高等數(shù)學與初等數(shù)學相關內(nèi)容的比對

杜慧娟

摘 要 高等數(shù)學與初等數(shù)學教材內(nèi)容的有效銜接問題，是切實提高高等院校高等數(shù)學課程教學質(zhì)量的關鍵問題之一。本文對高等數(shù)學與初等數(shù)學教材中有關“函數(shù)與極限”、“導數(shù)與微分”等內(nèi)容及教學要求進行了比對，并給出了解決這些問題的一些建議。

關鍵詞 高等數(shù)學 初等數(shù)學 教材內(nèi)容 比對 銜接

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

Comparison between the Content of Higher

Mathematics and Elementary Mathematics

DU Huijuan

(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)

Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison

經(jīng)過調(diào)研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級中學數(shù)學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數(shù)學與大學數(shù)學的聯(lián)系，高中教材中安排了大學數(shù)學課程里的一些基本概念、基礎知識和思維方法。試圖從教學內(nèi)容方面解決高中數(shù)學與大學數(shù)學的銜接問題。但是，大學數(shù)學與高中數(shù)學教材內(nèi)容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數(shù)學課程的教學質(zhì)量，對大學新生盡快適應大學數(shù)學學習形成了障礙。高等數(shù)學與初等數(shù)學教材內(nèi)容的有效銜接亟待解決。

1 “函數(shù)與極限”的銜接

函數(shù)，是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數(shù)學教材中的這部分內(nèi)容基本相同，但內(nèi)涵更豐富，難度也提高了。

（1）函數(shù)概念：在原有內(nèi)容中，增加了幾個在高等數(shù)學中經(jīng)常用到的實例，如取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號函數(shù)等。因此，在學習中，函數(shù)概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數(shù)即可。

（2）初等函數(shù)：反三角函數(shù)要求提高，新增加了“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”等內(nèi)容。反三角函數(shù)的概念在高中已學過，但高中對此內(nèi)容要求較低，只要求學生會用反三角函數(shù)表示“非特殊角”即可。而高等函數(shù)中要求較高，此處在學習中應補充有關內(nèi)容：在復習概念的基礎上，要求學生熟悉其圖像和性質(zhì)，以達到靈活應用的目的。新增加的“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”在高等數(shù)學中經(jīng)常用到，故應特別注意。

（3）函數(shù)極限：“數(shù)列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數(shù)學重用的是“”定義，此處是學生在高等數(shù)學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應注意加強引導，避免影響函數(shù)極限后面內(nèi)容的學習。新增內(nèi)容“收斂數(shù)列的性質(zhì)”雖是新增內(nèi)容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可?！皹O限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關內(nèi)容的學習。

2 “導數(shù)與微分” 的銜接

高中新教材中的一元函數(shù)微積分的部分內(nèi)容，是根據(jù)高等數(shù)學內(nèi)容學習需要所添加，目的是加強高中數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系，讓中學生初步了解微積分的思想。

（1）導數(shù)的定義：高中數(shù)學和高等數(shù)學教材中，這一內(nèi)容是相同的，不同的是學習要求。高中數(shù)學要求：了解導數(shù)概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的概念和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念。也就是說，盡管極限與導數(shù)在高中已經(jīng)學過，但主要是介紹概念和求法,對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數(shù)學要求學生掌握并熟練應用，這是高等數(shù)學的一個重要內(nèi)容，在此處應用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應給與足夠的重視。

（2）導數(shù)的運算：高中新課標教材要求較低：根據(jù)導數(shù)的定義會求簡單函數(shù)的導數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，會求簡單的復合函數(shù)導數(shù)。重點考察利用導數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。

高等數(shù)學教學大綱對這部分內(nèi)容要求：掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法；掌握初等函數(shù)的一、二階導數(shù)的求法，會求分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)；了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)；了解微分的概念與四則運算。

建議：高中學過的僅僅是該內(nèi)容的基礎，因此需重新學習已學過的內(nèi)容，為本節(jié)后面更深更難的內(nèi)容打好基礎。

（3）導數(shù)的應用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經(jīng)歷由函數(shù)增長到函數(shù)減少的過程，使學生了解函數(shù)的單調(diào)性，極值與導數(shù)的關系，要求結(jié)合函數(shù)圖像，知道函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的最大最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的應用。

高等數(shù)學對這部分內(nèi)容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，給出函數(shù)的極值、最值的嚴格定義，及函數(shù)在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎上，討論求最大最小值的應用問題，以及用導數(shù)描繪函數(shù)圖形的方法步驟。

建議：由以上分析比較可知，高中數(shù)學所涉及的一元微分學雖然內(nèi)容差別不大，但內(nèi)容體系框架有很大差異，高等數(shù)學知識更系統(tǒng)，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的四則運算法則及簡單函數(shù)的一階導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值都是高中數(shù)學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數(shù)學教學中建議一點而過，教學重點應放在用微分中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理、函數(shù)極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內(nèi)容上。

以上主要分析比較了高中數(shù)學與高等數(shù)學的重復知識點。除此之外，二者之間以及高等數(shù)學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。

3 高中數(shù)學與高等數(shù)學知識的“斷裂帶”

高考對平面解析幾何中的極坐標內(nèi)容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應用的，如在一元函數(shù)微分學的應用中求曲率，以及定積分的應用中求平面圖形的面積等。建議在相應的地方補充講解極坐標知識。

初等數(shù)學與高等數(shù)學除了在教材內(nèi)容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數(shù)學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數(shù)學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關系，在備課時，了解中學有關知識的地位與作用及與高等數(shù)學知識內(nèi)在的密切聯(lián)系，對教材做恰當?shù)奶幚?；上課時教師要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎上獲得新知識。

總之，努力探索搞好初等數(shù)學和高等數(shù)學學習銜接問題，是學好高等數(shù)學的關鍵之一。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數(shù)學系主編.高等數(shù)學（第五版 上冊）.北京:高等教育出版社,2005.

[2] 人民教育出版社中學數(shù)學室編著.數(shù)學（全日制普通高級中學教科書）.北京:人民教育出版社,2006.