滲透數(shù)學(xué)思想掌握解題方法

賀明亮

面對(duì)浩瀚的數(shù)學(xué)題海，我們不可能全部做完，我們只能以不變?nèi)?yīng)萬變，變換的是題型，但是不變的是解題方法.如何在教學(xué)過程中將解題方法很好地展示給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高是我們教師深思的問題.本文就高中數(shù)學(xué)解題，介紹了自己對(duì)數(shù)學(xué)解題方法的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì).

一、高中數(shù)學(xué)解題的基本方法

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說過，“學(xué)好數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”.而當(dāng)我們解題的時(shí)候遇到一個(gè)問題，總想用自己熟悉的題型去“套”，只有對(duì)數(shù)學(xué)解題方法理解透徹后，才能很好地將解題方法運(yùn)用到解題過程中.下面以反證法為例：

反證法是一種間接證法.它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步：

（1）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)；

（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果；

（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立.

其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等.

例1 給定實(shí)數(shù)a,a≠0，且a≠1，設(shè)函數(shù)y=x-1[]ax-1x∈R,且x≠1[]a，求證：經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸.

證明 假設(shè)函數(shù)圖像上存在兩點(diǎn)M1,M2，使得直線M1M2平行于x軸.

設(shè)M1(x1,y1),M2(x2,y2)，且x1≠x2.由k㎝1M2=0，得

y2-y1[]x2-x1=x2-1[]ax2-1-x1-1[]ax1-1[]x2-x1=a-1[](ax2-1)(ax1-1)=0，

解得a=1.與已知a≠1矛盾.

故經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸.

二、結(jié)合高考題分析解題方法

高考題非常重視對(duì)于教學(xué)方法的考查，以下是結(jié)合高考題分析解題方法.

例2 （2010年江蘇高考題）設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0，使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).

設(shè)函數(shù)f（x）=h（x）+b+2[]x+1（x>1），其中b為實(shí)數(shù).

（1）求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；

（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

（1）①證明 依據(jù)題目給的條件：f（x）=﹉(x)+猙+2[]x+1，

∴f(x)=1[]x-b+2[](x+1)2=x2-bx+1[]x（x+1）2.

這樣題目是：f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，h（x）＞0具有P（a）性；在f（x）=x2-bx+1[]x（x+1）2中，只需要證明1[]x（x+1）2＞0即可.

∵x＞1，∴1[]x（x+1）2＞0,∴f（x）具有性質(zhì)P（b）.

（2）判斷f（x）=x2-bx+1[]x（x+1）2的正負(fù)，只需要判斷x2-゜x+1在（1，+∞）上的正負(fù)；

而我們并不知道b的值，所以對(duì)b要進(jìn)行一次分類討論（遇到影響判斷的未知數(shù)的時(shí)候，必然要進(jìn)行分類，對(duì)未知數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論）.

當(dāng)b≤2時(shí)（為什么是2，這個(gè)看二次函數(shù)的對(duì)稱軸），﹛2-猙x+1≥x2-2x+1=（x-1）2＞0（∵x＞1）.

此時(shí)，f（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).

當(dāng)b＞2時(shí)，對(duì)于x2-bx+1＞0，可解：x＞b+b2-4[]2或x＜b-b2-4[]2（舍去）.

∴當(dāng)b＞2時(shí)，x＞b+b2-4[]2時(shí)，f（x）＞0，f（x）在b+b2-4[]2,+∞上是增函數(shù)；x＜b+b2-4[]2時(shí)，f（x）＜0，f（x）在1，b+b2-4[]2上是減函數(shù).

綜上：當(dāng)b≤2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；當(dāng)b＞2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為b+b2-4[]2,+∞，減區(qū)間為1，b+b2-4[]2.

本題考查了學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行模仿推理判斷的能力（就是P(a)的判定），以及利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性并進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換（最后一問，把值的大小轉(zhuǎn)變成為自變量的大?。?，總體難度不是很大，沒有體現(xiàn)壓軸題應(yīng)有的難度.這道題告訴我們，常見對(duì)數(shù)、指數(shù)、分?jǐn)?shù)等的導(dǎo)數(shù)要會(huì)求解，不會(huì)求的話趕緊學(xué).另外，最后一問的轉(zhuǎn)變非常有意思，對(duì)于學(xué)生關(guān)于函數(shù)的理解是一個(gè)非常不錯(cuò)的考查.

三、總 結(jié)

學(xué)習(xí)是一門學(xué)問，講究技巧，學(xué)生一定要深刻理解基本概念、公式、結(jié)論的內(nèi)涵和外延，并逐漸掌握它們的使用方法.試卷上一般是不需要考生默寫某個(gè)概念或公式，而是用這些概念或公式解決問題，這種靈活運(yùn)用公式的能力只有也只能通過做題來獲得，數(shù)學(xué)知識(shí)要在理解的基礎(chǔ)上記憶，記住的東西只有通過做題才能鞏固和熟練應(yīng)用.教學(xué)方法的總結(jié)過程其實(shí)也是一種知識(shí)學(xué)習(xí)與積累的過程,學(xué)生在做題過程中，逐漸熟練掌握并運(yùn)用到解題中.只有熟練掌握解題方法，學(xué)生才能以不變應(yīng)萬變，才會(huì)不斷提高.

【參考文獻(xiàn)】

［1］波利亞.怎樣解題.閻育蘇譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

［2］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)（天津），2005（2）.