基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合優(yōu)化決策

楊愛(ài)軍，高 岳，孟德鋒

（南京審計(jì)學(xué)院 金融學(xué)院，南京 211815）

0 引言

Markowitz于1952年提出的組合投資理論與方法奠定了均值—方差分析框架，開(kāi)創(chuàng)了對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定量測(cè)度與防范的先河，是后續(xù)許多其他理論研究的基礎(chǔ)。隨著金融實(shí)踐不斷深化和金融計(jì)量建模技術(shù)的發(fā)展，該理論的不足之處也逐漸凸現(xiàn)出。

一方面，傳統(tǒng)的均值—方差模型假設(shè)投資組合收益率分布函數(shù)為多元正態(tài)分布。盡管均值—方差模型仍很受歡迎，但它也受到了種種批評(píng)。重要一點(diǎn)是沒(méi)有充分考慮投資組合收益率的尖峰厚尾和偏態(tài)特征。當(dāng)投資組合收益率服從正態(tài)分布時(shí),均值—方差模型能夠完美地刻畫投資組合收益率分布情況，從而為管理投資風(fēng)險(xiǎn)提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。事實(shí)上，大量實(shí)證研究成果表明，投資組合收益率往往呈現(xiàn)出尖峰胖尾和有偏特征。Markowitz[1]詳細(xì)說(shuō)明了當(dāng)投資者效用函數(shù)與投資組合損益率的均值、方差和偏態(tài)有關(guān)時(shí)，均值—方差模型不再有效；Athayde和Flores[2]給出了基于均值—方差—偏度的有效前沿的許多性質(zhì)，并且通過(guò)模擬得到有效前沿形狀；Jurczenko[3]提出了一種優(yōu)化算法來(lái)得到基于均值—方差—偏度的投資組合有效前沿。但是這些研究都沒(méi)有充分考慮投資組合收益率的尖峰厚尾特性。

另一方面，盡管存在種種批評(píng)和多種與其競(jìng)爭(zhēng)的風(fēng)險(xiǎn)度量方法,方差仍然是投資管理實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。在金融市場(chǎng)波動(dòng)較為平穩(wěn)的情況下,均值—方差模型仍然能較好地發(fā)揮作用。然而在金融市場(chǎng)波動(dòng)較為劇烈的情況下，投資組合收益率尖峰厚尾和偏態(tài)特性使得方差不能有效度量投資組合重大損失風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)前金融市場(chǎng)的波動(dòng)越來(lái)越大,投資者越來(lái)越關(guān)注投資組合重大損失風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生；同時(shí)監(jiān)管當(dāng)局也越來(lái)越重視對(duì)投資組合重大損失風(fēng)險(xiǎn)的監(jiān)管。國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者提出了利用VaR來(lái)改造均值一方差模型,形成均值一方差模型。然而由于VaR不滿足次可加性,從而不滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)缺陷影響了投資組合選擇的正確性。CVaR是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量方法，且容易進(jìn)行優(yōu)化處理，受到學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界越來(lái)越多的重視。為了方便計(jì)算均值—CVaR模型有效前沿，常常假設(shè)投資組合收益率服從多元正態(tài)分布[4～6]。雖然多元正態(tài)分布簡(jiǎn)化了均值—CVaR模型的計(jì)算,卻低估了實(shí)際的重大損失風(fēng)險(xiǎn)。

鑒于此，本文擬研究基于均值—CVaR模型的投資組合優(yōu)化問(wèn)題。首先，利用多元廣義雙曲線分布來(lái)擬合投資組合收益率，這個(gè)分布可以更好的考慮投資組合收益率的尖峰厚尾和偏態(tài)特征，還包含了多元正態(tài)分布和多元偏態(tài)分布為特例，進(jìn)而可以從分布本身的角度來(lái)比較比較實(shí)證研究結(jié)果；其次，本文將引入CVaR代替方差和VaR來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn),進(jìn)而建立均值—CVaR投資優(yōu)化模型；最后，利用中國(guó)股票市場(chǎng)的真實(shí)數(shù)據(jù)來(lái)演示本文方法，筆者期望提出的基于多元廣義雙曲線分布的均值—CVaR模型能為投資者更好地管理投資風(fēng)險(xiǎn),提供更廣泛的選擇空間。

1 均值-CVaR模型

假設(shè)有n種股票可用于構(gòu)建投資組合，第i種股票期望收益率為ri(i=1,2,…,n)，記r=(r1,r2,…,rn)T，上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置；第i種股票在投資組合中的投資比重為wi，則投資組合可以表示為w=(w1,w2,…,wn)T，那么投資組合損益率為有效反映投資組合收益率分布是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理的重要基礎(chǔ)，進(jìn)而對(duì)投資組合優(yōu)化問(wèn)題具有重要意義。本文在利用多元廣義曲線分布來(lái)描述n種股票期望收益率基礎(chǔ)上建立均值—CVaR模型。

1.1 多元廣義雙曲線分布

Kλ(z)為階數(shù)為λ的第二類修正Bessel函數(shù)，那么r服從多元廣義曲線分布，其中參數(shù)滿足：當(dāng) λ＜0,則χ＞0,ψ≥0；當(dāng) λ=0,則 χ＞0,ψ＞0；當(dāng)λ＞0,則 χ≥0, ψ＞0。這里λ可用于描述某個(gè)子類的特征，并且改變?chǔ)说闹悼梢詠?lái)調(diào)整分布尾部的厚度；λ,χ,ψ是分布的形狀參數(shù)，決定了數(shù)據(jù)在分布尾部和中心部分的比重，當(dāng)參數(shù)取值趨向無(wú)窮大時(shí)，分布演化為正態(tài)分布；u是位置參數(shù)；γ是偏態(tài)參數(shù)，越大表示分布函數(shù)偏度越大就說(shuō)明分布函數(shù)是對(duì)稱分布，也是一類橢圓分布，γ在描述金融收益率數(shù)據(jù)分布中具有重要的作用。由此可見(jiàn)，與多元正態(tài)分布僅有兩個(gè)參數(shù)相比較，通過(guò)引進(jìn)其他幾個(gè)參數(shù)使得這個(gè)分布族非常靈活，能更好地?cái)M合實(shí)際金融收益率分布。

多元廣義雙曲線分布族包含許多分布，并且這些分布的一維形式已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域：當(dāng)λ=1時(shí)，為多元廣義雙曲線分布[7]；當(dāng)λ=(n+1)/2時(shí)，為多元雙曲線分布；當(dāng)λ=-1/2時(shí)，為多元正態(tài)逆高斯(NIG)分布[8,9]；當(dāng)λ＞0,χ=0時(shí) ，為 多 元 方 差 -gamma分 布[10]；當(dāng)λ=-ν/2,χ=ν,ψ=0時(shí)，為多元偏態(tài) t分布[11,12]；當(dāng)λ=-ν/2,χ=ν,ψ=0,γ=0時(shí)，為多元學(xué)生t分布。

1.2 風(fēng)險(xiǎn)度量

VaR是在一定的持有期和一定的置信度內(nèi)，投資組合所面臨的、潛在的最大損失金額；VaR不僅指出了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)暴露的大小，同時(shí)也給出了損失的概率。如令α∈(0,1)為給定置信度，則VaR可表示為：

VaR=inf{l∈R∶Pr(L＞l)≤1-α}=inf{l∈R∶FL(l)≥α}

CVaR是指損失超過(guò)VaR的條件均值[13]，也稱為平均超額損失，代表了超額損失的平均水平，其表達(dá)式為：

在方差、VaR和CVaR三種風(fēng)險(xiǎn)度量中，方差不一定滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)；VaR不一定滿足次可加性，從而不一定滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)，但是當(dāng)分布函數(shù)為橢圓分布族時(shí)[14]，VaR滿足次可加性，也滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)CVaR而言，無(wú)論分布函數(shù)是否為橢圓分布族時(shí)，其都滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)。一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)對(duì)方差、VaR和CVaR三種風(fēng)險(xiǎn)度量在投資組合優(yōu)化問(wèn)題中的重要性可以用如下結(jié)論來(lái)描述。

假如r服從橢圓分布，并且分布的所有邊際分布方差有限；對(duì)所有g(shù)∈R，記

那么對(duì)任何滿足正齊次性，傳遞不變性的風(fēng)險(xiǎn)度量ρ而言，argminL∈Ωρ(L)=argminL∈Ωσ2L。

這里σ2L為變量L的方差。以上結(jié)論說(shuō)明，如果投資組合收益率向量服從橢圓分布，那么在給定組合收益率的期望值的條件下，基于Markowitz方差最小化理論所得到的最優(yōu)投資組合同基于其他滿足正齊次性，傳遞不變性的風(fēng)險(xiǎn)度量方法所得到的最優(yōu)投資組合一樣。也就是說(shuō)，最優(yōu)投資組合不僅依賴于風(fēng)險(xiǎn)度量方法的選取，也依賴于投資組合收益率向量分布函數(shù)的選取(本文省略具體證明過(guò)程，感興趣可以和作者聯(lián)系)。但通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明上述結(jié)論的內(nèi)涵。因?yàn)槎嘣龖B(tài)分布和多元t分布為橢圓分布的特例，這里假設(shè)投資組合收益率向量服從多元t分布，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中，c1,c2為依賴于α和自由度的常數(shù)。因此，在給定組合收益率的期望值條件下，即ωTu為常數(shù)，對(duì)CVaR進(jìn)行極小化求解相當(dāng)于對(duì)方差(ωTΣω)進(jìn)行極小化求解。因此，無(wú)論使用方差、VaR和CVaR那一種來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，所得最優(yōu)投資組合的結(jié)果始終一致；同時(shí)優(yōu)化結(jié)果也不依賴α的選取。當(dāng)多元廣義雙曲線分布中的γ=0時(shí)，多元廣義雙曲線分布演化為一類橢圓分布，此時(shí)投資組合優(yōu)化問(wèn)題不依賴于風(fēng)險(xiǎn)度量方法的選取；但是當(dāng)γ≠0時(shí)，投資組合優(yōu)化問(wèn)題依賴于風(fēng)險(xiǎn)度量的選取。因此本文將利用CVaR來(lái)度量投資組合潛在損失。

1.3 投資組合優(yōu)化

由于在投資組合收益率向量服從多元廣義雙曲線分布下，無(wú)法得到CVaR的具體表達(dá)式，對(duì)此本文利用Rockafellar and Uryasev[15]的算法①當(dāng)分布函數(shù)為正態(tài)或者學(xué)生分布時(shí)，我們也可以繼續(xù)使用這個(gè)方法，所得結(jié)果和直接求解所得結(jié)果一致。，具體過(guò)程如下。

步驟1：首先將CVaR表示為如下形式：

這里[x]+=max(x,0)。由于上式涉及高維積分，傳統(tǒng)方法非常困難，本文利用MCMC抽樣技術(shù)從r的密度函數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生m個(gè)樣本，得到Fα(w,p)估計(jì)為：

步驟2：在給定組合收益率的期望值約束下，關(guān)于(w,p)對(duì) F∧α(w,p)進(jìn)行最小化求解②這里我們可以使用Matlab軟件提供的線形規(guī)劃算法，fmincon，對(duì)F∧α(w,p)進(jìn)行最小化問(wèn)題的求解。。如果 F∧α(w,p)在(w*,p*)處取得極小值，那么w*為最優(yōu)投資組合，p*為VaR，極小值為CVaR。

2 實(shí)證分析

本文選擇不同行業(yè)的五只股票作為研究對(duì)象③本文也研究了其他不同種類股票組合的優(yōu)化情況，所得結(jié)果也支持本文結(jié)論。限于篇幅，這里不再列出，感興趣的讀者可以向或者索取。，這五只股票分別是：東方航空、浦發(fā)銀行、萬(wàn)科A、中國(guó)石化和中國(guó)重汽；計(jì)算使用的歷史數(shù)據(jù)區(qū)間為：2000年1月1日到2010年6月29日；數(shù)據(jù)來(lái)源：金融研究數(shù)據(jù)庫(kù)(RESSET)。所選取的股票相關(guān)統(tǒng)計(jì)資料見(jiàn)表1。

表1 五只股票收益率的相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析

從表1中單個(gè)股票來(lái)看，可以發(fā)現(xiàn)東方航空股票平均收益率最高，而其偏態(tài)情況也最顯著。中國(guó)石化和中國(guó)重汽也存在比較明顯的偏態(tài)情形。根據(jù)前面的理論，運(yùn)用廣義雙曲線分布和CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量來(lái)研究投資組合優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布進(jìn)行檢驗(yàn)。表2運(yùn)用MardiaTest統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)的多元正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)。從表2分析中，五只股票的數(shù)據(jù)顯然不滿足多元正態(tài)分布。這個(gè)結(jié)論可以從表3得到進(jìn)一步確認(rèn)。在表3中，我們用三種不同分布來(lái)擬合數(shù)據(jù)。從最優(yōu)擬合優(yōu)度AIC值可以得出，正態(tài)逆高斯分布和偏態(tài)t分布的擬合效果差別不是很大，但是正態(tài)逆高斯分布對(duì)數(shù)據(jù)擬合效果最好，無(wú)論是正態(tài)逆高斯分布還是偏態(tài)t分布，擬合結(jié)果都表明數(shù)據(jù)具有尖峰厚尾和偏態(tài)特征。因此有必要對(duì)傳統(tǒng)的均值—方差模型進(jìn)行改進(jìn)。

表2 多元正態(tài)分布檢驗(yàn)

表3 不同分布下的AIC值

表4 基于多元正態(tài)分布和方差、95%VaR和95%CVaR度量的優(yōu)化結(jié)果

在前面部分我們指出，當(dāng)分布為多元正態(tài)分布時(shí)④我們這里僅以多元正態(tài)分布為例，這個(gè)結(jié)論對(duì)橢圓分布族中的任何分布都滿足。，使用方差、VaR和CVaR中任一種作為風(fēng)險(xiǎn)度量工具，所得到最優(yōu)投資組合結(jié)果是不變的。表4給出基于這三種風(fēng)險(xiǎn)度量的優(yōu)化結(jié)果，顯然優(yōu)化結(jié)果始終保持一致。下面利用正態(tài)逆高斯分布和CVaR研究投資組合優(yōu)化問(wèn)題。為了對(duì)均值—方差模型與均值—CVaR模型做一個(gè)比較，進(jìn)而分析均值—CVaR模型的特點(diǎn)，我們對(duì)每一個(gè)模型都計(jì)算了在給定組合收益率的期望值約束下的最優(yōu)投資組合。表5分別給出了五組最優(yōu)投資組合的計(jì)算結(jié)果。分析表4和表5可以發(fā)現(xiàn)，盡管在給定組合收益率的期望值約束下，基于均值—方差模型與均值—CVaR模型得到的最優(yōu)投資組合并不相同。具體來(lái)說(shuō)，東方航空和萬(wàn)科A的投資比重顯著增大(+20%,+30%)；浦發(fā)銀行的投資比重減少很多(-60%)；而其他兩個(gè)股票的投資比重基本保持不變。這個(gè)結(jié)果表明本文的方法運(yùn)用到證券投資管理是相當(dāng)有潛力的。由于在均值—CVaR的模型中，損失是用貨幣來(lái)表示的，它更加直觀，同時(shí)由于CVaR是下方風(fēng)險(xiǎn)的度量方法，更接近投資者的心理習(xí)慣。因此應(yīng)用正態(tài)逆高斯分布和CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量有著更多的優(yōu)點(diǎn)。

表5 基于正態(tài)逆高斯分布和95%CVaR度量的優(yōu)化結(jié)果

3 結(jié)論

現(xiàn)代證券投資組合管理依靠數(shù)量化、模型化的方法來(lái)確定最優(yōu)資產(chǎn)組合。在國(guó)內(nèi)，數(shù)量化組合投資這一方法已引起一批機(jī)構(gòu)投資者的興趣，已有不少券商研究機(jī)構(gòu)和基金管理公司對(duì)此展開(kāi)了研究，越來(lái)越多的投資組合管理者將采用現(xiàn)代投資組合優(yōu)化模型來(lái)管理組合。盡管均值—方差模型仍很受歡迎，但它受到的批評(píng)也是很多的，主要在于均值—方差模型是建立在分布函數(shù)為多元正態(tài)分布和使用方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量方法的基礎(chǔ)之上。然而，大量實(shí)證研究成果表明：投資組合收益率向量往往呈現(xiàn)出尖峰胖尾和有偏特征，如果我們?nèi)匀皇褂枚嘣龖B(tài)分布來(lái)擬合投資組合收益率向量，那么我們將得到不精確的結(jié)果；同時(shí)方差對(duì)極值并不敏感，恰恰這些極值就是投資者所關(guān)心的。本文提出使用一種靈活的多元廣義雙曲線分布來(lái)描述投資組合收益率向量。另外本文使用CVaR來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，CVaR可以把風(fēng)險(xiǎn)量化為貨幣表示。通過(guò)對(duì)市場(chǎng)的實(shí)證研究我們發(fā)現(xiàn)，分布函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)度量的選取對(duì)最優(yōu)投資組合具有顯著影響。這表明本文方法運(yùn)用到證券投資管理中是相當(dāng)有潛力的。

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