LM-積分收斂定理的推廣

李 偉

(集美大學(xué) 理學(xué)院,福建 廈門(mén) 361021)

1902年在測(cè)度理論基礎(chǔ)上建立了Lebesgue積分(簡(jiǎn)稱(chēng)L-積分)[1].但它的建立是非黎曼型的，而且并非Riemann積分的全部推廣.1973年E.J.Mcshane建立一種積分，人們稱(chēng)之為Mcshane積分(簡(jiǎn)稱(chēng)M-積分)[2]，它是黎曼型的，無(wú)需用到測(cè)度理論，并證明了它等價(jià)于經(jīng)典的Lebesgue積分.為了便于闡述，本文不妨用LM-積分來(lái)統(tǒng)稱(chēng)它們.本文首先給出有關(guān)聯(lián)性的若干定義，并分析了相關(guān)的意義，然后給出文獻(xiàn)[3]定理1的簡(jiǎn)化證明，并證明了LM-收斂定理，它推廣了Lebesgue收斂定理.

1 預(yù)備知識(shí)

可見(jiàn)R-積分定義中要求兩個(gè)“無(wú)關(guān)性”，即“與分割T無(wú)關(guān)”、“與ξi∈[xi-1,xi]的選取無(wú)關(guān)”，才能保證積分的“確定性”和“唯一性”.如果在保證黎曼和的極限惟一性的條件下，適當(dāng)減弱兩個(gè)“無(wú)關(guān)性”來(lái)定義積分，則有可能擴(kuò)大可積范圍.事實(shí)證明這個(gè)目的可通過(guò)多種途徑達(dá)到.例如，下面介紹的R.Henstock 所用的方法[4].為了保證黎曼和的極限的惟一性，粗略看來(lái)，就是希望對(duì)ξi∈[xi-1,xi]，|∑f(ξi)(xi-xi-1)-A|要任意小.這個(gè)要求對(duì)某些[xi-1,xi]中的x，只要函數(shù)值變化不大，上述絕對(duì)值相應(yīng)變化不大；但若在[xi-1,xi]中函數(shù)值變化較大時(shí)，相應(yīng)會(huì)使上述絕對(duì)值有較大的變動(dòng)，甚至難于保持任意小.因此一律要求[xi-1,xi]的長(zhǎng)度小于固定的常數(shù)δ，會(huì)使可積函數(shù)范圍變窄.為了避免這種情況，一種想法是使ξi與[xi-1,xi]相適應(yīng)，因地制宜選擇δ，即使δ與ξi有關(guān)，亦即視δ為ξi的函數(shù)，由此達(dá)到要求的目的.

定義2 設(shè)δ(x)為[a,b]上的正值函數(shù)，所謂[a,b]上的分法D是δ-精細(xì)的，是指有序分點(diǎn)：a=x0

可見(jiàn)[a,b]上的δ-精細(xì)分法D是區(qū)間[xi-1,xi]與ξi組成的偶對(duì){([xi-1,xi],ξi),i=1,2,…,n}，常簡(jiǎn)記分法D={([U,V],ξ)}，滿(mǎn)足:ξ∈[u,v]?(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ)).

其中[u,v]為分法D的典型區(qū)間.如果ξ?[a,b]，而不要求ξ?[u,v]，即滿(mǎn)足[u,v]?(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))，則稱(chēng)這種分法為δ-精細(xì)M-分法[2].

但是這種分法先是在[a,b]上取ξ，然后考慮{(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))}對(duì)[a,b]的開(kāi)覆蓋.由Heine-Borel有限覆蓋定理[1]，可取出有限個(gè)(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))覆蓋[a,b]，再在每相鄰的兩個(gè)開(kāi)覆蓋的公共部分中取一點(diǎn)作分點(diǎn)，a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)，再?gòu)腶到b這些有限個(gè)點(diǎn)依次排列為：a=x0

定義3[5]一個(gè)數(shù)A叫做函數(shù)f(x)從a到b(或[a,b]上)的R-積分，如果?ε>0，?δ(x)=δ>0，使得對(duì)[a,b]上任意的δ-精細(xì)分法D={([u,v],ξ)}，有：|(D)∑f(ξ)(v-u)-A|<ε.

Mcshane在1973年已證明了M-積分等價(jià)于L-積分[2]，并且M-積分包含在KH-積分里面[6].

定義5 設(shè)f(x)定義于[a,b]，?t?[a,b]，若?ε>0，?δ(x)>0，?[r,s]?(t-δ(t),t+δ(t))，[r,s]?[a,b].對(duì)[r,s]上任何δ-精細(xì)M-分法D={([u,v],ξ)}，有:|(D)∑f(ξ)(v-u)|<ε.

則稱(chēng)f(x)在[a,b]上具局部小黎曼和性質(zhì)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)SRS.又設(shè){fn}為[a,b]上的函數(shù)列，若上述等式對(duì)所有n成立，即對(duì)任意的自然數(shù)n，都有:|(D)∑fn(ξ)(v-u)|<ε,則稱(chēng)fn在[a,b]上具一致局部小黎曼和性質(zhì)，簡(jiǎn)記為ULSRS[7].若上述對(duì)[r,s]所作的分法為δ-精細(xì)分法，其他的不變，則稱(chēng)f(x)在[a,b]上具LSRS*性質(zhì)和fn(x)在[a,b]上具ULSRS*性質(zhì)[6].

為了給出積分的收斂定理，首先看一個(gè)例子.

則每個(gè)fn(x)在[0,1]上為L(zhǎng)-可積，但其極限函數(shù):

不為L(zhǎng)-可積，這說(shuō)明L-積分對(duì)極限運(yùn)算并不封閉.由文獻(xiàn)[1]知，在一定條件下，L-積分有較好的收斂定理，即L-控制收斂定理和Vitali收斂定理，但前者即為后者的推論[1].

2 定理及其推廣

定理1 設(shè):1)fn(x)→f(x)于[a,b]；2)fn(x)在[a,b]上為等度KH-可積,

則：fn(x)在[a,b]上具ULSRS*性質(zhì).

定理1的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[7] .下面給出文獻(xiàn)[3]中定理1的簡(jiǎn)化證明.

定理2 設(shè):1)fn(x)→f(x)a.e.于[a,b]；2)每個(gè)fn在[a,b]上L-可積；

(注：定理2的條件為L(zhǎng)-積分收斂定理?xiàng)l件[1])

證明記:X={x|fn(x)→f(x)}，則|X|=0(|X|表X的外測(cè)度，下同).

令：

(D2)∑|f*(ξ)(v-u)-F(u,v)|+(D2)∑|F(v-u)-Fn(u,v)|<

2ε+ε(b-a)+2ε+ε=ε(b-a+5).

由于M-積分與L-積分等價(jià)，那么LM-積分的收斂定理可作如下推廣.

定理3 設(shè)f(x)為定義于[a,b]上的實(shí)函數(shù)，滿(mǎn)足：

1)fn(x)→f(x)a.e.于[a,b]；2)fn(x)在[a,b]上等度M-可積；

3)fn(x)在[a,b]上具ULSRS性質(zhì)，則f(x)在[a,b]上為M-可積，且：

證明記:X={x|fn(x)→f(x),x∈[a,b]}，則|X|=0.

令：

由條件2)和3)可確定共同的δ(x)>0，對(duì)[a,b]上任作δ-精細(xì)M-分法D和D′，對(duì)每個(gè)n，有：

2ε+8ε+8ε=18ε.

從而由文獻(xiàn)[6]的等度收斂定理，得知結(jié)論成立.證畢.

[1] 江澤堅(jiān)，吳智泉.實(shí)變函數(shù)論[M].北京：人民教育出版社，1961：59-75.

[2] Mcshane E J.A unified theory of integration[J].Amer Math Monthly,1973，8：36-39.

[3] 李偉.Mcshane積分的LSRS收斂定理的新擴(kuò)展[J].集美大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，14(2)：195-197.

[4] Henstock R.Lectures on the theory integration[M].World Scientific，1988：15-16.

[5] 丁傳松，李秉彝.廣義黎曼積分[M].北京：科學(xué)出版社，1989：5-8.

[6] Lee P. Y.Lanzhou Lectures on Henstock Integration[M].World Scientific，1989：15-28.

[7] Xu Dong Fu.The LSRS Porperty and the Convergence Theorem of Henstock-Kurzweil Integral[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):英文版：1997,17(4)：443-448.