數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

李瑞峰 許永鑫

【摘要】文章指出在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合概念、定理的幾何意義去理解記憶，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目已知條件的幾何意義，使用數(shù)量與圖形結(jié)合的方法來解題，將會使一些抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得形象直觀.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；數(shù)形結(jié)合；概念；定理；解題オ

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，但由于其內(nèi)容的高度抽象性和嚴(yán)密的邏輯性以及獨特的“公式語言”，使得初學(xué)者的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式很難迅速適應(yīng)，從而成為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的一道難關(guān).但是如果教師巧用數(shù)形結(jié)合的方法對某些概念、定理或題目進行分析，便可以使抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得形象直觀，在解題中能夠化繁為簡，學(xué)生可找到解題思路，進而解決數(shù)學(xué)問題.

下面就數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用談幾點體會：

一、利用數(shù)形結(jié)合可深化對概念本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)分析中的許多概念都是用抽象的數(shù)學(xué)語言給予形式化的精確描述，由于這種描述高度抽象，學(xué)生們很難理解它的含意，往往是不加理解地死記硬背.但數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展都來源于對實踐的感性認(rèn)識，如果教師在教學(xué)中能借助直觀的幾何圖形來引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，再由具體逐步過渡到抽象，將有助于學(xué)生理解抽象的概念，進而理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和外延，應(yīng)用起來也就得心應(yīng)手.

案例一 導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)

導(dǎo)數(shù)的概念很抽象，也很難懂.通過對引例的介紹，一方面能使我們比較容易地去理解和記憶導(dǎo)數(shù)的概念，看到導(dǎo)數(shù)的一個幾何原型，使導(dǎo)數(shù)概念直觀化；另一方面也能使我們感受到導(dǎo)數(shù)概念中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，看到導(dǎo)數(shù)概念的來龍去脈；同時，曲線的切線斜率作為導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能使我們對導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)、定理有更好的理解.

數(shù)學(xué)分析中還有許多概念都有一定的幾何意義，如函數(shù)的連續(xù)、微分、定積分、二重積分等概念，深刻理解這些概念的幾何意義，能使學(xué)生對這些概念理解更深刻，能更靈活運用概念分析問題，解決問題.而且教師在傳授知識的同時影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生學(xué)會抽象與概括的科學(xué)思維方法，提高學(xué)生的分析與解決問題的能力.

二、利用數(shù)形結(jié)合有助于理解某些定理

數(shù)學(xué)分析中的許多定理，看上去很神秘，令人望而生畏.但若通過對定理的幾何意義的理解，就會覺得定理的結(jié)論是順理成章的，對定理的理解就比較深刻，進而找到定理的證明思路.

案例二 拉格朗日中值定理的幾何解釋

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）滿足條件

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

則在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點x0，

使得f′（x0）-f(b)-f(a)[]b-a＝0或f（b）-ゝ（a）＝f′（x0）（b-a）.

幾何解釋：f（x）在閉區(qū)間［a，b］連續(xù)，表明曲線y=f（x）在［a，b］上是一條連續(xù)不間斷的曲線；f(x)在開區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，表明曲線y=f（x）在(a，b)內(nèi)是光滑的，在(a，b)內(nèi)每一點都存在切線.

在上述條件下，在(a，b)內(nèi)就至少可以找到一點x0，使f′（x0）-f(b)-f(a)[]b-a＝0，也就是在曲線y=f（x）上至少有一點(x0，f（x0）)，該曲線在這點的切線平行于曲線兩端點的連線.

拉格朗日中值定理中函數(shù)的圖像オ

在教學(xué)中，把滿足定理條件的函數(shù)圖像畫出來，結(jié)論是很明顯的.這樣使學(xué)生很容易就能把握定理所表達的內(nèi)涵的來龍去脈，從而使學(xué)習(xí)變得輕松愉快.

借助于幾何直觀性來闡明定理的內(nèi)容，將形象思維與抽象思維相結(jié)合，對學(xué)生的思維有沖擊，用這樣一種直觀有效的、簡化易懂的方法，找到了問題的結(jié)論，學(xué)生耳目一新.這比教師苦口婆心幫助學(xué)生分析定理的條件結(jié)論更有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析價值.

三、數(shù)學(xué)分析解題中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學(xué)分析中有些問題，如果僅局限于數(shù)的方面考慮，過程繁瑣.但如果能弄清楚問題中條件和結(jié)論的幾何意義，使用數(shù)量與圖形結(jié)合的方法來教學(xué)生解題，學(xué)生就會對問題有一個清楚的認(rèn)識，從而找到解題思路，便可提高解題效率.

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件結(jié)論畫出相應(yīng)的幾何圖形，根據(jù)題目特點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，借助幾何圖形的直觀性來分析有關(guān)問題，巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解，將有利于教師啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生理解題意，找到解題方法，達到化繁為簡地解決問題的目的.

通過把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式有機結(jié)合，使學(xué)生的思維完成從“抽象”到“形象”的概括，再根據(jù)解決問題的需要，給“數(shù)”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，從“抽象”到“形象”的再現(xiàn).給“形”的問題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，更能從本質(zhì)上認(rèn)識“形”的幾何屬性.從而達到解題的目的.數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是知識的精髓，又是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.因此數(shù)學(xué)分析教師在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用.