關(guān)于冪級數(shù)求和的探討

劉華 楊寶珍 景慧麗

【摘要】冪級數(shù)求和是無窮級數(shù)這一章的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文結(jié)合教材中的錯例分析了學(xué)生的錯誤及錯誤原因，并對冪級數(shù)求和問題進(jìn)行了探討，給出了解決方法.

【關(guān)鍵詞】冪級數(shù)；和函數(shù)；收斂域

【基金項(xiàng)目】第二炮兵工程學(xué)院精品課程建設(shè)資助項(xiàng)目

冪級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程中非常重要的知識點(diǎn)，而其中有關(guān)冪級數(shù)求和問題是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文從一個錯例（《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)大學(xué)第五版））入手，分析了學(xué)生的錯誤及錯誤原因，然后結(jié)合該例探討冪級數(shù)求和的相關(guān)問題.

例1 求冪級數(shù)А啤轠]n=0x琻[]n+1的和函數(shù)（原書例6）.

解 先求收斂域.由limn→∞a璶+1[]a璶=limn→∞n+1[]n+2=1得收斂半徑R=1.

在端點(diǎn)x=-1處，冪級數(shù)成為А啤轠]n=0В-1）琻[]n+1，是收斂的交錯級數(shù)；

在端點(diǎn)x=1處，冪級數(shù)成為А啤轠]n=01[]n+1，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)镮=[-1，1].

設(shè)和函數(shù)為s（x），即

s（x）=А啤轠]n=0x琻[]n+1，x∈[-1，1）.（1）

于是

xs（x）=А啤轠]n=0x琻+1[]n+1.（2）

利用性質(zhì)3，逐項(xiàng)求導(dǎo)，并由

1[]1-x=1+x+x2+…+x琻+…，（-1

得

[xs（x）]′=А啤轠]n=0x琻+1[]n+1=А啤轠]n=0x琻=1[]1-x，（|x|<1）.（4）

對上式從0到x積分，得

xs（x）=А要瑇01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）

于是，當(dāng)x≠0時，有s（x）=-1[]xln（1-x），

而s（0）可由s（0）=a0=1得出，

故

s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），

1，x=0.（6）

一、錯誤及原因分析

1.忽略冪級數(shù)的起始項(xiàng)

例如在求解冪級數(shù)А啤轠]n=1x琻的和函數(shù)時，有學(xué)生就很容易將其和函數(shù)寫為s（x）=1[]1-x，而事實(shí)上其和應(yīng)該為s（x）=x[]1-x.該錯誤產(chǎn)生的原因在于學(xué)生忽略了冪級數(shù)的起始項(xiàng)，習(xí)慣性的把第一項(xiàng)默認(rèn)為1.

2.忽略和函數(shù)的定義域

產(chǎn)生該錯誤的原因，主要是學(xué)生對和函數(shù)的概念理解不透徹.無窮多項(xiàng)求和其和并不總是存在的，即不總是收斂的，所以在求和函數(shù)時，首先要判斷在哪些點(diǎn)處和是存在的，這些點(diǎn)的集合就是和函數(shù)的定義域，即冪級數(shù)的收斂域.

3.錯誤地給出和函數(shù)的定義域，即冪級數(shù)的收斂域

該錯誤的產(chǎn)生主要源于利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)時，忽略了收斂域的變化.上述例子中的（5）式就出現(xiàn)了這方面的錯誤.

4.忽略了收斂域中的特殊點(diǎn)

在上述例子式中，利用（5）求s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時，當(dāng)x≠0時，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，對x=0還要單獨(dú)求解s（0）.

二、求冪級數(shù)和函數(shù)時應(yīng)注意的問題及應(yīng)對措施

1.標(biāo)注和函數(shù)的定義域

和函數(shù)的定義域不同于一般函數(shù)的定義域，其定義域事實(shí)上為與和函數(shù)相對應(yīng)的冪級數(shù)的收斂域，因此在和函數(shù)表達(dá)式之后應(yīng)正確標(biāo)注x的取值范圍，即和函數(shù)的定義域.為避免在這里出現(xiàn)錯誤，在求解和函數(shù)時，應(yīng)首先求出所求冪級數(shù)的收斂域.嚴(yán)格按照先求收斂域再求和函數(shù)的步驟求解能很好地解決這一問題（參看教材[1]中例6）.

2.注意收斂域與級數(shù)的匹配

利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)是解決冪級數(shù)求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性質(zhì)2和性質(zhì)3，簡稱為逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).但這兩條性質(zhì)都只說明變化后的級數(shù)其收斂半徑不發(fā)生變化，未對收斂域的情況進(jìn)行詳細(xì)說明.事實(shí)上，逐項(xiàng)積分后所得冪級數(shù)的收斂域有可能擴(kuò)大，即有可能把收斂區(qū)間的端點(diǎn)包含進(jìn)來；逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得冪級數(shù)的收斂域有可能縮小，即有可能把收斂域的端點(diǎn)去掉.應(yīng)對這一問題，只需要在利用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積時，對端點(diǎn)處的收斂性重新判斷即可.

3.注意等式變化過程中x的取值問題

比如在（5）式中，求解s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時x不能取零，但x=0又是收斂域中的點(diǎn)，因此需單獨(dú)求解s（0）.對這一問題，需要在等式變化過程中，關(guān)注x的取值變化.對收斂域中不能取到的點(diǎn)x0，應(yīng)單獨(dú)求解s（x0）.可用以下兩種方法，方法一：求解x=x0時對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.方法二：利用和函數(shù)的連續(xù)性求解x=x0時對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002：214.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001：47.