把握實(shí)質(zhì)是解題的關(guān)鍵

張本霖

一、問題提出

時(shí)下正值高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，在一次復(fù)習(xí)課上，筆者給學(xué)生出了下列的一道試題，供學(xué)生思考.一方面是鞏固所學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，另一方面是考查學(xué)生處理問題的能力.但通過(guò)學(xué)生的練習(xí)來(lái)看，卻是波瀾而曲折.

二、課堂實(shí)錄

題目：在數(shù)列{a璶}中，a1=0，且對(duì)任意k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1成等差數(shù)列，其公差為2k，求數(shù)列{a璶}的通項(xiàng)公式.

教師：前幾節(jié)課，我們已經(jīng)復(fù)習(xí)過(guò)數(shù)列的定義、相關(guān)性質(zhì)和由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.下面請(qǐng)大家分組討論一下，然后派代表來(lái)介紹你是如何解決這個(gè)問題的.

1.學(xué)生解法實(shí)錄

組1 解 由條件a2k-a2k-1=2k,a2k+1-a2k=2k,k∈N*，

由a1=0得a2=2,a3=4,a4=8,a5=12,a6=18,a7=24,a8=32……

各項(xiàng)特點(diǎn)：a1=1×0+0=0,a3=3×1+1=4,a5=5×2+2=12……,

a2=2×1,a4=4×2,a6=6×3……

猜想a璶=n×n-1[]2+n-1[]2=n2-1[]2,n為奇數(shù)；a璶=n×n[]2=n2[]2,n為偶數(shù).

組2 解 由題意a2k+1-a2k=2k,k∈N*，由累加法

a2k+1=（a2k+1-a2k)+(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+…+(a2-a1)+a1=2k+(2k-1)+(2k-2)+…+1+0=2k+1[]2×2k=2k2+k.令n=2k+1，則k=n-1[]2,∴a璶=2×n-1[]22+n-1[]2=n2-n[]2,n為奇數(shù).

同理，由a2k-a2k-1=2k,k∈N*，可得a2k=2k2+k-1.

令n=2k，則k=n[]2,∴a璶=n2+n-2[]2,n為偶數(shù).

組3 解 由條件a2k-a2k-1=2k，k∈N*,由累加法

a2k=(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+(a2k-2-a2k-3)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2k+2k-1[]2+2（k-1)+2k-3[]2+…+2×2+2×3[]2+2×1+0=2×(1+k)［k+(k-1)］[]2=2k2+k-1.

令n=2k，∴a璶=n2+n-2[]2,n為偶數(shù)；同理，可得a璶=n2-n[]2，n為奇數(shù).

2.解法探究

看到學(xué)生在黑板上的內(nèi)容，再巡視其他同學(xué)所做情況，對(duì)的更是寥寥無(wú)幾.筆者不禁戰(zhàn)栗，但卻不露聲色，看學(xué)生到底能有所發(fā)現(xiàn).

師：我們來(lái)逐一看看大家所做的情況.對(duì)組1同學(xué)的做法贊同嗎？

生1：有，猜想.他是通過(guò)列舉了數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)發(fā)現(xiàn)項(xiàng)的規(guī)律，從而得到通項(xiàng)公式.但這種做法不具有普遍性和嚴(yán)密性.再者，對(duì)于解答題來(lái)說(shuō)更是不適合，填空題可以去嘗試.

師：很好！該方法只能是簡(jiǎn)單的猜想，從解決問題的邏輯角度來(lái)講的確存在問題.

師：大家來(lái)看組2和組3，答案一樣，看來(lái)他們做得沒有問題了吧？

生2：組2的做法不對(duì).由題意知a2k+1-a2k=2k,k∈N*，組2代表認(rèn)為a2k-a2k-1=2k-1,k∈N*，這與a2k-a2k-1=2k,k∈N*相矛盾了.他誤認(rèn)為等式的右端與等式第二項(xiàng)的下標(biāo)一致了.（課堂上不少同學(xué)若有所悟，點(diǎn)頭稱是）

生3：（迫不及待的）組3的做法也有問題.

師：哦，說(shuō)說(shuō)看.

生3：組3代表由a2k-a2k-1=2k,k∈N*得到a2k-1-a2k-2=2k-1[]2,k∈N*，顯然出現(xiàn)了問題，他將下標(biāo)中的k變?yōu)閗-1[]2，很明顯k∈N*，而k-1[]2麼*，所以錯(cuò)了.（全班同學(xué)一致稱贊）

3.問題的實(shí)質(zhì)

本題到底考查了學(xué)生什么？表面看是求通項(xiàng)，實(shí)際上學(xué)生要想順利的解決問題，必須要對(duì)數(shù)列的概念、等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推法求數(shù)列通項(xiàng)要有很深的理解，真正明白每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)質(zhì)性應(yīng)用.學(xué)生正是對(duì)這些知識(shí)不夠了解才出現(xiàn)了像上述的“猜”和公式的運(yùn)用不當(dāng)?shù)葐栴}.下面是筆者對(duì)本題的幾種簡(jiǎn)略解法，供大家參考.

方法一 解 由題意a2k+1-a2k=2k,k∈N*，

∴a2k+1=(a2k+1-a2k)+(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+…+(a2-a1)+a1=2k+2k+2(k-1)+2(k-1)+…+2×1+2×1=2k2+2k.

從而a2k=a2k+1-2k=2k2,k∈N*.

令n=2k+1,則k=n-1[]2,∴a璶=2×n-1[]22+2×n-1[]2=n2-1[]2.

再令n=2k,則k=n[]2,∴a璶=n2[]2.

綜上可得a璶=n2-1[]2,n為奇數(shù),

n2[]2,n為偶數(shù).

方法二 解 由題意a2k-a2k-1=2k,k∈N*,

∴a2k=(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+(a2k-2-a2k-3)+…+(a2-a1)+a1=2k+2(k-1)+2(k-1)+2(k-2)+…+2×1+2×1=2k2.

從而a2k+1=a2k+2k=2k2+2k,k∈N*.下面解法同一.

方法三 解 由題意a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*,

∴a2k+1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+(a2k-3-a2k-5)+…+(a3-a1)+a1=4k+4(k-1)+4(k-2)+…+4×1=2k2+2k.

從而a2k=a2k+1-2k=2k2,k∈N*.下面解法同一.

三、課堂反思

本節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了從模糊到清晰的全過(guò)程，從教學(xué)情況來(lái)看，也算是完成了教學(xué)任務(wù)，學(xué)生也達(dá)到了對(duì)問題的解決，但筆者在教后反思中卻久久不能平靜.應(yīng)該說(shuō)，本題涉及的僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)——用累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，但學(xué)生所暴露出的問題卻是很多：對(duì)概念的理解，相關(guān)量的特點(diǎn)和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用的熟練程度，以及分析和解決問題的能力都有待進(jìn)一步的提高.可以說(shuō)，學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的實(shí)質(zhì)未能夠把握，只是為了解題而解題，忽略了知識(shí)應(yīng)用的可行性和靈活性，這些都是需要在今后的教學(xué)中和學(xué)生共同解決的問題.