高等數(shù)學(xué)不定積分教法淺議

孫靜波

【摘要】高等數(shù)學(xué)是高職高專院校各專業(yè)必修的一門重要的公共基礎(chǔ)課程，通過本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生獲得高等數(shù)學(xué)方面的基本理論、基本概念和基本知識，為后繼課程的學(xué)習(xí)和今后工作打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它對培養(yǎng)、提高學(xué)生的思維素質(zhì)、創(chuàng)新能力、科學(xué)精神、治學(xué)態(tài)度以及用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力都有著非常重要的作用.高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，而我們在教學(xué)過程中，最棘手的也是函數(shù)的求導(dǎo)與積分的計算問題，尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)和第一類換元積分法（湊微分法）求積分.本文就如何判斷并使用湊微分法求積分的問題談?wù)剛€人心得體會.

【關(guān)鍵詞】積分；湊微分；被積函數(shù)；復(fù)合函數(shù)

【中圖分類號】獹642

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】獴オ

在《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)過程中，學(xué)到導(dǎo)數(shù)時就會有一部分同學(xué)掉隊，再學(xué)積分時就會在導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上又有一部分同學(xué)掉隊.這也是《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)過程中拉開學(xué)生檔次的一個重要地方.那么如何抓住這部分內(nèi)容呢?筆者認(rèn)為既然不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運算，那么微分運算公式在積分中的地位就不言而喻了，只有在掌握了導(dǎo)數(shù)運算的基礎(chǔ)上，我們才能看積分的運算，而積分運算中最重要的、使用最多的是第一類換元積分法，也就是湊微分法，它的運算基本上就是不同類型的微分公式的逆推.如何判斷所給積分能否使用湊微分法求不定積分呢？下面我們就由淺入深觀察湊微分法的判定與運算.

凡是能夠使用湊微分法的不定積分中被積函數(shù)均可以看成是若干個函數(shù)的乘積，且其中必包含一個主函數(shù)（一般復(fù)合函數(shù)居多），將其中若干函數(shù)經(jīng)過一次或若干次還原必可以得到主函數(shù)或主函數(shù)的一部分，系數(shù)我們就不考慮了，因為系數(shù)可以根據(jù)實際情況湊.下面我們就先以最簡單的，主復(fù)合函數(shù)為二重復(fù)合函數(shù)（或基本初等函數(shù)）的不定積分（即只需經(jīng)過一次還原的湊微分法）為例對其進行解釋.

1.若不定積分中含有f(x)g［φ(x)］玠玿,且有А要f(x)玠玿=φ(x)+C或А要f(x)玠玿=g［φ(x)］+C，則該不定積分一定可以使用湊微分法進行計算，即必有А要f(x)g［φ(x)］玠玿=И∫g［φ(x)］И玠φ(x)或И∫f(x)g［φ(x)］玠玿=∫g［φ(x)］玠玤［φ(x)］，這樣我們只要將φ(x)看成一個整體使用積分公式進行計算即可.

例1 判定下列哪些不定積分可以使用第一類換元積分法求解.

（1）А要x·玸in玿玠玿;（2）А要x·玸in玿2玠玿;（3）А要x·玸in玡瑇玠玿;（4）А要И玪n玿[]x玠玿.

求解過程如下：

（1）因為А要x玠玿=1[]2x2+C不等于x+C,也不等于┆玸in玿+狢，所以不滿足湊微分法的條件.

（2）А要x玠玿=1[]2x2+C，系數(shù)不影響判定，因此原式可使用湊微分法.

原式=1[]2А要И玸in玿2玠玿2=-1[]2玞os玿2+C.

（3）А要x玠玿=1[]2x2+C不等于玡瑇，也不等于玸in玡瑇，所以不滿足湊微分法的條件.

（4）А要1[]x玠玿=玪n玿+C，因此原式可使用湊微分法進行計算，即А要И玪n玿[]x玠玿=А要И玪n玿玠玪n玿=1[]2(玪n玿)2+C.

這樣基本上所有該類型的不定積分我們就都可以進行計算了，只是形式不同而已，原理都是一樣的.例如下列各題：

例2 求解下列積分：

（1）А要И玜rcsin玿[]1-x2玠玿;（2）А要И玡┆玜rcsin玿猍]1-x2玠玿;ィ3）А要1[]玜rcsin玿1-x2玠玿.

求解過程如下：

（1）А要1[]1-x2玠玿=玜rcsin玿+C，ニ以原式=А要И玜rcsin玿玠arcsin玿=1[]2(玜rcsin玿)2+C.

（2）原式=А要И玡┆玜rcsin玿玠玜rcsin玿=玡┆玜rcsin玿+C.

（3）原式=А要1[]玜rcsin玿玠arcsin玿=玪n珅玜rcsin玿|+C.

有了簡單湊微分法的計算方法，我們就可以在此基礎(chǔ)上增加難度了，比如被積函數(shù)需經(jīng)過至少兩次湊微分才能求解.下面我們就將湊微分法的基本公式推廣至被積函數(shù)需經(jīng)過兩次換元的不定積分，其他的可以以此類推.

2.需經(jīng)過兩次湊微分運算的不定積分又有什么樣的特征呢？我們同樣給出例子來進行判定.

例3 А要x·玸in玿2·玞oscos玿2玠玿.

經(jīng)過觀察我們會發(fā)現(xiàn)玞oscos玿2是一個三重復(fù)合函數(shù)，而且式子之中目前只有x可以參與湊微分，試將其湊成微分會發(fā)現(xiàn)原式可變形為1[]2А要И玸in玿2玞oscos玿2玠玿2,將x2看成一個整體，那么該式又變成了和被積函數(shù)經(jīng)一次湊微分運算的不定積分類型相同的積分了，接下來按照上面的方法將玸in玿2的原式可變形為-1[]2А要И玞oscos玿2玠玞os玿2，根據(jù)積分公式可得出原式等于-1[]2玸incos玿2+C,相應(yīng)的，其他具有該特征的不定積分我們就又都可以求解了.下面我們再舉一些例子.

例4 求解下列不定積分：

(1)А要1[]x玪n玿玪nln玿玠玿;（2）А要И玪nln玿[]x玪n玿玠玿;（3）А要И玞oslnln玿[]x玪n玿玠玿.

求解過程如下：

（1） 原式=А要1[]玪n玿玪nln玿玠玪n玿=А要1[]玪nln玿玠lnln玿=玪n珅玪nln玿|+C.

（2） 原式=А要И玪nln玿[]玪n玿玠ln玿=А要И玪nln玿玠玪nln玿=1[]2(玪nln玿)2+C.

（3）原式=А要И玞oslnln玿[]玪n玿玠ln玿=А要И玞oslnln玿玠玪nln玿=玸inlnln玿+C.

這樣所有的利用湊微分法求解不定積分的題我們就都可以進行求解了，當(dāng)然我們說會做題還不是我們對這部分內(nèi)容掌握的最高境界，如果只給出題的一部分讓你能夠?qū)⒃擃}補充完整并使之能夠應(yīng)用湊微分法進行計算，這才說明我們對湊微分法理解得非常透徹了.下面我們也舉一些該類型的例子進行一下觀察，首先是使用一次湊微分法進行計算的題.

例5 補充下列各式使之能夠使用湊微分法進行計算并求解：

（1）А要И玪n玿玠玿; （2）А要И玞ose瑇玠玿; （3）А要И玸intan玿玠玿.

考慮求解方法，那就需要運用我們的求導(dǎo)公式了，分別看誰的導(dǎo)數(shù)是玪n玿,玡瑇,玹an玿，然后將其以乘積的形式補充給被積函數(shù)即可.

求解過程如下：

（1） 原式應(yīng)補充為А要И玪n玿[]x玠玿且А要И玪n玿[]x玠玿=А要И玪n玿玠玪n玿=1[]2(玪n玿)2+狢.

（2） 原式應(yīng)補充為А要И玡瑇玞ose瑇玠玿且А要И玡瑇玞os玡瑇玠玿=おА要И玞ose瑇玠玡瑇玸in玡瑇+C.

（3） 原式應(yīng)補充為А要И玸ec2玿玸intan玿玠玿且玸ec2玿玸intan玿玠玿=おА要И玸intan玿玠tan玿=-玞ostan玿+C.

相應(yīng)的我們還可以將這些題變得更復(fù)雜一些.

例6 補充下列各式使之能夠使用湊微分法進行計算并求解：

（1）А要1[]玪nln玿玠玿; （2）А要И玪nln玿玠玿; （3）А要И玞oslnln玿玠玿.

求解過程如下：

（1） 原式應(yīng)補充為А要1[]x玪n玿玪nln玿玠玿且А要1[]x玪n玿玪nln玿玠玿=И∫1[]玪n玿玪nln玿И玠玪n玿=А要1[]玪nln玿玠lnln玿=玪n|lnln玿|+C.

（2）原式應(yīng)補充為А要И玪nln玿[]x玪n玿玠玿且А要И玪nln玿[]x玪n玿玠玿=А要И玪nln玿[]玪n玿玠ln玿=おА要И玪nln玿玠lnln玿=1[]2(玪nln玿)2+C.

（3）原式應(yīng)補充為А要И玞oslnln玿[]x玪n玿玠玿且А要И玞oslnln玿[]玪n玿玠ln玿=おА要И玞oslnln玿玠lnln玿=玸inlnln玿+C.

這樣就算再有變化也就是形式上的改變了，計算方法和原理都是一樣的.