數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用中的一些體會

左占飛

摘要：該文以數(shù)學(xué)軟件Mathematica為例，介紹了它的繪圖功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個應(yīng)用，說明在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入軟件的繪圖功能進行輔助學(xué)習(xí)，有利于增強教學(xué)內(nèi)容的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)的質(zhì)量與效率。

關(guān)鍵詞：Mathematica軟件；高等數(shù)學(xué)；繪圖功能

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A文章編號：1009-3044（2012）30-7311-03

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高等數(shù)學(xué)的思想已經(jīng)滲透到了各個行業(yè)領(lǐng)域，為了給學(xué)生奠定堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，幾乎所有的高校都將高等數(shù)學(xué)列為了必修課程。但是教過高等數(shù)學(xué)的老師都有這樣的體會，對于理工科的學(xué)生講授起來并不容易。究其原因，一方面是因為大部分高等數(shù)學(xué)內(nèi)容邏輯性強，具有較高的抽象性，內(nèi)容多而學(xué)時相對又少；另一方面是沒有把先進的多媒體教學(xué)手段和方法引入到課堂中。為此，三峽學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，結(jié)合學(xué)校各個院系的情況，對高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容體系和教學(xué)方法以及教學(xué)手段進行改革，推動人才培養(yǎng)模式，以適應(yīng)學(xué)校申研工作和教學(xué)發(fā)展的要求。這次改革中一個重要的環(huán)節(jié)，就是在數(shù)學(xué)的教學(xué)中加入了數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，運用軟件的功能增強教學(xué)內(nèi)容的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)的質(zhì)量與效率。這次的教學(xué)改革中選取了Mathematica軟件做為教學(xué)的內(nèi)容，經(jīng)過一學(xué)期的實踐，總結(jié)了自己在教學(xué)中的一些心得體會和各位老師們分享。

1 Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的圖形描繪是一項比較重要的內(nèi)容，雖然按照一定的方法可以畫出函數(shù)的草圖，但是對于學(xué)生來說直觀性還是很差，特別是在學(xué)習(xí)曲面積分和曲線積分時，經(jīng)常要畫一些復(fù)雜的空間圖形和空間曲線，用手工作圖是相當困難的，有些圖形難以直觀感知，特征不易觀察。利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件可很方便地繪制各種圖形[2]，幫助學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解。下面給出教學(xué)中常用的范例，來說明軟件的繪圖功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

例1：繪制函數(shù)[f（x，y）=2xyx2+y2]在區(qū)域[{（x，y）|-1

這道例題是二元函數(shù)微積分中常見的一個例題，初學(xué)者在極限的判斷往往得出錯誤的結(jié)論。究其原因主要是二元函數(shù)的極限存在的條件比一元函數(shù)嚴格的多，再加上二元函數(shù)的圖形是空間曲面，手工作圖相當困難，沒有直觀的圖形也給該題的判斷增加了難度。而借用Mathematica軟件的畫圖法這個問題就會變得比較簡單，只需要在在Mathematica “基本輸入工具欄”輸入命令：

運行后可得圖1和圖2，這樣就可以借助圖形更直觀地來觀察和研究該函數(shù)的性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。從圖1可以看出（0，0）是函數(shù)的間斷點，從圖2可以清晰的看出函數(shù)在（0，0）附近的等高線是過（0，0）的直線y=kx，這就表明（x，y）沿[y=kx（k≠0）]趨近于（0，0）時，函數(shù)趨近于不同的值，因此[f（x，y）]在（0，0）處沒有極限。

例2：化三重積分[I=Ωf（x，y，z）dxdydz]為三次積分，其中積分區(qū)域[Ω]是由雙曲拋物面[z=xy]及平面[x+y-1=0]，[z=0]圍成的區(qū)域[3]。

分析上述例題，最關(guān)鍵的問題是對積分區(qū)域[Ω]有一個直觀的認識，才能確定積分的上下限，將三重積分化為三次積分。上述兩個曲面中第二個和第三個比較簡單，但是第一個雙曲拋物面是一個馬鞍面，畫起來非常復(fù)雜，即使我們能把它們的草圖畫出，兩者圍成的區(qū)域也并不直觀，給問題的解決帶來了困難。但是用Mathematica軟件中的三維作圖函數(shù)Plot3D，很容易畫出上述三個曲面，并給出它們圍成的區(qū)域。在Mathematica “基本輸入工具欄”輸入命令g1=Plot3D[x*y，{x，-10，10}，{y，-10，10}]，g2=Plot3D[x+y-1，{x，-10，10}，{y，-10，10}]和g3=Plot3D[0，{x，-10，10}，再輸入命令[Show[g1，?g2，g3]]便清楚的看出了三者圍成的區(qū)域圖6。

有了上述直觀圖加上一些簡單的計算討論，比較容易看出在[x∈[0，1]]和[y∈[0，1-x]]的區(qū)域內(nèi)，z=x*y的取值還是要大于z=0，因此三次積分的上下限便可確定出來，

通過這種方法解決三重積分問題，不但直觀而且快捷，學(xué)生們反映效果非常好。

例3： 作出直徑為2的球面與一個經(jīng)過球面的一條直徑，且半徑為1的圓柱面相交的圖形C，寫出投影柱面方程C和在xoy面上的投影曲線，及二者所圍空間區(qū)域在xoy面上的投影區(qū)域。

上述兩個曲面相交的圖形C在數(shù)學(xué)上稱為維維安尼曲線，它是以意大利數(shù)學(xué)家維維安尼的名字命名的，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。如果不借用軟件，徒手畫出上述曲面圍成的空間圖形會特別的困難，而且得出的草圖也不形象直觀。而借助于Mathematica 軟件能輕松地解決上述問題。在Mathematica中輸入下列命令

便得到了維維安尼曲線C和它在xoy面上的投影曲線（圖7， 圖8）

輸入命令

便容易得到兩個曲面圍成的空間區(qū)域（圖9）。

通過上面例題的分析研究，我們對于空間曲線的圖形，以空間曲線為準線的柱面（即投影柱面）空間曲線的投影，空間曲面所圍成的空間圖形的投影區(qū)域有了一個明確的了解，這為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了一個堅實的基礎(chǔ)。例如求三重積分[I=Ωf（x，y，z）dxdydz]，其中積分區(qū)域[Ω]是圖13的區(qū)域。借助直觀的圖形利用例2的方法容易化三重積分[I=Ωf（x，y，z）dxdydz]為三次積分。有了上述的直觀圖形，我們同樣可以求出例 3中球面被圓柱面截下的部分曲面[Σ]的面積，或者維維安尼曲線的弧長。當然學(xué)了曲面積分和曲線積分的計算公式，通過直觀的圖形也容易求出在上述曲面[Σ]和曲線上的積分。

2 結(jié)束語

用Mathematica處理高等數(shù)學(xué)問題是一種比較新穎、直觀的教學(xué)方法。在日常教學(xué)過程中，我們應(yīng)不斷地研究探索，用Mathematica設(shè)計制作數(shù)學(xué)課件，將高等數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)的更準確、更完美、更具體化，提高信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的實效，提高教學(xué)的質(zhì)量與效率。

參考文獻：

[1] 鄭靖波.將數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)實驗融入微積分教學(xué)的實踐[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2003（1）：82-83.

[2] 王高峽.用Mathematica軟件繪制空間圖形的方法和技巧[J].重慶工學(xué)院學(xué)報，2007（7）：17-20.

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.