基于聚類(lèi)分析與協(xié)整檢驗(yàn)的A股市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)套利策略

張 戡，李 婷，李凌飛

統(tǒng)計(jì)套利策略是通過(guò)配對(duì)交易，同時(shí)做多或者做空價(jià)格波動(dòng)具有相關(guān)關(guān)系的股票，可以對(duì)沖掉大部分的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，從而獲得一個(gè)與大盤(pán)的走勢(shì)相關(guān)性比較低的收益，屬于市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)中性策略。在當(dāng)前我國(guó)A股市場(chǎng)上，由于投資者普遍采用的基本分析和技術(shù)分析具有很高的同質(zhì)性，導(dǎo)致獲取超額收益的難度不斷加大，而統(tǒng)計(jì)套利屬于量化的投資手段，針對(duì)股票價(jià)格序列波動(dòng)的錯(cuò)誤定價(jià)建立模型，發(fā)掘獲利的機(jī)會(huì)，在市場(chǎng)有效性程度不高的情況下，可以獲得更高的潛在收益。所以對(duì)統(tǒng)計(jì)套利策略的研究，具有較強(qiáng)的理論意義和實(shí)踐意義。

1 研究方法

本文設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)套利策略首先通過(guò)對(duì)能夠反映股票基本面信息的指標(biāo)對(duì)股票池中的股票進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)，獲得了在內(nèi)在價(jià)值方面相似度較高的股票對(duì)；然后針對(duì)股票價(jià)格序列波動(dòng)的可預(yù)測(cè)性再對(duì)這些股票組合進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，選擇具有協(xié)整關(guān)系的股票組合；最后通過(guò)構(gòu)建可行的交易系統(tǒng)計(jì)算累計(jì)收益率。

1.1 聚類(lèi)分析

實(shí)施統(tǒng)計(jì)套利策略的關(guān)鍵是通過(guò)一定的方法尋找到股票價(jià)格波動(dòng)存在高度相關(guān)的股票組合，然后對(duì)股票價(jià)格序列建立交易系統(tǒng)。為了能將選擇股票的基本面分析與量化手段聯(lián)系起來(lái)，本文對(duì)能反映一只股票價(jià)格波動(dòng)和內(nèi)在價(jià)值的指標(biāo)（一般投資者在選擇股票投資時(shí)主要參考的指標(biāo)），包括年化收益率（最近24個(gè)月），市盈率，換手率（%）及beta值等在內(nèi)的指標(biāo)進(jìn)行相似度分類(lèi)。

假設(shè)每個(gè)樣品有P個(gè)變量，則每個(gè)樣品都可以看成是P維空間的一個(gè)點(diǎn)，N個(gè)樣品就是P維空間的N個(gè)點(diǎn)，則樣品i與樣品j之間的距離記為dij。

（1）開(kāi)始時(shí)，每個(gè)樣本自成一類(lèi)，dij為其距離，設(shè)類(lèi)Gi與Gj之間的距離為Dpq，dij大于0。

（2）當(dāng)滿(mǎn)足Dpq=min dij，將類(lèi)Gp和 Gq合并成一個(gè)新類(lèi)，記為Gr，則新一類(lèi)Gk和Gr的距離是：

其中，Xi∈Gk,Xj∈Gr。

重復(fù)（1），（2）使元素合并成一個(gè)新類(lèi)，最終結(jié)果是，具有最小方差的兩個(gè)類(lèi)合并成一個(gè)大類(lèi)。

考慮到每只股票的各項(xiàng)指標(biāo)間較可能會(huì)存在一定的相關(guān)性，所以樣本間的聚類(lèi)采用馬氏距離：dij=,馬氏距離的優(yōu)點(diǎn)在于，既可以消除各指標(biāo)間的相關(guān)性干擾，又消除了各指標(biāo)的量綱。類(lèi)與類(lèi)之間的距離采用最小距離方法。由于本文采用聚類(lèi)分析主要是得到相互之間相似度比較高的兩只或幾只股票，而不是相似性比較高的股票組，所以只采用樹(shù)形聚類(lèi)圖的初次分類(lèi)結(jié)果。

1.2 協(xié)整檢驗(yàn)

在經(jīng)過(guò)聚類(lèi)分析得到基本面各指標(biāo)相關(guān)性較高的股票組合后，統(tǒng)計(jì)套利策略需要進(jìn)一步選出股價(jià)之間具有長(zhǎng)期穩(wěn)定協(xié)同性的股票組合。協(xié)整檢驗(yàn)方法能較好地檢驗(yàn)多個(gè)變量間長(zhǎng)期穩(wěn)定關(guān)系。協(xié)整可定義為：令xt=(x1t，x2t，…，xNt)'為N×1階列向量，其中每一個(gè)元素表示一個(gè)時(shí)間序列，如果xt每個(gè)分量的單整階數(shù)都是d，xjt～I(xiàn)(d)，j=1、2、… N，存在一個(gè)N ×1階列向量 β =(β1、β2、…βn)'，( β≠0)，使得 xtβ～ I(d-b)，則稱(chēng)x1t、x2t、…、xNt存在(d，b)階協(xié)整關(guān)系，表示為xt～ CI(d，b)。其中，β 稱(chēng)為協(xié)整向量，β的元素稱(chēng)為協(xié)整參數(shù)。

通過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)的股票對(duì)股價(jià)序列之間具有相關(guān)性，流動(dòng)性以及價(jià)格趨同性，股價(jià)變動(dòng)在長(zhǎng)期內(nèi)會(huì)恢復(fù)到其均衡值。此時(shí)可以假定證券市場(chǎng)為中性，協(xié)整選取的股票對(duì)具有與市場(chǎng)走勢(shì)無(wú)關(guān)，風(fēng)險(xiǎn)暴露低，波動(dòng)性小等優(yōu)點(diǎn)。

1.3 交易模型的構(gòu)建

本文采取的交易策略是成對(duì)交易。成對(duì)交易策略是指在買(mǎi)入股價(jià)相對(duì)低估的股票的同時(shí)，做空股價(jià)相對(duì)高估的股票。為了維持市場(chǎng)的中性頭寸，交易金額比例為1：1（Christian L.Dunis（2011），即買(mǎi)入1元的Y，賣(mài)出1元的X，或者賣(mài)出1元的Y，買(mǎi)進(jìn)1元的X，持有至均值回歸時(shí)行平倉(cāng)。

（1）計(jì)算兩只股票間的價(jià)差

Zt是t時(shí)刻股票X,Y的價(jià)差，PXt是股票X在時(shí)刻t的價(jià)格，PYt是股票Y在時(shí)刻t的價(jià)格，β是X，Y的協(xié)整系數(shù)。計(jì)算樣本外累計(jì)收益率時(shí)采用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)得到的協(xié)整系數(shù)。

（2）確定買(mǎi)入點(diǎn)，賣(mài)出點(diǎn)和止損位

由于無(wú)法得到真正的離差序列εt，通過(guò)通過(guò)殘差序列{et}來(lái)代替εt。通過(guò)OLS可以得到方程PYt=α+βˉ?PXt，由于 Zt=PYt- β ?PXt 等于回歸方程的常數(shù)項(xiàng)與殘差項(xiàng)之和，根據(jù)OLS估計(jì)的假設(shè)條件，殘差項(xiàng)的均值為0，所以對(duì)價(jià)差去中心化后的值就是回歸方程的殘差序列{et}。然后計(jì)算殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差σ。當(dāng)et≥0.75σ時(shí)，Y股票股價(jià)相對(duì)高估，買(mǎi)入1元的X，賣(mài)出1元的Y；當(dāng)et≤-0.75σ時(shí)，Y股價(jià)相對(duì)低估賣(mài)出1元的X，買(mǎi)入1元的Y；當(dāng)et值回到[-0.75σ,0.75σ]區(qū)間時(shí)，股價(jià)波動(dòng)均值回歸，進(jìn)行平倉(cāng)［6］。為了控制風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)價(jià)差超過(guò)2倍標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)進(jìn)行強(qiáng)制平倉(cāng)。計(jì)算樣本外累計(jì)收益率時(shí)，采用由樣本內(nèi)數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）計(jì)算累計(jì)收益率

在不考慮交易成本和融資費(fèi)用的情況下，對(duì)每一期的收益我們計(jì)算下：

其中，Ret是一次完整交易的收益；PXt是在t時(shí)刻做多的價(jià)格相對(duì)低估的股票在t時(shí)期的價(jià)格，PXt+1是t+1時(shí)期進(jìn)行平倉(cāng)時(shí)的價(jià)格；PYt是在t時(shí)刻做空的價(jià)格相對(duì)高估的股票在t時(shí)期的價(jià)格，PYt+1是t+1時(shí)期進(jìn)行平倉(cāng)時(shí)的價(jià)格。然后對(duì)每個(gè)股票對(duì)樣本周期內(nèi)的收益相加得到每只股票的累計(jì)收益率∑Re t。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源與樣本選取

本文選取地產(chǎn)、鋼鐵、煤電、銀行和汽車(chē)五個(gè)同質(zhì)性較高的行業(yè)做實(shí)證分析，共計(jì)30只股票，利用其2010年1月4日至2011年6月16日351個(gè)交易日數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源為巨靈數(shù)據(jù)庫(kù)。同質(zhì)性行業(yè)內(nèi)部經(jīng)營(yíng)方式相似度高，提供的產(chǎn)品或服務(wù)差異小，所以此類(lèi)行業(yè)中的企業(yè)的股票價(jià)格序列走勢(shì)更相似；而異質(zhì)股票對(duì)的協(xié)整關(guān)系會(huì)受到很多外生沖擊的影響，行業(yè)間差異就是一個(gè)主要的外生沖擊，其中包含不同行業(yè)在政策面、消息面乃至基本面上的差異難以在統(tǒng)計(jì)套利策略中避免。

為提高實(shí)證研究的現(xiàn)實(shí)意義與可操作性，針對(duì)中國(guó)A股市場(chǎng)現(xiàn)行的T+1交易制度，本文選取日交易數(shù)據(jù)，對(duì)2010年1月4日至2010年12月31日股票數(shù)據(jù)做系統(tǒng)聚類(lèi)分析和樣本內(nèi)檢驗(yàn)，但經(jīng)過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)并不能代表樣本外數(shù)據(jù)也具有同樣的特性，為了保證其可行性，選擇2011年1月4日至2011年6月16日數(shù)據(jù)做樣本外檢驗(yàn)計(jì)算累計(jì)收益率。

2.2 聚類(lèi)分析

（1）聚類(lèi)分析指標(biāo)選取

本文系統(tǒng)聚類(lèi)選取每股復(fù)權(quán)后日收盤(pán)價(jià)、年化收益率（最近24個(gè)月）、市盈率、市凈率，這些指標(biāo)反映了股票內(nèi)在價(jià)值；漲跌幅（%）、換手率（%）、beta值，這三個(gè)指標(biāo)反映了股票交易中的波動(dòng)及對(duì)市場(chǎng)的敏感程度。這些指標(biāo)可以綜合反映股票在長(zhǎng)期內(nèi)的價(jià)格波動(dòng)情況和價(jià)值回歸過(guò)程，保證了系統(tǒng)聚類(lèi)后的股票對(duì)具有良好的統(tǒng)計(jì)套利特性。

（2）系統(tǒng)聚類(lèi)結(jié)果分析

運(yùn)用SPSS軟件對(duì)韶鋼松山、武鋼股份、寶鋼股份、南鋼股份、鞍鋼股份、安陽(yáng)鋼鐵這六只股票（編號(hào)依次為1、2、3、4、5、6）2010年間面板數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)分析。系統(tǒng)聚類(lèi)分析中，樣本間的距離計(jì)算馬氏距離、小類(lèi)間距離以離差平方和法計(jì)算。首先對(duì)樣本數(shù)據(jù)作Z處理，即標(biāo)準(zhǔn)化，結(jié)果見(jiàn)表1：

表1 樣本系統(tǒng)聚類(lèi)中凝聚狀態(tài)

由表1可以看出，六只股票經(jīng)過(guò)四次聚類(lèi)歸為一個(gè)大類(lèi)，因?yàn)樗霉善睂?duì)較多，本文僅選取第一次聚類(lèi)所得股票對(duì)（韶鋼松山，鞍鋼股份）、（寶鋼股份，安陽(yáng)股份）作為以下分析對(duì)象。運(yùn)用類(lèi)似方法對(duì)其他四個(gè)行業(yè)內(nèi)股票進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)，聚類(lèi)所得股票對(duì)組合見(jiàn)表2。

表2 系統(tǒng)聚類(lèi)股票組合

銀行行業(yè) （工商銀行，中國(guó)銀行）、（招商銀行，交通銀行）

（3）聚類(lèi)效果的檢驗(yàn)

分別檢驗(yàn)經(jīng)過(guò)聚類(lèi)分析得到的股票組合價(jià)格序列的相關(guān)性和自成一類(lèi)股票配對(duì)組合價(jià)格序列相關(guān)性，結(jié)果分別見(jiàn)表3和表4：

表3 聚類(lèi)后股票組合相關(guān)系數(shù)

表4 自成一類(lèi)股票對(duì)相關(guān)系數(shù)

通過(guò)表3、表4分析得到，同行業(yè)中經(jīng)過(guò)聚類(lèi)分析的屬于同一類(lèi)的股票組合的相關(guān)系數(shù)高于兩只自成一類(lèi)的股票的相關(guān)系數(shù)，聚類(lèi)分析起到了優(yōu)化股票篩選模型的作用。

2.3 協(xié)整檢驗(yàn)

首先用EViews軟件對(duì)韶鋼松山和鞍鋼股份兩只股票股價(jià)序列做ADF檢驗(yàn)。結(jié)果顯示：韶鋼松山和鞍鋼股股價(jià)序列未差分前ADF統(tǒng)計(jì)量分別為-2.668066和-3.451028，而在1%的顯著性水平下臨界值為-3.4592，故在1%的水平下均為非平穩(wěn)序列；取一階差分后ADF統(tǒng)計(jì)量分別為-9.652866和-8.330887，在5%的顯著性水平下小于臨界值-2.8738，故韶鋼松山和鞍鋼股份股價(jià)序列均為一階單整的，即它們?cè)谝浑A差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。

為了分析韶鋼松山股價(jià)（Xt）和鞍鋼股份股價(jià)(Yt)之間是否存在協(xié)整關(guān)系，先做兩變量的回歸，然后檢驗(yàn)回歸殘差的平穩(wěn)性。以鞍鋼股份股價(jià)（Yt）做被解釋變量，韶鋼松山股價(jià)（Xt）為解釋變量，設(shè)定回歸模型Yt=α+β*Xt+et，OLS估計(jì)結(jié)果如表3所示：

表5 回歸結(jié)果

在回歸結(jié)果中得到回歸系數(shù)β的t值為64.77529，大于在0.05的顯著性水平下的臨界值t0.025(240)=1.960，回歸系數(shù)β通過(guò)顯著性檢驗(yàn)；在0.01的顯著性水平下F分布臨界值為 F(1,241)=6.63，F(xiàn)=4195.838＞F(1,241)，說(shuō)明回歸方程顯著。因此得回歸方程為Yt=-5.048112+1.101227*Xt+et,回歸過(guò)程中 EViews會(huì)生成回歸殘差序列{et}，為檢驗(yàn)Xt與Yt間長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系，對(duì)殘差序列{et}進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，由于殘差序列均值為0，所以選擇無(wú)截距項(xiàng)、無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)ADF檢驗(yàn)，ADF統(tǒng)計(jì)量-4.017843小于在5%顯著性水平下的臨界值-1.9410，表明殘差序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列，說(shuō)明韶鋼松山股價(jià)（Xt）和鞍鋼股份股價(jià)(Yt)之間存在協(xié)整關(guān)系。

同時(shí)對(duì)鋼鐵行業(yè)另一對(duì)股票寶鋼股份和安陽(yáng)股份股價(jià)進(jìn)行ADF檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)寶鋼股份和安陽(yáng)股份股價(jià)在未差分前均為非平穩(wěn)數(shù)列，在一階差分后平穩(wěn)，對(duì)這兩只股票做如上回歸，得OLS估計(jì)殘差序列ADF統(tǒng)計(jì)量為-1.203757，大于在5%的顯著性水平下的臨界值-1.9410，故殘差序列仍為非平穩(wěn)序列，說(shuō)明寶鋼股份和安陽(yáng)股份股價(jià)之間不存在協(xié)整關(guān)系。同理對(duì)聚類(lèi)得到的其他四個(gè)行業(yè)內(nèi)股票對(duì)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)和協(xié)整分析，得到具有協(xié)整關(guān)系的股票組合與殘差序列標(biāo)準(zhǔn)差列于表6：

表6 協(xié)整關(guān)系股票組合殘差序列標(biāo)準(zhǔn)

2.4 模擬交易結(jié)果

按照前文提出的交易模型，我們計(jì)算了樣本外時(shí)期，即2011年1月4日至2011年6月16日期間，在樣本內(nèi)同行業(yè)內(nèi)通過(guò)實(shí)證檢驗(yàn)具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)和不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)的累計(jì)收益率。

表7 無(wú)協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)樣本外累計(jì)收益率

表8 協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)樣本外累計(jì)收益率

表7列示了不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)樣本外累計(jì)收益率，表8列示了具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)的樣本外累計(jì)收益率。

通過(guò)對(duì)上述表7和表8的分析可以得到，相對(duì)于不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)，具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)在半年內(nèi)的累計(jì)收益明顯偏高，交易機(jī)會(huì)較多，收益最高的是中潤(rùn)投資和中茵股份組合收益高達(dá)58%，交易機(jī)會(huì)最多的是萬(wàn)科和保利組合，高達(dá)19次。在每次交易中，不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)虧損的次數(shù)在總交易次數(shù)的比重較大，分別為33%，37.5%，45%，20%，累積的虧損額分別為1.6%，20.6%，6.5%，7.4%；而具有協(xié)整關(guān)系的股票組合虧損的次數(shù)在總交易次數(shù)的比重相對(duì)較小，分別為25%，10.5%，14.3%，12.5%，28.6%，17%，6%，說(shuō)明具有協(xié)整關(guān)系的股票組合波動(dòng)較小，收益相對(duì)穩(wěn)定。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，不同的行業(yè)，收益也是不一樣的：地產(chǎn)股組合收益最高，分別為58%，33.92%，20%；收益比較穩(wěn)定的是銀行股，虧損的次數(shù)少，虧損率較低；收益比較差的是煤電行業(yè)的股票。

3 結(jié)論

（1）統(tǒng)計(jì)套利可以較好地捕捉同行業(yè)高度相關(guān)的兩只股票持續(xù)穩(wěn)定的價(jià)格變化，并利用動(dòng)態(tài)的價(jià)格偏離贏得交易機(jī)會(huì)。

（2）具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)相對(duì)于不具有協(xié)整關(guān)系的股票對(duì)具有更穩(wěn)定和更高的收益，而且由于行業(yè)屬性不同，各行業(yè)間統(tǒng)計(jì)套利策略實(shí)施結(jié)果呈現(xiàn)差異性和特殊性。

（3）統(tǒng)計(jì)套利策略在我國(guó)A股市場(chǎng)具有可操作性。目前融資融券業(yè)務(wù)和股指期貨在我國(guó)已經(jīng)推出，為投資者選擇統(tǒng)計(jì)套利策略提供了所必須的市場(chǎng)條件，統(tǒng)計(jì)套利策略將有廣闊的發(fā)展空間。

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