巧設(shè)直線方程x=ty+m

周艷軍

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了解析幾何中直線、圓錐曲線兩部分的知識(shí)內(nèi)容，還涉及函數(shù)與方程、不等式、向量、平面幾何、數(shù)列等許多知識(shí)，是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn).此類(lèi)考題綜合性極強(qiáng)，能力要求也極高，其中計(jì)算能力的要求尤為重要，因此我

們除了平時(shí)要注意計(jì)算能力的訓(xùn)練外，還需注意優(yōu)化解題過(guò)程.

通常情況下我們把直線方程一般設(shè)成點(diǎn)斜式、斜截式，但有時(shí)我們把直線設(shè)成x=ty+m的形式會(huì)大大地減小計(jì)算量.那么什么時(shí)候適合把直線設(shè)成x=ty+m的形式呢？

1.當(dāng)圓錐曲線是拋物線y2=2px時(shí)，把直線設(shè)成x=﹖y+猰的形式可以使計(jì)算更簡(jiǎn)捷

例1 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱(chēng),求k的取值范圍.

解 設(shè)點(diǎn)B,C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱(chēng)，由題意知直線BC的斜率不為0,

因此可設(shè)直線BC方程為：x=-ky+m.

代入y2=4x，整理得：y2+4ky－4m=0，①

設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中點(diǎn)為M(x0，y0)，

則y0=(y1+y2)=－2k，x0=2k2+m，

∵點(diǎn)M(x0，y0)在直線y=kx+3上，

∴－2k=k(2k2+m)+3.

∴m＝－1[]k(2k3+2k+3).②

又 ∵直線BC與拋物線交于不同兩點(diǎn),

∴①式的Δ=16k2+16m>0,把②式代入化簡(jiǎn)得：

（k+1)·(k2-k+3)[]k<0，解得：－1

點(diǎn)評(píng) 本題把直線設(shè)成x=-ky+m使得直線和拋物線聯(lián)立得到的方程①簡(jiǎn)潔,從而后續(xù)計(jì)算也變簡(jiǎn)潔,若把直線BC方程設(shè)成y=-1[]kx+m,則計(jì)算量會(huì)增大.

2.當(dāng)直線過(guò)x軸上某一定點(diǎn)M（m，0）,且題中涉及以M點(diǎn)為端點(diǎn)的向量相等時(shí)，把直線設(shè)成x=ty+m，也有助于減小計(jì)算量

例2 （2010全國(guó)卷2理）已知橢圓C:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的離心率為3[]2，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)．若〢F=3〧B，則k=().

獳.1B.2C.3D.2

解 因?yàn)槭乔笾?，且是選擇題，由橢圓的離心率為3[]2可取橢圓方程為x2[]4+y2=1，

由題意知直線的斜率不可能為0,因此可設(shè)直線方程為x=ty+3，

聯(lián)立消去x，得(t2+4)y2+23ty-1=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理有

y1+y2=-23t[]t2+4，y1y2=-1[]t2+4，①

由〢F=3〧B，得(3-x1，-y1)=3(x2-3,y2)，②

則-y1=3y2，代入①中可得t=2[]2，

所以k=2.故選獴.

點(diǎn)評(píng) 本題把直線設(shè)成x=ty+3，聯(lián)立消元后得到一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程，而由②式可得到兩個(gè)等式3-﹛1=3(x2-3）和-y1=3y2，顯然選擇后者關(guān)系簡(jiǎn)單得多，因此大大地減小了計(jì)算量.

3.當(dāng)直線過(guò)x軸上某一定點(diǎn)M（m，0）,且直線的斜率不可能為零,但又可能不存在時(shí),把直線設(shè)成x=ty+m，不但可以減小計(jì)算量,而且可避免討論斜率不存在的情況,從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程

例3 （2010湖北理）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

(Ⅰ)求曲線C的方程；

（Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有〧A·〧B<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 （Ⅰ）設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足：

(x-1)2+y2-x=1(x>0).

化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0).

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).

設(shè)l的方程為x=ty+m，

由x=ty+m,

y2=4x

得y2-4ty-4m=0，Δ=16(t2+m)>0.

于是y1+y2=4t,

y1y2=-4m.①

又 〧A=(x1-1,y1),〧B=(x2-1,y2).

〧A·〧B<0(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+﹛2)+1+y1y2<0.②

又 x=y2[]4，于是不等式②等價(jià)于

y21[]4·y22[]4+y1y2-y21[]4+y22[]4+1<0.

(y1y2)2[]16+y1y2-1[]4［(y1+y2)-2y1y2］+1<0.③

由①式代入不等式③化簡(jiǎn)得:m2-6m+1<0.④

對(duì)任意實(shí)數(shù)t，4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0，即3-220,

由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)，且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有〧A·〧B<0，且m的取值范圍是(3-22,3+22).

總之,當(dāng)我們?cè)诮鉀Q直線和圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí),除了平時(shí)要訓(xùn)練自己扎實(shí)的計(jì)算能力外,還要注意仔細(xì)讀題,擇優(yōu)解法,力爭(zhēng)達(dá)到事半功倍的效果.但當(dāng)把直線設(shè)成x=ty+m時(shí),由于此時(shí)不包含斜率為0的情況,因此解題時(shí)要注意檢驗(yàn),防止漏解,導(dǎo)致解題不嚴(yán)謹(jǐn).