讓兒童“創(chuàng)造”屬于自己的知識(shí)

教學(xué)時(shí)間：2007年10月

教學(xué)地點(diǎn)：東南大學(xué)禮堂

教學(xué)年級(jí)：五年級(jí)

【教學(xué)目標(biāo)】

1．在二年級(jí)“第幾排第幾個(gè)”的基礎(chǔ)上，自主建構(gòu)“用數(shù)對(duì)確定位置”的方法，體會(huì)它的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性。

2．感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的價(jià)值。

【教學(xué)過(guò)程】

一、談話引入

師：初次見(jiàn)面，能告訴我，哪個(gè)班的？

生：五（2）班。

師：噢，是五年級(jí)的二班，對(duì)嗎？

生：對(duì)！

師：那為什么不老老實(shí)實(shí)告訴我，是五年級(jí)二班，而非要說(shuō)“五（2）”班？

生：這樣比較簡(jiǎn)潔。

生：說(shuō)五（2）班，別人一聽(tīng)，也就知道是五年級(jí)二班了。

師：既然這樣，那我覺(jué)得還可以更簡(jiǎn)潔一些呢。別人要問(wèn)我，哪班的——二班！

生：不行！不行！

師：怎么啦，不是更簡(jiǎn)潔了嗎？

生：光說(shuō)二班，別人怎么知道是哪個(gè)年級(jí)的二班呢，這樣不準(zhǔn)確。

師：那行，要?jiǎng)e人問(wèn)我，哪班的——五！這回總算行了吧。

生：還是不行！這樣說(shuō)，雖然別人知道你是五年級(jí)，可到底是五年級(jí)哪個(gè)班，別人還是不清楚。

生：而且，你光說(shuō)五，別人還不知道這究竟是五年級(jí)呢，還是五班，所以還是不行！

師：看來(lái)，生活中，我們不能為了簡(jiǎn)潔而簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)潔的同時(shí)，還得注意什么？

生：準(zhǔn)確！

師：說(shuō)得好?。ò鍟汉?jiǎn)潔、準(zhǔn)確）

二、嘗試探索

師：其實(shí)，數(shù)學(xué)上也一樣。比如，二年級(jí)時(shí)我們已經(jīng)研究過(guò)用“第幾排第幾個(gè)”來(lái)確定位置，還記得嗎？

生：記得！

師：下面的照片中，哪一個(gè)才是張老師的兒子呢？大膽猜一猜，并用二年級(jí)學(xué)過(guò)的方法確定他的位置。

生：我猜是第3組第2個(gè)。

師：嗯，你是豎著看的。第3組——第2個(gè)——小伙長(zhǎng)得挺帥哦?。ㄉΓ┯胁灰粯拥牟聹y(cè)嗎？

生：我覺(jué)得可能是第5組第1個(gè)。

師：你也是豎著看的，覺(jué)得是他，對(duì)吧。一看就很聰明?。ㄉΓ?/p>

生：我覺(jué)得是第3行的第2個(gè)。

師：你是橫著看的。第3行——第2個(gè)——還有不一樣的嗎？

生：我覺(jué)得還可能是第4組第5個(gè)。

師：這樣看來(lái)，光靠猜，要一下子確定張老師兒子的位置，感覺(jué)怎么樣？

生：有點(diǎn)困難。

師：那就給點(diǎn)提醒吧，看看會(huì)不會(huì)好一些。他呀，在第4組——（師板書：第4組）

生：我知道了，是第4組第3個(gè)。

生：不一定，還可能是第4組第5個(gè)。

生：第4組有兩個(gè)男生，光說(shuō)第4組還是沒(méi)法確定，還得看看在第幾個(gè)。（師繼續(xù)板書：第3個(gè)）

生：找到了，是他！

師：看來(lái)，二年級(jí)掌握的方法，還真能幫助我們很快確定一個(gè)人的位置。不過(guò)，換個(gè)角度看看，除了第4組第3個(gè)以外，還可以怎么確定他的位置？

生：第3排第4個(gè)。（師板書：第3排第4個(gè)）

師：無(wú)論是第3排第4個(gè)，還是第4組第3個(gè)，能確定張老師兒子的位置嗎？

生：能！

師：既然這樣的方式已經(jīng)能夠確定位置了，那我們今天還來(lái)研究什么呢？

生：我覺(jué)得是不是有比像“第3排第4個(gè)、第4組第3個(gè)”更簡(jiǎn)潔的方法，也可以用來(lái)確定位置。

師：了不起！和數(shù)學(xué)家想一塊兒去了。那么，到底有沒(méi)有比它更簡(jiǎn)潔的確定位置的方法？如果有，又會(huì)是什么樣的呢？下面的時(shí)間，我把這一任務(wù)留下給四人小組，看看能不能集中大家的智慧，在“第3排第4個(gè)、第4組第3個(gè)”的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造出比它更簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的方法。有沒(méi)有信心？

生：有！

師：別忘了，把研究出的方法，記錄在自己的作業(yè)本上。如能找到不同的方法，都可以記錄下來(lái)！

（五分鐘內(nèi)，學(xué)生以小組為單位展開(kāi)研究。教師巡視，并將學(xué)生中出現(xiàn)的典型方法記錄下來(lái)。板書）

①4排3個(gè)

②43

③4.3

④豎4橫3

⑤↑4→3

⑥3-4

⑦4，3

三、交流建構(gòu)

師：這是從同學(xué)們中收集到的部分方法。看看每一種，似乎都挺簡(jiǎn)潔。到底該選哪一種呢，還是請(qǐng)大家來(lái)作評(píng)判吧。

生：我覺(jué)得第二種方法不好，很容易混淆。不知道的人，還以為是43這個(gè)數(shù)呢。

師：嗯，頗有同感?？磥?lái)，光簡(jiǎn)潔是不夠的，還得注意準(zhǔn)確，不能引起別人的誤會(huì)。

生：我覺(jué)得第三種方法也不行，它很像一個(gè)小數(shù)，也容易引起誤會(huì)。

生：我覺(jué)得第一種方法也不太好，就省了兩個(gè)字，其他沒(méi)什么區(qū)別。

師：那會(huì)不會(huì)引起誤會(huì)？

生：誤會(huì)倒不會(huì)，但弄了半天就少了兩個(gè)字，等于沒(méi)弄。（生笑）

師：看來(lái)，準(zhǔn)確倒是有了，可惜又不夠簡(jiǎn)潔。至少在大家看來(lái)，簡(jiǎn)潔得還不夠，對(duì)吧？不過(guò)，聽(tīng)了半天，老師聽(tīng)到的似乎都是批評(píng)的聲音。難道，剛才被批評(píng)的方法，一點(diǎn)值得肯定的地方都沒(méi)有嗎？

生：不對(duì)，它們好歹都比原來(lái)要簡(jiǎn)潔一些。

師：這就是一種進(jìn)步！不過(guò)，除了簡(jiǎn)潔，難道就沒(méi)有別的什么共同的地方？

生：哦，它們都有4和3這兩個(gè)數(shù)！

師：多善于觀察！那剩下的幾種方法里呢？

生：也都有這兩個(gè)數(shù)。

師：既然每一個(gè)小組都不約而同地保留了這兩個(gè)數(shù)，說(shuō)明——

生：這兩個(gè)數(shù)一定很重要。

生：缺一不可！

師：說(shuō)得好！那這里的4和3究竟各表示什么意思呢？為了便于大家觀察和思考，我們可以把這里的每個(gè)人都簡(jiǎn)化成一個(gè)圈。（出示右圖）

生：這里的4應(yīng)該表示第4豎排。

師：數(shù)學(xué)上，我們把豎排叫做列。通常，確定列都是從左往右?，F(xiàn)在你知道，這里的4表示張老師兒子在——

生：第4列。

師：那3呢？

生：3表示第3橫排。

生：3表示第3行。

師：沒(méi)錯(cuò)！數(shù)學(xué)上，橫排就叫行。猜猜看，哪兒是第一行？

生：最下面的是第1行。

師：是的。確定行，通常都是從前往后、從下往上?，F(xiàn)在，確定了第4列，又確定了第3行，能最終確定他的位置嗎？

生：能。

(教師利用課件，用兩條直線表示相應(yīng)的行和列，并相交于一點(diǎn)，以確定相應(yīng)的位置。如右圖）

師：試想，如果只給你第4列，行嗎？

生：不行。因?yàn)橹唤o第4列，它上面有好幾個(gè)人，不知是哪個(gè)。

師：只給第3行行嗎？

生：還是不行，第3行上也有好幾個(gè)人，同樣無(wú)法確定。

師：看來(lái)，行數(shù)和列數(shù)缺一不可。少了誰(shuí)，都無(wú)法確定他的位置。既然如此，我覺(jué)得剩下的幾種方法似乎都不錯(cuò)呀。哪種更好呢？

生：我覺(jué)得第4種肯定不行，既有數(shù)字又有漢字，看起來(lái)就不簡(jiǎn)潔。

師：可是，他們小組明知加上漢字不夠簡(jiǎn)潔，為什么還要添上這兩個(gè)字呢？

生：我知道！如果不添上這兩個(gè)字，那就不知道這里的4和3哪個(gè)是行，哪個(gè)是列了。

生：如果這樣，那我覺(jué)得第6和第7種也都不行。雖然他們都保留了4和3，并且也很簡(jiǎn)潔，但是，由于它沒(méi)有說(shuō)清楚哪個(gè)是行，哪個(gè)是列，所以很容易讓人混淆。（該生的觀點(diǎn)得到了全班多數(shù)同學(xué)的支持）所以，我覺(jué)得還是第5種方法比較好。豎著的箭頭表示列，橫著的箭頭表示行。連在一起就是第4列第3行，而且也很簡(jiǎn)潔。（不少同學(xué)頻頻點(diǎn)頭）

師：那這樣，同意這位同學(xué)觀點(diǎn)的請(qǐng)舉手。（絕大多數(shù)舉手表示贊成）這么多同學(xué)都贊成??？那你們不是成心要為難老師嘛！

生：為什么？

師：因?yàn)閿?shù)學(xué)家們最終采納的方法，已經(jīng)被你們給否定掉了！

生：?。?！

師：猜猜看，他們最終采納的可能是其中的哪種方法？

生：不會(huì)是最后一種吧？！

師：真被你給猜中了。那現(xiàn)在，你們覺(jué)得這種方法怎么樣？

生：我還是覺(jué)得不行，你不說(shuō)清楚哪個(gè)表示列，哪個(gè)表示行，別人還是要混淆的。

師：這么說(shuō)，連數(shù)學(xué)家們的觀點(diǎn)你們也敢反駁？

生：當(dāng)然了，因?yàn)樗麄兊挠^點(diǎn)是錯(cuò)的！（生笑）

師：那你們說(shuō)該怎么辦？數(shù)學(xué)家就是這么定的，你們又不同意。別的方法，你們覺(jué)得又不行。

生：我覺(jué)得就可以用第5種，既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確。

生：用第7種也行，但必須得加個(gè)規(guī)定。

師：什么規(guī)定？

生：得規(guī)定哪個(gè)數(shù)是行數(shù)，哪個(gè)數(shù)是列數(shù)，以后遇到這樣的情況，都按照這樣的規(guī)定。

師：真是太棒了。你絕對(duì)和數(shù)學(xué)家們心有靈犀一點(diǎn)通！告訴大家，其實(shí)數(shù)學(xué)家們選擇第7種方法時(shí)，也發(fā)現(xiàn)了它的漏洞。怎么辦呢？后來(lái)一討論，干脆一不做、二不休，給它來(lái)個(gè)規(guī)定：以后凡是像這樣用行數(shù)和列數(shù)來(lái)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，我們通常都將列數(shù)寫前面，行數(shù)寫后面?，F(xiàn)在，還會(huì)引起誤會(huì)嗎？

生：不會(huì)了。

師：按照這樣的規(guī)定，哪個(gè)數(shù)寫前面？

生：4。

師：后面呢？

生：可以寫上3。

師：中間還得加個(gè)逗號(hào)隔開(kāi)。后來(lái)，為了進(jìn)一步作出區(qū)分，他們干脆又在列數(shù)和行數(shù)外面加上了一個(gè)小括號(hào)。（教師邊介紹邊板書）像這樣，用列數(shù)和行數(shù)所組成的一個(gè)數(shù)對(duì)來(lái)確定位置，就是我們今天所要研究的內(nèi)容。（板書課題：用數(shù)對(duì)確定位置）

師：回憶剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，有什么收獲？

生：我知道了如何用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置。

生：我發(fā)現(xiàn)，用數(shù)對(duì)確定位置時(shí)，通常都是把列數(shù)放前面，把行數(shù)放后面。

師：說(shuō)得挺好，想不想試試？

生：想！

(出示如下畫面)

師：小鄧和小白是張老師兒子最要好的朋友，你能用數(shù)對(duì)表示他們的位置嗎？

生：小鄧的位置用數(shù)對(duì)表示是（2，1）。

師：為什么？

生：因?yàn)樾∴囋诘?列、第1行，所以用數(shù)對(duì)表示是（2，1）。

生：小白的位置用數(shù)對(duì)表示是（3，4），因?yàn)樗诘?列第4行。

師：真不錯(cuò)。兒子還有一個(gè)要好的朋友叫小路，他的位置如果也用數(shù)對(duì)表示的話，應(yīng)該是（5，3）。你知道他在哪兒?jiǎn)幔?/p>

生：他在第5列第3行。

師：你是怎么找到的？

生：因?yàn)閿?shù)對(duì)前一個(gè)數(shù)表示列數(shù)，后一個(gè)數(shù)表示行數(shù)。

師：掌握得確實(shí)不錯(cuò)。瞧，今天，咱們的座位也排得整整齊齊的，如果讓你用數(shù)對(duì)來(lái)表示你自己的位置，行嗎？

生：行！我的位置用數(shù)對(duì)表示是（5，2）。

師：第5列、第2行，她說(shuō)得對(duì)嗎？

生：對(duì)！

生：我的位置用數(shù)對(duì)表示是（4，5）。

師：嗯，第4列第5行。

生：我的位置用數(shù)對(duì)表示是（1，1）。

……

師：看來(lái)，自我介紹并不難。能用這樣的方式介紹一下你最好的朋友嗎？

生：我最好的朋友，她的數(shù)對(duì)是（4，2）。

師：讓我也來(lái)認(rèn)識(shí)一下你的朋友，第2列、第4個(gè)。認(rèn)識(shí)你很高興！

生：不對(duì)，弄錯(cuò)了，我說(shuō)的是（4，2），不是（2，4）。

師：（4，2），（2，4），不都是這兩個(gè)數(shù)嗎，怎么就不對(duì)了呢？

生：前面的表示列數(shù)，后面的表示行數(shù)，所以誰(shuí)在前誰(shuí)在后很重要。交換位置后，相應(yīng)的點(diǎn)就不同了。

師：看來(lái)，以后用數(shù)對(duì)確定位置時(shí)，這一點(diǎn)一定要弄清楚。（師重新找到（4，2）處）真正的朋友原來(lái)是你啊！

生：我的朋友是（7，1）。

師：有誰(shuí)愿意幫我找找她的朋友。

生：她在第7列第1行。

師：是你嗎？（是。）認(rèn)識(shí)你很高興！

四、練習(xí)鞏固

師：下面，我想再提高要求，我直接報(bào)數(shù)對(duì)，請(qǐng)符合要求的同學(xué)迅速起立，看誰(shuí)的反應(yīng)最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。

(相應(yīng)的五名學(xué)生一一起立)

師：奇怪，怎么就齊刷刷地站起來(lái)一隊(duì)？

生：因?yàn)槟銏?bào)的數(shù)對(duì)有規(guī)律。

師：是嗎，說(shuō)來(lái)聽(tīng)聽(tīng)？

生：這五個(gè)數(shù)對(duì)列數(shù)都是3，說(shuō)明他們都在第3列，當(dāng)然就站起來(lái)一隊(duì)了。

師：說(shuō)起來(lái)挺容易，如果也讓你來(lái)出幾個(gè)數(shù)對(duì)，你有本事也讓一隊(duì)同學(xué)站起來(lái)嗎？（能?。┱l(shuí)來(lái)試試？

生：（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）。

師：不錯(cuò)！不過(guò)，有點(diǎn)依葫蘆畫瓢的嫌疑。有沒(méi)有誰(shuí)能說(shuō)出點(diǎn)不一樣的？

生：（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）。

師：發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這回站起來(lái)的是一行。

師：有變化了。能說(shuō)說(shuō)為什么嗎？

生：這回的五個(gè)數(shù)對(duì)雖然列數(shù)變了，但行數(shù)沒(méi)變，所以站起來(lái)的自然就在同一行了。

師：真不錯(cuò)！不過(guò)，張老師覺(jué)得這還不算什么。說(shuō)五個(gè)數(shù)對(duì)，站起來(lái)一排。要是我說(shuō)，我只給一個(gè)數(shù)對(duì)，就可以請(qǐng)一隊(duì)同學(xué)站起來(lái)，你們信嗎？

生：不信！

生：不可能！

師：口說(shuō)無(wú)憑，要不試試？（屏幕顯示數(shù)對(duì)：（4，x））符合要求的同學(xué)請(qǐng)站起來(lái)。

(第4列同學(xué)陸陸續(xù)續(xù)站起來(lái)，教師面對(duì)第一名學(xué)生)

師：奇怪，我上面寫（4，1）了沒(méi)？

生：沒(méi)有。

師：那你站起來(lái)干嘛，還不坐下去？（生笑）

生：不對(duì)，（4，x）中的x是一個(gè)未知數(shù)，既可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我們都站起來(lái)了。

師：是這樣嗎？

生：是！

師：瞧老師厲害吧，一個(gè)數(shù)對(duì)，就讓一排同學(xué)站起來(lái)。

生：不厲害。我也會(huì)！

師：是嗎？誰(shuí)來(lái)試試。

生：（x，4）。

師：換了個(gè)個(gè)兒，真能站起一隊(duì)嗎？來(lái)，符合條件的站起來(lái)。（第4行同學(xué)很快便站了起來(lái)）還真不賴啊！

生：老師，我還可讓全班同學(xué)都站起來(lái)。

師：是嗎？！越來(lái)越厲害了。試試？

生：（x，x）。

師：來(lái)，符合要求的請(qǐng)起立（全班同學(xué)都站了起來(lái)）。嗯，讓我來(lái)看看，當(dāng)x等于1時(shí)，該誰(shuí)站起來(lái)？（數(shù)對(duì)為（1，1）的同學(xué)舉手示意了一下），不錯(cuò)！當(dāng)x等于2呢？

數(shù)對(duì)為（2，2）的同學(xué)也示意了一下，此時(shí)，有部分同學(xué)開(kāi)始猶豫，也有同學(xué)重新坐了下來(lái)。

師：奇怪，有人開(kāi)始坐下去了。采訪一下，你為什么又不站了？

生：一開(kāi)始我覺(jué)得（x，x）應(yīng)該包含所有人，但現(xiàn)在看來(lái)，我不算。

師：不是說(shuō)字母可以表示任何數(shù)嗎，你怎么就不算了呢？

生：字母是可以表示任何數(shù)，但我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x等于1時(shí)，只有（1，1）可以站，同樣，當(dāng)x等于2、3、4時(shí)，只有（2，2）（3，3）（4，4）等可以站，所以其他人都不能站。

師：說(shuō)得有沒(méi)有道理啊？

生：有！

生：我還有補(bǔ)充。雖然字母可以表示任何數(shù)，但兩個(gè)相同的字母只能表示兩個(gè)相同的數(shù)，這樣的話，就不是所有人都能站起來(lái)了。

(此時(shí)，剩下的同學(xué)陸陸續(xù)續(xù)都坐了下去，只有符合要求的6位同學(xué)站著)

生：我知道了，可以用（x，y）。

師：這一回，符合要求的請(qǐng)站起來(lái)。（全班學(xué)生都站了起來(lái)）其實(shí)，有錯(cuò)誤并不重要，重要的是要從錯(cuò)誤中吸取教訓(xùn)，并對(duì)問(wèn)題獲得更深入的認(rèn)識(shí)！

五、拓展延伸

（略）

（張齊華，南京市北京東路小學(xué)，210008）