二次函數(shù)模型的巧用

馬應(yīng)庫(kù)

在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解．進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)．

一、“二次”的應(yīng)用

函數(shù)、方程、不等式三者，在一定條件下可以相互聯(lián)系. 函數(shù)是研究ｙ與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而方程則是求x取何值時(shí)，函數(shù)值恰好為零；不等式就是考察x的值在什么范圍變化時(shí)，函數(shù)值為正或負(fù). 當(dāng)a ≠ 0時(shí)，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c < 0）的解集就是二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖像中位于x軸上方（或下方）部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍，所以說(shuō)函數(shù)、方程、不等式是一個(gè)問(wèn)題的三個(gè)方面，它們又統(tǒng)一在函數(shù)之中.

1. 在解方程和不等式中的應(yīng)用

例１ （２００７貴州省貴陽(yáng)）二次函數(shù)ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問(wèn)題：

（１）寫(xiě)出方程ax2 + bx + c = 0的兩個(gè)根．

（２）寫(xiě)出不等式ax2 + bx + c > 0的解集．

（３）寫(xiě)出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.

（４）若方程ax2 + bx + c = k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

答案 （１）x1 = 1，x2 = 3.（２）1 < x < 3.（３）x > 2.（４）k < 2.

例２ （２００８年安徽?。┤鐖D為二次函數(shù)ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的圖像，在下列說(shuō)法中：

① ａｃ ＜ ０；

②方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的根是

ｘ１ ＝ －１，ｘ２ ＝ ３

③ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＞ ０

④當(dāng)ｘ ＞ １時(shí)，ｙ隨ｘ的增大而增大.

正確的說(shuō)法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正確的答案的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上）

答案 正確的說(shuō)法有：①②④.

２. 在解方程組的應(yīng)用

例３ （２００７甘肅隴南）如圖，拋物線(xiàn)y = ■x2 + mx + n交x軸于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)Ｃ，點(diǎn)Ｐ是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)Ａ的橫坐標(biāo)是-３，點(diǎn)Ｂ的橫坐標(biāo)是１．

（１）求m，n的值；

（２）求直線(xiàn)ＰＣ的解析式；

解 （１）由已知條件可知： 拋物線(xiàn)y = ■x2 + mx + n經(jīng)過(guò)Ａ（－３，０）、Ｂ（１，０）兩點(diǎn)．

∴ ０ ＝ ■ － ３ｍ ＋ ｎ，０ ＝ ■ ＋ ｍ ＋ ｎ．，解得ｍ ＝ １，ｎ ＝ -■．

（２）∵ y = ■x2 + x - ■，∴ Ｐ（－１，－２），Ｃ０，－■．

設(shè)直線(xiàn)ＰＣ的解析式是ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ，則－２ ＝ －ｋ ＋ ｂ，ｂ ＝ －■．

解得ｋ ＝■，ｂ ＝ －■．

∴ 直線(xiàn)ＰＣ的解析式是y = ■x - ■．

從以上解題可以看出，求兩個(gè)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般方法是把兩函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組，求出方程組的解，就是它們的交點(diǎn)坐標(biāo)；反之，圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是方程組的解. 因此，在研究二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，必須讓學(xué)生熟練掌握方程組的解法，明確函數(shù)、方程（組）的密切聯(lián)系．

二、聯(lián)系實(shí)際，綜合運(yùn)用

新課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)提出了較高要求，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決現(xiàn)代社會(huì)實(shí)際問(wèn)題的能力. 為了考查學(xué)生的能力，許多地方近幾年的中考數(shù)學(xué)試題，解法靈活，思路開(kāi)闊，不拘泥于舊的框框套套，能很好地考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

１． 在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例４ （２００７蘭州市）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)約材料，雞場(chǎng)一邊靠著原有的一堵墻（墻足夠長(zhǎng)），另外的部分用３０米的竹籬笆圍成，現(xiàn)有兩種方案：①?lài)梢粋€(gè)矩形（如上左圖）；②圍成一個(gè)半圓形（如上右圖）．設(shè)矩形的面積為Ｓ１平方米，寬為ｘ米，半圓形的面積為Ｓ２平方米，半徑為ｒ米，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算幫助農(nóng)場(chǎng)主選擇一個(gè)圍成區(qū)域面積最大的方案（π ≈ ３）．

解 Ｓ１ ＝ ｘ（３０ － ２ｘ） ＝ －２ｘ２ ＋ ３０ｘ ＝ －２ｘ － ■２ ＋ ■.

當(dāng)ｘ ＝ ■米時(shí)，Ｓ１取最大值■平方米.

由３０ ＝ πｒ得ｒ ＝ １０米.

Ｓ２ ＝ ■πｒ２ ＝ ■ × ３ × １００ ＝ １５０平方米.

∵ ■ ＜ １５０，∴ Ｓ１ ＜ Ｓ２，

∴ 應(yīng)選擇方案②.

從以上可以看出，把實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為二次函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是從實(shí)際生活中獲取必要的信息，將內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系挖掘出來(lái)，抽象處理有關(guān)信息，建立函數(shù)模型，利用函數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題. 特別注意，利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，自變量的取值范圍必須要明確．

２． 與幾何有關(guān)的應(yīng)用

例５ （２００９蘭州市）如圖①，正方形 ＡＢＣＤ中，點(diǎn)Ａ，Ｂ的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)Ｃ在第一象限．動(dòng)點(diǎn)Ｐ在正方形ＡＢＣＤ的邊上，從點(diǎn)Ａ出發(fā)沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Ｑ以相同速度在ｘ軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Ｐ點(diǎn)到達(dá)Ｄ點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， 設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ｔ秒．

（１）當(dāng)Ｐ點(diǎn)在邊ＡＢ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Ｑ的橫坐標(biāo)x（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間ｔ（秒）的函數(shù)圖像如圖②所示，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Ｑ開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)Ｐ運(yùn)動(dòng)速度；

（２）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)；

（３）在（１）中當(dāng)ｔ為何值時(shí)，△ＯＰＱ的面積最大，并求此時(shí)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)；

（４）如果點(diǎn)Ｐ，Ｑ保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)Ｐ沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，ＯＰ與ＰＱ能否相等，若能，寫(xiě)出所有符合條件的ｔ的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解 （１）Q（１，０），點(diǎn)Ｐ運(yùn)動(dòng)速度每秒鐘１個(gè)單位長(zhǎng)度.

（２） 過(guò)點(diǎn)B作ＢＦ⊥ｙ軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF ＝ ８，OF = BE = 4．

∴AF = 10 - 4 = 6，在Ｒｔ△ＡＦＢ中，AB = ■ = 10 過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H．

∵ ∠ABC = 90°，AB = BC，

∴△ＡＢＦ ≌ △ＢＣＨ．

∴ BH = AF = 6，CH = BF = 8．

∴ ＯＧ ＝ ＦＨ ＝ ８ ＋ ６ ＝ １４，ＣＧ ＝ ８ ＋ ４ ＝ １２．

∴ 所求Ｃ點(diǎn)的坐標(biāo)為（１４，１２）．

（３）過(guò)點(diǎn)Ｐ作ＰＭ⊥ｙ軸于點(diǎn)Ｍ，ＰＮ⊥x軸于點(diǎn)Ｎ，

則△ＡＰＭ∽△ＡＢＦ．

∴ ■ = ■ = ■． ∴ ■ = ■ = ■．

∴ AM = ■t，PM = ■t.

∴ PN = OM = 10 -■t，ON = PM = ■t ．

設(shè)△ＯＰＱ的面積為S（平方單位）.

∴ Ｓ ＝ ■ × １０ － ■ｔ（１ ＋ ｔ） = 5 + ■t - ■t2（０ ≤ t ≤ １０）.

∵ a = -■ ＜ ０，

∴當(dāng)t = -■ = ■時(shí)， △ＯＰＱ的面積最大．

此時(shí)Ｐ的坐標(biāo)為 ■，■ ．

（４）當(dāng)t = ■或t = ■時(shí)， ＯＰ與ＰＱ相等．

與幾何有關(guān)的二次函數(shù)問(wèn)題，首先要利用幾何知識(shí)，推出已知、未知之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)知識(shí)解決. 注意：此類(lèi)問(wèn)題，一定要求出自變量的取值范圍．

近幾年來(lái)，中考有關(guān)二次函數(shù)的命題，在注重教材知識(shí)的基礎(chǔ)上，大量增加了知識(shí)綜合運(yùn)用，即增加了研究性課題，開(kāi)放性問(wèn)題，貼近社會(huì)生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的試題等. 這就要求師生在二次函數(shù)的復(fù)習(xí)中，要抓雙基，忌抓難題、怪題，要從本質(zhì)上發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)分類(lèi)、整理、綜合、構(gòu)造，形成一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng). 在解題時(shí)，從題目提供相關(guān)的信息來(lái)進(jìn)行最佳組合，促進(jìn)解題過(guò)程的優(yōu)化.