)生寥寥幾個(gè)，上課教師請(qǐng)了一名學(xué)生回答.

由已知，f′(x)=a-4x3∈a-4,a-1[]2，

則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知a-4≥1[]2,

a-1[]2≤4.

故a=9[]2.

但是該學(xué)生也解釋不清這樣做的原因.教師略加思考后說(shuō)道，該題其實(shí)用到了你們到大學(xué)即將要學(xué)的拉格朗日中值定理，即若閉區(qū)間上有一條連續(xù)曲線(xiàn)，曲線(xiàn)上每一點(diǎn)都存在切線(xiàn)，則曲線(xiàn)上至少存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)平行于割線(xiàn)AB.然后這道題目就這樣解釋過(guò)去了，當(dāng)時(shí)沒(méi)有學(xué)生或老師提出疑問(wèn).

過(guò)后幾天本校的一次測(cè)試考到了這樣一道題目：

例2 已知函數(shù)f(x)=1[]2x2-ax+(a-1)玪n玿(x>0),設(shè)x2>x1>0，都有f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案 ［1,5］ズ芏嘌生的錯(cuò)誤答案都是［1,5).后詢(xún)問(wèn)學(xué)生，他們的做法是：

把f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1理解成f′(x)=x-a+a-1[]x>-1對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立，則把上述不等式整理成x2+(1-a)x+a-1>0，由二次函數(shù)的圖像可知，

a-1[]2≤0,

f(0)=a-1≥0

或者a-1[]2>0,

fa-1[]2>0.

ソ庵得1≤゛<5.

事實(shí)上，將a=5的這種特殊情況拿出來(lái)考慮就知道錯(cuò)誤原因了.當(dāng)a=5時(shí)可以證明任意一條割線(xiàn)的斜率都大于-1，但是在x=2處切線(xiàn)的斜率等于-1.也就是函數(shù)圖像上并不是任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率都與某一條割線(xiàn)斜率相等.

以一簡(jiǎn)單函數(shù)為例，P,Q是函數(shù)y=x2-x(-1≤x≤1)圖像上任意兩點(diǎn)，P,Q段上任意一點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的取值范圍是y′=2x-1(-1≤x≤1)，即為［-3,1］.但是在P,Q段上不可能有割線(xiàn)斜率是-3和1.

證明 設(shè)P(x1,x21-x1)，Q(x2,x22-x2),ピ騥㏄Q=x21-x1-(x22-x2)[]x1-x2=x1+x2-1.

若k㏄Q=1，則x1+x2=2，這不可能.

這就是例2發(fā)生錯(cuò)誤的原因.曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的割線(xiàn)斜率是這兩點(diǎn)間任意點(diǎn)處切線(xiàn)斜率的子集.由于導(dǎo)數(shù)是個(gè)極限的概念，由極限的保號(hào)性可得下面兩個(gè)命題：

命題1 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上可導(dǎo)(在端點(diǎn)處單側(cè)可導(dǎo))，設(shè)A,B是其圖像上不同的兩點(diǎn).若直線(xiàn)AB的斜率k總滿(mǎn)足m≤k≤M或m

命題2 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，設(shè)A,B是其圖像上不同的兩點(diǎn).若直線(xiàn)AB的斜率k總滿(mǎn)足m≤﹌≤狹或m

所以例2的正確做法應(yīng)該把f′(x)>-1改成f′(x)≥-1便能解出正確答案.

以上做法中學(xué)生很難接受，采用以下做法便水道渠成了.以第二題為例：

解 ∵x2>x1，

∴條件f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1變形為f(x2)-f(x1)>x1-x2，ゼ

f(x2)+x2>f(x1)+x1，

即函數(shù)g(x)=f(x)+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴g′(x)≥0恒成立,

即f′(x)≥-1恒成立.下面相同.

同理第一題也可用類(lèi)似方法解出.

反思：現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)與大學(xué)課程聯(lián)系緊密，這就對(duì)高中教師的業(yè)務(wù)水平提出了更高的要求.對(duì)于題目的講解既要清晰，又要讓學(xué)生容易接受，才能使學(xué)生下次碰到類(lèi)似問(wèn)題能正確地解答.