由橢圓定義的發(fā)現(xiàn)談數(shù)學教學的自然性

蔡乾江

【摘要】數(shù)學的教學活動應體現(xiàn)學生的主體地位，需要引導學生進行觀察、思考、探究，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，通過親身實踐、主動思維，經(jīng)歷不斷地從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動來理解和掌握數(shù)學基礎知識，并讓學生掌握科學的思維方法，才能真正學會數(shù)學.

【關鍵詞】數(shù)學教學;自然性;學生主體;橢圓定義

高中數(shù)學新課程標準要求在數(shù)學教學中，強調對數(shù)學本質的認識.在普通高中課程標準數(shù)學實驗教材的“主編寄語”中明確說明：數(shù)學是有用的數(shù)學，是自然的數(shù)學，是清楚的數(shù)學.南京大學的鄭毓信教授在《關于“問題解決”的再思考》中也提出：只有通過深入地揭示隱藏在具體數(shù)學知識背后的思維方法，我們才能真正做到把數(shù)學課“講活”、“講懂”、“講深”，也才能使學生真正看到思維方法的力量，這樣才不會變成一門紙上談兵、借題發(fā)揮的空洞“學問”.因此，教師在平時的數(shù)學教學中應突出知識產(chǎn)生的自然性與合理性.

下面，筆者以橢圓定義的發(fā)現(xiàn)為例來說明這一問題.

在老教材中，課本先以情景方式舉出了行星運行軌道、汽車油罐等相關橢圓的例子，然后用繩子畫橢圓，再由畫法歸納出橢圓的定義；在現(xiàn)在的課本中，直接給出了橢圓的畫法和定義.不管是老教材還是新課本，這種知識的傳授都只能讓學生“被動地接受”,而不是“主動地建構”.讓學生迷惑的是，這一畫法是怎樣得出來的？為什么會想到這種畫法？橢圓的定義來得非常“空洞”.當學生離開課本后，不能真正得到其本質的東西，讓學生感到這一概念來得極其的“不自然”，有一種“強加于人”的感覺.

為解決這一問題，筆者在教學實踐中，對該節(jié)內容作了重新處理.先讓學生完成兩個實驗.

實驗1：將一個球體置于桌面上，用一束光線斜射（即不垂直于桌面）在球體上，觀察球體在桌面上形成的影子.（讓學生對橢圓有一個感性認識）

實驗2：在圓錐中，用不平行于底面的平面去截圓錐，觀察所得的截面.（該截面即為橢圓，讓學生能夠進行感知）

然后再引導學生通過分析得出教材中關于橢圓的定義，進而上升到理性認識.

如圖，作圓錐的斜截面及兩個內切球O1和O2，兩球在截面的兩側和截面相切，其切點分別為F1和F2.在橢圓上任取一點P，圓錐的母線SP(S為圓錐頂點）與兩球分別切于點T和R.顯然TR是兩球的公切線，其長為定值.于是有：

|PF1|+|PF2|=|PT|+|PR|=|TR|=|AB|=2a.（定值）

由此得出教材上的橢圓定義：“平面上到兩定點的距離之和等于定長(該定長大于兩定點本身的距離)的點的軌跡叫橢圓.”

得出這一本質定義后，自然就是一些相關問題（如讓學生動手實踐畫圖過程，探討定長等于或小于兩定點本身的距離時其點的軌跡等）和求橢圓標準方程的內容，在此不用贅述了.

通過上述分析，讓學生對橢圓的認識從粗淺的感性認識上升到了深層次的理性認識，同時也讓學生感受到，橢圓是在現(xiàn)實中被發(fā)現(xiàn)后，通過分析才得出其嚴謹?shù)臄?shù)學定義，學生對橢圓的概念不僅能“知其然”，而且能“知其所以然”.

筆者在對本節(jié)的教學實踐中，所收到的教學效果與之前的收效相比，的確大不一樣，這可以通過學生獲取新知識時的那種興奮和愉悅完全感知得到.

數(shù)學是在人類長期的生產(chǎn)實踐中經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學精華和基礎，其中的數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個概念來得“不自然”，是“強加于人”的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應用以及它與其他概念的聯(lián)系，則會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，而且耐人尋味.

在高中數(shù)學課程的教學中應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質.數(shù)學課程要講究邏輯推理，要給學生“講道理”，而不能“憑空”得出.要使學生理解數(shù)學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法，追求數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài).

【參考文獻】

[1]全日制普通高級中學教科書《數(shù)學必修》（第二冊上）.北京：人民教育出版社，2002.

[2]普通高中新課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修3.北京：人民教育出版社，2007.

[3]羅碎海.數(shù)學探究與欣賞.廣州：暨南大學出版社，2010.