告訴,亦可創(chuàng)造有價(jià)值的課堂

【名師檔案】

張齊華，男，江蘇海門(mén)人，1997年參加工作，2004年調(diào)入南京市北京東路小學(xué)工作，現(xiàn)任副校長(zhǎng)，小學(xué)高級(jí)教師，南京市學(xué)科帶頭人。一直致力于數(shù)學(xué)課堂文化的探索與實(shí)踐，曾代表江蘇省參加全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)第七屆教學(xué)觀摩大賽榮獲一等獎(jiǎng)?！度嗣窠逃贰ⅰ缎W(xué)教學(xué)》先后對(duì)其在數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域的探索給予專(zhuān)題報(bào)道，2007年《中國(guó)教育報(bào)》專(zhuān)題報(bào)道了其數(shù)學(xué)課堂系列教學(xué)藝術(shù)。參與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)，100多篇教育教學(xué)論文在省級(jí)以上刊物發(fā)表，《張齊華與小學(xué)數(shù)學(xué)文化》由北京師范大學(xué)出版社正式出版。

教學(xué)時(shí)間：2011年11月

教學(xué)地點(diǎn)：南京市北京東路小學(xué)

教學(xué)年級(jí)：五年級(jí)

【教學(xué)目標(biāo)】

1．在具體情境中，體會(huì)“用數(shù)對(duì)確定位置”規(guī)則的合理性，會(huì)根據(jù)相應(yīng)規(guī)則，用數(shù)對(duì)確定平面內(nèi)物體或點(diǎn)的位置。

2．感受數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)與美。

【教學(xué)過(guò)程】

一、激疑，引發(fā)思維碰撞

師：今天這節(jié)課，我們一起來(lái)研究一個(gè)既陌生、又熟悉的問(wèn)題——用數(shù)對(duì)確定位置（板書(shū)課題）。為什么說(shuō)這個(gè)問(wèn)題既陌生，又熟悉？

生：要說(shuō)熟悉，是因?yàn)槲覀兌昙?jí)的時(shí)候好像學(xué)過(guò)確定位置的。但那時(shí)候好像不是用數(shù)對(duì)，而是第幾排、第幾個(gè)之類(lèi)的。所以，數(shù)對(duì)對(duì)我們來(lái)說(shuō)又很陌生。

師：為了讓大家對(duì)這一問(wèn)題有更深入的理解，今天，我給大家?guī)?lái)了一位神秘的嘉賓。（出示下圖）猜猜看，會(huì)是誰(shuí)呢？

生：我猜是你孩子？

師：心有靈犀一點(diǎn)通！這么多孩子，哪一個(gè)才是張老師家的呢？是我來(lái)揭示謎底，還是大家先考驗(yàn)一下自己的眼力，大膽地猜一猜？

生：猜一猜！

生：我覺(jué)得應(yīng)該是第２組第２個(gè)，因?yàn)樗钠つw也有點(diǎn)黑。（生笑）

師：你很善于觀察，而且對(duì)遺傳學(xué)還有一定的研究。（生大笑）

生：我覺(jué)得可能是第４組第１個(gè)，因?yàn)槲矣X(jué)得張老師的愛(ài)人一定很漂亮，所以孩子也應(yīng)該很漂亮。（生大笑）

師：謝謝你的祝福！哈哈，既有大膽猜測(cè)，也有合情推理，了不起！

生：我覺(jué)得有可能是第３排第５個(gè)。

生：不可能！張老師那么瘦，兒子怎么可能那么胖？?。ㄉΓ?/p>

生：老師，你能告訴我你家的是兒子還是女兒??？

師：這個(gè)問(wèn)題暫時(shí)保密。

生：那你能告訴我，他（她）穿什么衣服??？

師：嘿，那你還不如直接問(wèn)我，他（她）在第幾排，第幾個(gè)得了。（生笑）怎么啦，遇到什么困難了？

生：光這樣猜，很難猜中。你總得給我們提供點(diǎn)線索吧。

師：要線索是吧？沒(méi)問(wèn)題！張老師歷來(lái)都是個(gè)慷慨的人。要么不給，要給就絕對(duì)給到位。要說(shuō)張老師的孩子在哪兒？很簡(jiǎn)單。如果這時(shí)候，有一個(gè)數(shù)學(xué)家就在我們課堂上，他除了用“第幾排第幾個(gè)”的方式告訴大家以外，還會(huì)選擇這樣一種更簡(jiǎn)潔的方法，來(lái)確定張老師孩子的位置。想知道嗎？

生：想！

師：那我就真寫(xiě)了。不過(guò)，寫(xiě)完以后，我得看看誰(shuí)第一個(gè)找到張老師的孩子在哪里。

(教師板書(shū)：（４，２）。片刻安靜后，有人匆匆舉手，也有人私下里意見(jiàn)不和、爭(zhēng)論不休)

師：怎么啦？有什么問(wèn)題嗎？我給出的，可是數(shù)學(xué)上最標(biāo)準(zhǔn)的答案了。

生：有問(wèn)題！我們組的答案不統(tǒng)一。

師：是嗎？說(shuō)來(lái)聽(tīng)聽(tīng)！

生：我和同桌覺(jué)得是那個(gè)女孩（第４組第２個(gè)），因?yàn)槲覀冇X(jué)得，這里的４應(yīng)該是第４組，２應(yīng)該是第２個(gè)，而這個(gè)女孩正好滿(mǎn)足條件。所以我們覺(jué)得她就是你女兒。可是，他們倆不同意，他們認(rèn)為應(yīng)該是那個(gè)男孩（第２組第２個(gè)）。

師：你聽(tīng)過(guò)他們倆的想法嗎？

生：聽(tīng)過(guò)，他們說(shuō)，這個(gè)男孩也在第４組第２個(gè)。不過(guò)，他們是從右往左數(shù)的。

師：噢，原來(lái)是方向上出現(xiàn)了分歧。還有哪些同學(xué)也找到了這兩個(gè)答案的，舉手示意一下。（80%左右的學(xué)生舉手示意）只有這兩種觀點(diǎn)嗎？

生：我覺(jué)得還可能是后面那個(gè)女孩（手指第４組第４個(gè)）。

師：猜一猜，他又是怎么理解這里的（４，２）的？

生：我想，他可能覺(jué)得這里的４表示第４組，１-２-３-４，２表示的是第２橫排，只不過(guò)他可能是從后往前數(shù)的。

師：（面對(duì)前一位發(fā)言者）你是這樣理解的嗎？

生：是的。

師：還有不同的理解？

生：還可能是第２組的那個(gè)女孩。因?yàn)槿绻覀儚挠彝髷?shù)，她正好在第４組；如果我們?cè)購(gòu)暮笸皵?shù)，她又正好在第２排。

師：看來(lái)也能自圓其說(shuō)哦。現(xiàn)在，一共有四種不同的答案了。還有別的嗎？

生：沒(méi)有了。

(綜合上述發(fā)言，教師呈現(xiàn)如下畫(huà)面)

二、對(duì)話，建構(gòu)“數(shù)對(duì)”規(guī)則

師：奇怪！我給出的是數(shù)學(xué)上最標(biāo)準(zhǔn)的答案，可同學(xué)們卻給我找到了四個(gè)不同的答案。難不成張老師會(huì)有四個(gè)孩子？（生笑）

生：不可能！

師：那么，之所以出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，你們覺(jué)得是自己沒(méi)有想清楚，還是張老師沒(méi)有說(shuō)清楚？

生（異口同聲）：張老師沒(méi)有說(shuō)清楚！

師：哈哈！你們倒好，遇到問(wèn)題，不先從自己身上找原因，責(zé)任全推我身上來(lái)了。

生：的確是你沒(méi)有說(shuō)清楚?。?/p>

師：那好，如果真覺(jué)得是我沒(méi)有說(shuō)清楚，那你們說(shuō)說(shuō)，是我哪兒沒(méi)有說(shuō)清楚？組內(nèi)商量一下，并給出你們的見(jiàn)解。

學(xué)生組內(nèi)商量，質(zhì)疑老師表達(dá)的漏洞。

生：我們組一致覺(jué)得，老師你光說(shuō)（４，２）是不夠的……

師：糾正一下，是數(shù)學(xué)家說(shuō)的。

生：哦，我們組一致覺(jué)得，數(shù)學(xué)家光說(shuō)（４，２）是不夠的，也是不準(zhǔn)確的（生笑）。因?yàn)樗麄儧](méi)有說(shuō)清楚，這兩個(gè)數(shù)到底哪一個(gè)是橫排，哪一個(gè)是豎排。

師：膽子不小，不光要質(zhì)疑我，還質(zhì)疑起數(shù)學(xué)家來(lái)了。（生笑）還有哪個(gè)組有補(bǔ)充？

生：我們覺(jué)得，數(shù)學(xué)家還需要說(shuō)清楚，橫排究竟該從前往后數(shù)，還是從后往前數(shù)，豎排究竟要從左往右數(shù)，還是從右往左數(shù)。如果方向不確定，答案還是沒(méi)法確定的。

師：現(xiàn)在看來(lái)，光有這兩個(gè)數(shù)組成的數(shù)對(duì)是不夠的，我們還得弄清兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，一個(gè)是順序（板書(shū)：順序），也就是哪個(gè)數(shù)是橫排，哪個(gè)數(shù)是豎排；另一個(gè)是方向（板書(shū)：方向），橫排或豎排究竟從哪兒數(shù)起。對(duì)嗎？

生：對(duì)！

師：不過(guò)很遺憾，這兩個(gè)問(wèn)題，我都不想直接告訴你們。不過(guò)，我可以透露一下，我孩子最要好的朋友小鄧，他所在的位置如果也用這樣的數(shù)對(duì)來(lái)表示的話，應(yīng)該是（2，1）……

(稍作觀察后，很快便有學(xué)生按捺不住自己的發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始舉手)

師：別著急，把你的發(fā)現(xiàn)先在組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

(學(xué)生組內(nèi)交流，隨后全班反饋)

生：張老師，我們發(fā)現(xiàn)你女兒了，她在那兒（手指第4列第2個(gè)）。

師：都同意他們組的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：同意！

師：能說(shuō)說(shuō)都是怎么發(fā)現(xiàn)的嗎？

生：你們看，小鄧的數(shù)對(duì)是（2，1），而他正好在第2豎排、第1橫排。所以我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)對(duì)前一個(gè)數(shù)表示的是第幾豎排，后一個(gè)數(shù)表示的是第幾橫排。而你孩子的數(shù)對(duì)是（4，2），說(shuō)明她在從左往右第4豎排，從前往后第2橫排，所以她就是你女兒！

師：同意他的觀點(diǎn)嗎？

生：同意！不過(guò)，我還有補(bǔ)充。數(shù)豎排的話應(yīng)該從左往右，數(shù)橫排的話應(yīng)該從前往后。

生：我也有補(bǔ)充。橫排還可以叫行，豎排可以叫列。

師：你是怎么知道的？

生：我是聽(tīng)我爸講的。

生：我是剛剛從書(shū)上看來(lái)的。

師：呵呵，動(dòng)作還蠻快的嘛。的確，數(shù)學(xué)上，豎排也叫列，橫排也叫行。現(xiàn)在，你能用行和列來(lái)說(shuō)說(shuō)數(shù)對(duì)中的這兩個(gè)數(shù)，分別表示什么意義嗎？

生：前一個(gè)數(shù)表示列，后一個(gè)數(shù)表示行。

生：確定第幾列應(yīng)該從左往右，確定第幾行應(yīng)該從前往后。

師：現(xiàn)在，你能帶領(lǐng)大家按照這一規(guī)則，具體數(shù)一數(shù)、說(shuō)一說(shuō)，為什么（4，2）確定的這個(gè)人，就是張老師的女兒？

生：4表示第4列，我們可以從左數(shù)起，第1列、第2列、第3列、第4列。2表示第2行，我們可以從下數(shù)起，第1行、第2行。所以，（4，2）就是你女兒。

師：假如，我只給你列數(shù)，你能確定她的位置嗎？只給行數(shù)呢？

生：不行。只給列數(shù)，我只能確定他（她）在第幾列，但至于是哪一個(gè)，就沒(méi)法確定了。只給行數(shù)也一樣，也只能確定他（她）在哪一行，至于是這一行中的哪一個(gè)，同樣沒(méi)法確定。

生：我還有一個(gè)發(fā)現(xiàn)。就好比說(shuō)，列數(shù)是一條豎線，行數(shù)是一條橫線，一豎一橫正好相交，而交叉點(diǎn)就是需要確定的那個(gè)位置。

師：多形象的描述！這倒讓我想起了……

生：步槍上的瞄準(zhǔn)器。

師：如果瞄準(zhǔn)器上不是十字交叉，只是一條橫線或豎線，還能幫助我們瞄準(zhǔn)嗎？

生：不能！

師：現(xiàn)在，你有沒(méi)有明白，為什么確定平面內(nèi)某一人的位置，需要兩個(gè)數(shù)。

生：明白了。一個(gè)數(shù)是用來(lái)確定列數(shù)的，一個(gè)數(shù)是用來(lái)確定行數(shù)的。列數(shù)和行數(shù)，就像兩條相交的線，共同鎖定了一個(gè)點(diǎn)。

(結(jié)合學(xué)生的發(fā)言，教師給出右圖，以印證學(xué)生的觀點(diǎn))

師：像這樣，用列數(shù)和行數(shù)所組成的一個(gè)數(shù)對(duì)來(lái)確定位置，就是我們今天所要研究的內(nèi)容。剛才，同學(xué)們錯(cuò)把另三個(gè)同學(xué)當(dāng)作我的孩子。現(xiàn)在，掌握了用數(shù)對(duì)確定位置的方法，你知道他們的位置又該用怎樣的數(shù)對(duì)來(lái)表示嗎?

生：他們所在的位置如果用數(shù)對(duì)表示，分別是（2，2）、（2，4）、（4，4）。

師：你能選擇其中的一個(gè)，說(shuō)說(shuō)理由嗎？

生：我選第一個(gè)，因?yàn)樗诘?列、第2行，所以用數(shù)對(duì)表示是（2，2）。

師：這個(gè)數(shù)對(duì)很有意思——

生：兩個(gè)數(shù)都是2。

師：表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。前一個(gè)2表示列數(shù)，后一個(gè)2表示行數(shù)。

師：這樣看來(lái)，同樣一個(gè)數(shù)，在不同的地方就表示不同的含義。

生：我選第二個(gè)，因?yàn)樗诘?列、第4個(gè)，所以用數(shù)對(duì)表示是（2，4）。

生：我選第三個(gè)，因?yàn)樗诘?列、第4個(gè)，所以用數(shù)對(duì)表示是（4，4）。而且，這兩個(gè)4表示的意思也不同。

師：再來(lái)看這兩個(gè)數(shù)對(duì)，（4，2）和（2，4），有什么發(fā)現(xiàn)？

生：所用的兩個(gè)數(shù)完全相同，但它倆的位置卻不同。

師：知道是為什么嗎？

生：因?yàn)樗鼈兯诘奈恢貌煌?。?，2）表示第4列、第2行，而（2，4）則表示第2列、第4行。兩數(shù)位置一換，意思就完全不同了。

師：所以，用數(shù)對(duì)確定位置時(shí)，我們尤其需要弄清先列后行的規(guī)則。

三、鞏固，形成基本技能

（略，參見(jiàn)后文《讓兒童“創(chuàng)造”屬于自己的知識(shí)》“練習(xí)鞏固”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)）

四、質(zhì)疑，拓展思維空間

師：關(guān)于用數(shù)對(duì)確定位置，還有什么問(wèn)題嗎？或者，還有沒(méi)有什么新的聯(lián)想、新的發(fā)現(xiàn)？先獨(dú)立冥想，再把你的問(wèn)題或發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)交流。

（學(xué)生組內(nèi)交流，隨后全班反饋）

生：我想問(wèn)一下，除了像教室里的座位，還有什么地方也需要用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置？

師：很有價(jià)值的問(wèn)題！有誰(shuí)能解答他的疑惑？

生：我覺(jué)得地球儀上就有數(shù)對(duì)。經(jīng)線就像是列，緯線就像是行。

生：我覺(jué)得圍棋棋盤(pán)上也有數(shù)對(duì)。比如，我們老師曾講過(guò)“三三點(diǎn)”，現(xiàn)在我知道了，它其實(shí)就是指第3列、第3行的那個(gè)點(diǎn)，也就是我們今天講的數(shù)對(duì)（3，3）。

生：是的，圍棋棋盤(pán)的周?chē)孟穸加袛?shù)字，我覺(jué)得這些數(shù)字就是用來(lái)幫助我們用數(shù)對(duì)確定每一步棋的位置的。

生：不光是圍棋，中國(guó)象棋或者國(guó)際象棋上，也有類(lèi)似的數(shù)字。好像國(guó)際象棋上一側(cè)寫(xiě)了數(shù)字，另一側(cè)寫(xiě)的是字母。這樣，一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母，合起來(lái)也可以組成一個(gè)數(shù)對(duì)，而且是一種雜交數(shù)對(duì)（生笑），這種數(shù)對(duì)也可以幫助我們確定位置。

（結(jié)合學(xué)生的交流，教師現(xiàn)場(chǎng)利用網(wǎng)絡(luò)，調(diào)出國(guó)際象棋和中國(guó)象棋的棋盤(pán)圖片，以印證并豐富學(xué)生對(duì)上述觀點(diǎn)的感受）

生：其實(shí)，不只是棋盤(pán)上能夠用到數(shù)對(duì)，我還知道，電影院的座位用的也是數(shù)對(duì)。

生：不對(duì)，電影院的座位上沒(méi)有數(shù)對(duì)。

生：有！比如第4排第2號(hào)，其實(shí)就是一個(gè)數(shù)對(duì)。只不過(guò)，它把行數(shù)放在前面，列數(shù)放在了后面。

師：受你的啟發(fā)，我覺(jué)得未來(lái)電影院的座位，沒(méi)有必要寫(xiě)那么復(fù)雜，直接用一個(gè)數(shù)對(duì)來(lái)表示就行了。你們覺(jué)得行嗎？

生：行！只要規(guī)則大家都清楚就行。

生：航班上的座位，好像也是用數(shù)對(duì)來(lái)表示的。比如，我有一次正好坐在飛機(jī)第1排靠窗的第1張座位上，我的登機(jī)牌上寫(xiě)的就是1A。我覺(jué)得，前面的1表示的是第1排，后面的A表示的是第1個(gè)。

師：那么，如果是第2排第3個(gè)、第7排第4個(gè)呢？

生：應(yīng)該是2C，7D。

師：真了不起！當(dāng)然，大家也一定發(fā)現(xiàn)了，航班上的數(shù)對(duì)，和我們今天研究的數(shù)對(duì)，有相似的地方，也有不同的地方。

生：相同的是，都是用兩個(gè)東西確定位置。不同的是，數(shù)對(duì)用的是兩個(gè)數(shù)，而航班上的位置，用的是一個(gè)數(shù)字和一個(gè)字母。

生：剛才的國(guó)際象棋棋盤(pán)上，用的也是一個(gè)字母、一個(gè)數(shù)字。

生：而且，今天研究的數(shù)對(duì)，列在前、行在后。而飛機(jī)上的“數(shù)對(duì)”，則是行在前、列在后的。

師：從座位圖中的數(shù)對(duì)聯(lián)想到了生活中的數(shù)對(duì)，相信大家對(duì)數(shù)對(duì)的認(rèn)識(shí)更豐富，也更全面了。對(duì)于數(shù)對(duì)，還有什么問(wèn)題需要深入研究嗎？

（學(xué)生初無(wú)疑問(wèn)，組內(nèi)深入交流后，漸有人舉手）

生：我們組提出，數(shù)對(duì)為什么要規(guī)定列在前、行在后。如果倒過(guò)來(lái)，行在前、列在后，可不可以？

師：有誰(shuí)愿意試著解答他們的疑惑？

生：我覺(jué)得沒(méi)什么不可以。如果規(guī)則換過(guò)來(lái)了，那么把數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)也換個(gè)位置就行了。

生：我覺(jué)得不可以。如果一會(huì)兒行在前列在后，一會(huì)兒又列在前、行在后，這樣不就亂了嗎？

生：我說(shuō)的是，統(tǒng)一改成行在前、列在后，而不是變來(lái)變?nèi)ァ?/p>

師：看來(lái)，有一點(diǎn)是達(dá)成共識(shí)的，也就是說(shuō)，不管規(guī)則怎么定，但定下后就不能變，要一直遵循統(tǒng)一、固定的規(guī)則，對(duì)嗎？

生：對(duì)！

生：我覺(jué)得不能變。數(shù)學(xué)家最終確定了先列后行，一定是有他們的考慮的。

師：你的直覺(jué)很棒！數(shù)學(xué)上的很多規(guī)定，看起來(lái)都是人為設(shè)制的，好像很隨意。但有些的確是有它的道理的。至于數(shù)對(duì)中為何要先列后行，到了中學(xué)，研究了平面幾何以后，大家可能會(huì)對(duì)這一問(wèn)題有更深入的思考。還有什么新的問(wèn)題嗎？

生：有沒(méi)有3個(gè)數(shù)組成的數(shù)對(duì)？

師：從“2”想到了“3”，這是一種極有價(jià)值的突破，掌聲先鼓勵(lì)一下！（掌聲）你們覺(jué)得有沒(méi)有？

生：我覺(jué)得沒(méi)有，因?yàn)闊o(wú)論什么情況，有兩個(gè)數(shù)，就可以確定某個(gè)人的位置了。

生：我也覺(jué)得沒(méi)有。因?yàn)橐粋€(gè)“十”字叉，一定可以鎖定某個(gè)點(diǎn)的位置，我從沒(méi)看見(jiàn)槍的瞄準(zhǔn)器上，有三條線組成的準(zhǔn)星呢。

生：我不同意！我覺(jué)得有可能需要三個(gè)數(shù)，因?yàn)槲覀兩畹氖侨S空間。（此語(yǔ)一出，全場(chǎng)愕然?。┤S空間，當(dāng)然需要三個(gè)數(shù)。

師：能舉個(gè)例子嗎？

生：……

師：需要我來(lái)支持一下嗎？

生：嗯。

師：見(jiàn)過(guò)魔方嗎？（見(jiàn)過(guò)）如果要確定其中某一塊的位置……

生：哦，我明白了！魔方一共有好幾層，先要確定它在第幾層，然后再確定它在第幾列、第幾行，這樣正好需要3個(gè)數(shù)。

生：但是，我們覺(jué)得4個(gè)數(shù)就不可能了。

生：我覺(jué)得可能，還可以加上時(shí)間啊?。ㄈ珗?chǎng)側(cè)目）

師：呵呵，看來(lái)，用數(shù)對(duì)確定位置，已經(jīng)引發(fā)了大家全面、深入的思考。有沒(méi)有答案并不重要，關(guān)鍵是，大家可以沿著自己給出的猜測(cè)，查一查資料，問(wèn)問(wèn)爸爸媽媽?zhuān)嘈糯蠹視?huì)對(duì)這些問(wèn)題有更深入的研究。

（張齊華，南京市北京東路小學(xué)，210008）