小學(xué)階段數(shù)學(xué)符號意識研究綜述

須勤

摘 要：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。圍繞數(shù)學(xué)符號意識這一主題，國內(nèi)外很多學(xué)者在其內(nèi)涵理解、關(guān)于其在教與學(xué)的過程中存在的問題以及培養(yǎng)策略等方面已經(jīng)進(jìn)行了探索，并取得了不少研究成果。筆者對此進(jìn)行梳理、分析與總結(jié)，并提出了進(jìn)一步的思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思考；符號意識；內(nèi)涵理解；培養(yǎng)策略

一、研究背景

“符號”一詞起源于希臘，英文譯名為“symbol”。著名數(shù)學(xué)家羅素【英】說：“數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！睌?shù)學(xué)符號是一種特定的、精煉的、專用的數(shù)學(xué)語言，是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物，又是人們在解決數(shù)學(xué)問題時進(jìn)行表示、推理、計算的工具，數(shù)學(xué)思維活動以此為載體。狹義上的數(shù)學(xué)符號，以人們約定俗成的方式存在，如規(guī)定加法用“+”表示，減法用“-”表示。廣義上的數(shù)學(xué)符號，是指表示數(shù)量之間的規(guī)律及其關(guān)系的所有符號，可以用來描述數(shù)學(xué)對象，如數(shù)學(xué)用語、公式、圖表、數(shù)字等。經(jīng)歷了數(shù)千年歷史的積淀與完善，數(shù)學(xué)符號展現(xiàn)著獨特的魅力，成為通用的科學(xué)語言。它不同于漢語、英語、德語等一般的語言，它突破文化和地域的界限，成為一種國際化的規(guī)范語言。它是人類智慧的產(chǎn)物，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步。

學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的把握對其數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著直接的影響。自從2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）中將“符號感”作為核心概念提出以來，對于數(shù)學(xué)“符號感”的研究就成為一個比較活躍的領(lǐng)域。在之后的新一輪課程改革中，數(shù)學(xué)符號受到了人們前所未有的關(guān)注。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中，“符號感”一詞更名為“符號意識”。因此，發(fā)展學(xué)生的符號意識成為我國義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。孩子自從學(xué)習(xí)算術(shù)開始，就與符號有了接觸，上了小學(xué)之后，對數(shù)學(xué)符號的接觸就更多。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一就是要讓學(xué)生知道并理解數(shù)學(xué)符號的意義，能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號解決一些數(shù)學(xué)問題和實際問題，發(fā)展學(xué)生的符號意識。事實上，一些發(fā)達(dá)國家及地區(qū)很早就認(rèn)識到符號意識對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，如《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了發(fā)展學(xué)生符號意識的要求。還有我國的特別行政區(qū)——香港的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出，要發(fā)展并培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。鑒于此，國內(nèi)外很多學(xué)者和一線教師在數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)涵理解、對其在教與學(xué)方面存在的問題以及培養(yǎng)策略等方面做了一定的研究與探索。本文對關(guān)于數(shù)學(xué)符號意識已取得的研究成果進(jìn)行了梳理、分析與總結(jié)，為后續(xù)研究做準(zhǔn)備。

二、關(guān)于符號意識內(nèi)涵理解的研究

對于符號意識，目前還沒有一個清晰、明確的定義。國外的很多學(xué)者從數(shù)學(xué)符號的特征和表現(xiàn)形式進(jìn)行描述，更傾向于認(rèn)為其是一種能力的體現(xiàn)。Fey（1990）對符號感的闡述比較系統(tǒng)，他認(rèn)為符號感的表現(xiàn)形式多種多樣，它總是和數(shù)感、函數(shù)感和圖像感等相互聯(lián)系，但他認(rèn)為符號意識也是一種能力。Kinzel認(rèn)為符號感就是“在具體情境中，能創(chuàng)造出準(zhǔn)確的代表數(shù)量關(guān)系的代數(shù)表達(dá)式，是符號解釋和符號操作的結(jié)合體，是一種能力”。Nurit Zehavi認(rèn)為“在解決問題的過程中，符號感通常和數(shù)感、圖表感、函數(shù)感等聯(lián)系緊密并交織出現(xiàn)”，因此要給它下定義，非常困難。Abraham Arcavi 認(rèn)為符號意識不僅是一種能力，也是一種思維活動，是對符號的一種直覺，一種理解以及運(yùn)用。他試圖詳細(xì)具體地羅列符號感的表現(xiàn)特征，并對其進(jìn)行分類，但仍然認(rèn)為其完善度不夠。

在我國，“符號意識”是數(shù)學(xué)課標(biāo)中的一個重要概念。早在2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）中，首次將“符號感”作為一個核心概念提出，認(rèn)為符號感是“人對符號的意義、作用的理解以及主動地使用符號的一種習(xí)慣和意識”。之后學(xué)者們都是在此基礎(chǔ)上對其進(jìn)行理解。如史炳星等對符號感的理解與其一致，他們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號重要的一步是用字母表示數(shù)，認(rèn)為理解用字母表示數(shù)對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識是有幫助的。也有學(xué)者認(rèn)為符號感就是一種對符號的直接感受和感悟。如王兄從表象圖式的角度來理解符號感，認(rèn)為其是指對符號的感受和領(lǐng)悟能力。有些學(xué)者認(rèn)為符號感的提法不夠恰當(dāng)，對此存在爭議。何小亞在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）芻議》一文中認(rèn)為是翻譯的誤差，主張符號感的提法值得商榷。鄭毓信的觀點與其一致，認(rèn)為符號意識不是簡單地對符號的某種感覺、感悟能力達(dá)到的水平，更是一種心理活動和數(shù)學(xué)意識。這種符號意識與數(shù)感及數(shù)學(xué)模型聯(lián)系緊密，是對數(shù)學(xué)語言的一種綜合運(yùn)用，不能簡單地歸結(jié)為對符號的直觀感覺，即符號感的問題。經(jīng)過10年的課程改革，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在經(jīng)驗總結(jié)中不斷反思，最終將“符號感”一詞改為“符號意識”。之后，關(guān)于符號意識的理解基本都以此為參照，與其表現(xiàn)一致，很少再有爭議。

縱觀以上國內(nèi)外學(xué)者們對符號意識內(nèi)涵的理解，他們都認(rèn)為符號意識是一種自覺主動地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號的態(tài)度和能力。他們對此各抒己見，但更傾向于是對數(shù)學(xué)符號的特征及表現(xiàn)形式的描述，而并非其真正內(nèi)涵。因此，符號意識的真正內(nèi)涵是什么，值得我們進(jìn)一步地思考。

三、關(guān)于符號意識教與學(xué)的經(jīng)驗性研究

這些年來，一線的數(shù)學(xué)教師、研究人員及學(xué)者，對數(shù)學(xué)符號意識的教與學(xué)進(jìn)行了相關(guān)的調(diào)查研究與分析總結(jié)，同時借鑒吸收了一些教育學(xué)、心理學(xué)中關(guān)于知識獲得的認(rèn)識，兩者結(jié)合，提升成為數(shù)學(xué)符號意識教學(xué)的依據(jù)，為學(xué)生“怎樣學(xué)”，教師“如何教”，提供了指導(dǎo)。但沒有說為何要這樣做，其本質(zhì)是認(rèn)識論的、經(jīng)驗式的。這些在實踐中得到的規(guī)律，對數(shù)學(xué)符號意識的教學(xué)有著指導(dǎo)性的意義。

（一）關(guān)于學(xué)生對數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)的研究

學(xué)生在數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)的過程中，往往會出現(xiàn)各種類型的錯誤。國外的不少學(xué)者從認(rèn)知、教學(xué)、解題等方面對其進(jìn)行了深入研究。Davis提出了學(xué)生“二重返回”的錯誤規(guī)律，比如學(xué)生出現(xiàn)“3×3=6”的錯誤，是因為與最初的加法法則相混淆而導(dǎo)致的。然而，上述錯誤也可以認(rèn)為是對于數(shù)學(xué)符號理解上的偏差所致的。乘法符號“×”和加法符號“+”在外表形式上類似，對學(xué)生的理解產(chǎn)生了干擾。事實上，學(xué)生所存在的一些問題都是源于某些“干擾”，有其他語言形式的干擾、其他學(xué)科表述的干擾以及學(xué)生生活經(jīng)驗的干擾等。