傾斜荷載下基樁P-Δ效應等效剪力有限元迭代法研究

李微哲

（中煤科工集團重慶設(shè)計研究院，重慶 400016）

傾斜荷載下基樁P-Δ效應等效剪力有限元迭代法研究

李微哲

（中煤科工集團重慶設(shè)計研究院，重慶 400016）

假定樁身位移為三次冪函數(shù)，結(jié)合傾斜偏心荷載下單樁受力微分方程確定的樁身彎矩、剪力與樁身水平位移關(guān)系，在此基礎(chǔ)上引入等效剪力增量概念，提出了基樁P-Δ效應的等效剪力有限元迭代法，相應編制了Matlab分析程序，并結(jié)合算例對成層地基中傾斜偏心荷載、樁自重、水平分布荷載、豎向分布荷載和豎向荷載綜合作用下基樁內(nèi)力位移進行了分析。結(jié)果表明：等效剪力有限元迭代法用于傾斜荷載下基樁P-Δ效應計算分析是有效的；當墩身較高時，墩身傾斜、墩頂偏心彎矩、水平力等對基樁產(chǎn)生的P-Δ效應顯著。

樁基礎(chǔ)；傾斜荷載；等效剪力有限元迭代法；P-Δ效應

在傾斜偏心荷載下，不僅其水平分力和偏心矩將使樁身產(chǎn)生較大內(nèi)力和位移，豎向分力也將因樁身撓曲變形而產(chǎn)生附加彎矩，即所謂的P-Δ效應。

P-Δ效應在工程中備受關(guān)注。從上世紀50年代以來國際著名學者Meyerhof對傾斜荷載下基樁承載力性能進行了大量的室內(nèi)模型試驗研究，提出了傾斜偏心荷載下單樁承載力計算的半經(jīng)驗公式，然而傾斜荷載下計入P-Δ效應的基樁內(nèi)力及位移分析研究不多［1-5］。隨后，國內(nèi)外學者對計入P-Δ的基樁內(nèi)力及位移分析做了大量研究工作。70年代橫山幸滿給出了地基系數(shù)為常數(shù)時的冪級數(shù)解析解［6］；趙明華等給出了地基系數(shù)m法假定的冪級數(shù)解析解，提出了有限元－有限層法、引入加權(quán)剛度的改進有限元－有限層方法［7-10］；筆者給出了地基系數(shù)滿足（mz+C）的線性增長規(guī)律時的冪級數(shù)解析解［11］。

但在計算機普及的時代，探討計入P-Δ效應的基樁內(nèi)力及位移分析有限元法，有重要的實際意義。為此提出了等效剪力有限元迭代法，進行傾斜荷載下基樁計算分析研究，以進一步探討計入P-Δ效應的基樁受力特性。

1 等效剪力有限元迭代法

1.1 考慮P-Δ效應的單元平衡方程

對傾斜偏心荷載下基樁微元體進行受力分析（見圖1），彎矩以樁身左側(cè)受拉為正、剪力以構(gòu)成順時針力矩為正、位移向右為正、樁側(cè)土壓力右側(cè)受壓為正，從樁段中取出一微元體對下端點取矩得彎矩平衡方程如下

式中：P(z)為軸力；Q為剪力；M為彎矩；dM為剪力增量；dz為基樁微元體長度；q為側(cè)向均布荷載。

對式（1）進行簡化可得

式中：dv為樁段單元水平位移差。

1.2 模擬附加彎矩的等效剪力

1.3 基樁P-Δ效應過程模式假定

如圖2，假定單樁頂作用有水平力FQ和豎向力Fz，不考慮P-Δ效應時，樁身將發(fā)生水平位移，節(jié)點i初始位移為Vi0，所有節(jié)點的位移列陣記為V0。所有水平力和彎矩構(gòu)成的節(jié)點荷載列陣記為Q0。則有

式中：K為初始剛度矩陣；k為節(jié)點約束等效彈簧剛度矩陣；V0為初始位移列陣；Q0為初始荷載列陣。

此時豎向力Fz因樁身發(fā)生的初始水平位移而產(chǎn)生附加彎矩，假定節(jié)點i、節(jié)點i+1處的等效剪力增量為Qi1，Q(i+1)1計算如下

式中：Qi1為i點第一次等效剪力增量；Q(i+1)1為第i+1點第一次等效剪力增量；Fzi，F(xiàn)z(i+1)分別為i點和i+1點的豎向力。

將第一次等效剪力增量Q11，Q21，…，Qi1，Q(i+1)1記為Q1。在Q1作用下，樁身繼續(xù)發(fā)生變形，將此時的位移增量記為V1。豎向力Fz因變形增量V1將繼續(xù)產(chǎn)生附加彎矩，設(shè)此時節(jié)點i、節(jié)點i+1處的等效剪力增量為Qi2，Q(i+1)2，計算如下

式中：Qi2為i點第二次等效剪力增量；Q(i+1)2為第i+1點第二次等效剪力增量；Vi1，V(i+1)1分別為等效剪力Q1作用下i點、i+1的水平位移增量。

將第n次等效剪力增量Q1n，Q2n，…，Qin，Q(i+1)n作用下，樁身的位移增量為V1n，V2n，…，Vin，V(i+1)n。此時豎向力Fz因變形增量產(chǎn)生附加彎矩，則節(jié)點i、節(jié)點i+1處的等效剪力增量Qin+1，Q(i+1)n+1計算如下

圖1 桿單元受力分析示意圖Fig.1 Force analysis of pole unit

圖2 基樁P-Δ效應過程模簡圖Fig.2 Process simulation of P-Δ effect of pile

將第二次等效剪力增量Q12，Q22，…，Qi2，Q(i+1)2記為Q2。等效剪力增Q2產(chǎn)生的位移增量為V2，第n次等效剪力增量Q1n，Q2n，…，Qin，Q(i+1)n記為Qn，等效剪力增量Qn產(chǎn)生的位移增量為Vn。則

則當n足夠大時，計入P-Δ效應的基樁彎矩和位移計算如下

1.4 豎直樁等效剪力有限元迭代分析步驟

在基樁無傾斜時，傾斜荷載作用下考慮P-Δ效應的等效剪力有限元法分析步驟如下：

1劃分單元并計算單元所受豎向荷載、水平荷載、單元節(jié)點對應的地基系數(shù)；計算初始荷載列陣Q0、初始剛度矩陣K、節(jié)點約束等效彈簧剛度矩陣k。2按式（3）計算基樁初始水平位移V0。3按照式（6）和式（7）計算豎向荷載因初始位移產(chǎn)生的等效剪力增量Q1，并按式（12）計算位移增量V1。4按式（8），重復n次，計算等效剪力增量Q2，…，Qn，按式（12）計算位移增量V2，…，Vn。5當Vn足夠小，滿足工程精度要求時，即停止迭代計算。6按照式（13）和式（14）計算彎矩和位移。7計算樁側(cè)土壓力。8繪制樁身內(nèi)力位移圖和樁側(cè)土壓力圖。

設(shè)地基系數(shù)滿足m法假定或(mz+C)線形增長規(guī)律，m為比例系數(shù)，z為計算分析截面至土層頂面的距離；C為地基分項系數(shù)。則土層頂面以下z處發(fā)生x水平位移對應樁側(cè)土壓力為

1.5 微傾斜樁等效剪力有限元迭代分析步驟

當基樁有略微傾斜時，則需要對初始荷載列陣F0進行修正，具體步驟如下：

1劃分單元并計算單元所受豎向荷載、水平荷載、單元節(jié)點對應的地基系數(shù)；計算初始荷載列陣Q0、初始剛度矩陣K、節(jié)點約束等效彈簧剛度矩陣k。修正初始荷載列陣，即將豎向力因樁身微傾斜產(chǎn)生的等效剪力增量Q02直接計入初始荷載列陣，則修正后的初始荷載列陣為

2按式（5）計算基樁初始水平位移V0。3按照式（6）和式（7）計算豎向荷載因初始位移產(chǎn)生的附加彎矩M1，并按式（12）計算位移增量V1。 4 按式（10），重復n次，計算附加彎矩M2，…，Mn，按式（12）計算位移增量V2，…，Vn。5當Vn足夠小，滿足工程精度要求時，即停止停止迭代計算。6按照式（13）和式（14）計算彎矩和位移。7按式（15）計算樁側(cè)土壓力。8繪制樁身內(nèi)力位移圖和樁側(cè)土壓力圖。

2 算例分析

2.1 豎直基樁算例分析

某橋梁基樁，沖刷線以上樁長30.212 m，其中l(wèi)1=8.012 m，d1=1.8 m，E1=1.933 3×104MPa；l2=22.2 m，d2=1.8 m，E2=1.8×104MPa；沖刷線以下樁長l3=42.8 m，d3=1.8 m，E3=1.8×104MPa；地基比例系數(shù)m=10 000 kN·m-3，豎向荷載Fz=9 102.2 kN，水平荷載Fx=165 kN。按本文等效彎矩迭代有限元法自編Mat?lab程序計算結(jié)果和文獻［7，12］結(jié)果對比如表1。

表1 不同方法計算結(jié)果比較Tab.1 Comparison of calculating results with different methods

由表1可知，本文方法計算得到的樁頂位移、地面處位移、最大彎矩及最大剪力與文獻［7，12］計算結(jié)果基本一致，驗證了本文方法計算豎直基樁P-Δ效應基本正確。

2.2 微傾斜基樁算例分析

基樁基本參數(shù)如2.1節(jié)所述，當樁身傾斜角θ=0.005時，文獻［11］和本文計算分析結(jié)果如表2所示。

表2 不同方法計算解答比較Tab.2 Comparison of calculation with different methods

由表2可知，本文方法計算得到的樁頂位移、地面處位移、最大彎矩及最大剪力與文獻［11］計算結(jié)果基本一致，驗證了本文方法計算微傾斜基樁P-Δ效應基本正確。

3 結(jié)語

通過對基樁P-Δ效應產(chǎn)生機理研究，基于等效剪力概念，提出了等效剪力有限元迭代法，并編制了相應的有限單元Matlab分析程序，主要結(jié)論如下：

1）等效剪力有限元迭代法可用于計算豎直基樁在傾斜荷載下的P-Δ效應。

2）等效剪力有限元迭代法可用于計算微傾斜基樁在傾斜荷載下的P-Δ效應。

3）算例分析表明，當基樁地面以上較長、剛度較柔時，P-Δ效應顯著，不可忽略。

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［9］趙明華，鄔寶林，曹文貴.傾斜荷載下群樁有限元分析方法探討［J］.中南公路工程，2003，28（2）：8-14.

［10］趙明華，鄒新軍，鄒銀生，等.傾斜荷載下基樁的改進有限元－有限層分析方法［J］.工程力學，2004，21（3）：129-13.

［11］李微哲，趙明華，單遠銘，等.傾斜偏心荷載下基樁內(nèi)力位移分析［J］.中南公路工程，2005，30（3）：53-57.

［12］趙明華，李微哲，曹文貴.復雜荷載及邊界條件下基樁有限桿單元方法研究［J］.巖土工程學報，2006，28（9）：1059-1063.

Equivalent-shear Finite Element-iterative Method of P-Δ Effect of Pile under Inclined Loads

Li Weizhe
（Chongqing Design and Research Institute，China Coal Technology Engineering Groups，Chongqing 400016，China）

It is assumed that horizontal displacement of pile has a longitudinally cubic power function，and equivalent-shear finite element-iterative method which can analyze the P-Δ effect of piles under inclined and eccentric loads，is derived in the paper.And Matlab process of equivalent-shear finite element-iterative method is edited.Case analysis is done in the paper for displacement and stress calculation of pile under inclined and eccentric loads，moment，pile gravity，horizontal distributed loads，vertical distributed loads，scattering vertical forces and soil-pile friction.Finally conclusions are drawn as follows：equivalent-shear finite element-iterative method is proved to be an effective method for P-Δ effect analysis of piles under complex loads；P-Δ effect is notable while piers are high.

pile foundation；inclined loads；equivalent-shear finite element-iterative method；P-Δ effect

U442

A

2011-02-24

李微哲（1981－），男，碩士，研究方向為橋梁結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)工程計算分析研究。

1005-0523（2012）03-0031-05