在某些限定條件下的敏感性問題

曾眺英,呂 杰

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

在某些限定條件下的敏感性問題

曾眺英,呂 杰*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

探討了拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)在對(duì)軌道時(shí)間集和歷經(jīng)集附加某些限定條件下的敏感性問題,給出了有關(guān)此類敏感性的幾個(gè)基本性質(zhì).

-n-初值敏感;初值敏感集;傳遞點(diǎn)

稱(X,T)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱動(dòng)力系統(tǒng)或系統(tǒng)),其中X是一個(gè)緊致度量空間,T:X→X是一個(gè)連續(xù)映射.設(shè)d表示度量空間X的度量.

min{d(Tmxi,Tmxj):1≤i≠j≤n}≥ε.

這樣的ε>0稱為系統(tǒng)(X,T)的一個(gè)n初值敏感常數(shù)[2].

設(shè)(X,T)為動(dòng)力系統(tǒng),由文獻(xiàn)[3]，?n≥2,令

Δn:{x1,…,xn}為一個(gè)S-集}.

1 預(yù)備知識(shí)

κ={F:+F}={F:F∩F′≠,

).

定義

定義1?,對(duì)取定的自然數(shù)n≥2,系統(tǒng)(X,T)稱為-n-初值敏感的是指,存在ε>0,使得對(duì)任意非空開集U均存在n個(gè)互異的點(diǎn)x1,x2,…,xnU滿足

這樣的ε>0稱為系統(tǒng)(X,T)的一個(gè)-n-初值敏感常數(shù).

假設(shè)(X,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),?,定義

我們稱X的子集w為x相對(duì)于的ω極限集.由定義可知yω(x,T)當(dāng)且僅當(dāng)N(x,U)對(duì)于y的任何鄰域U成立.稱點(diǎn)xX為一個(gè)-傳遞點(diǎn),如果ω(x,T)=X.稱xX為一個(gè)回復(fù)點(diǎn),如果xω(x,T)[6].

易見,若x是動(dòng)力系統(tǒng)(X,T)的-傳遞點(diǎn),那么集合

是Xn的稠密子集;若T是開映射,是濾子,則Wn的每一個(gè)元素都是-回復(fù)的,此時(shí)Xn中所有-回復(fù)點(diǎn)所組成的集合也是稠密的.

定理1 設(shè)(X,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),T為開映射,是濾子并且是左平移不變的,-傳遞點(diǎn)集非空,n≥2是正整數(shù).若(X,T)為n-初值敏感,那么.此外,若(X,T)為極小系統(tǒng),且Qn(X,T)Δ(n)≠,那么(X,T)為-n-初值敏感的.

如果(X,T)為極小系統(tǒng),假設(shè)Qn(X,T)Δ(n)≠,且(x1,x2,…,xn)Qn(X,T)Δ(n).因?yàn)辄c(diǎn)x1,x2,…,xn互不相同,故存在點(diǎn)xi的兩兩不交的閉鄰域Ai(i=1,…,n).令δ=min{d(Ai,Aj):i≠j}.

且有

因此(X,T)是-n-初值敏感的.

引理1[5]設(shè)(X,T)為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng).族與系統(tǒng)(X,T)兼容當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于X中的任意非空閉集V,κ(V)是Fσ集.

下文將用到如下記號(hào):

i≠j,使得d(xi,xj)≤ε};

C為一個(gè)集合}.

定理2 (X,T)為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),如果是濾子對(duì)偶,且與系統(tǒng)(Xn,T(n))兼容.則對(duì)于

(1)存在ε>0,使得是Xn中的稠密集；

(2)存在ε>0,使得κ是Xn中的第一范疇集；

(3)(X,T)是-n-初值敏感的;

有(1)?(2)?(3)?(4).

證明(1)?(2):由Baire定理可知(1)等價(jià)(2).

κ()(x1,…,xn-1)=Cn(x1,…,xn-1).

κ?κ([A1]δ×…×[An]δ)?

κ([A1]δ)×…×κ([An]δ),

則κ是Xn中的稠密集.如果是滿族,則κ?,那么也是Xn中的稠密集.由定理2,動(dòng)力系統(tǒng)(X,T)是-n-初值敏感的.

命題1 若是滿族,則(∑N,σ)(N≥2)是-n-初值敏感的.

3 相對(duì)于集合K的初值敏感

定義2?,設(shè)(X,T)為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),K為X的子集且滿足Card(K)≥2.稱系統(tǒng)(X,T)是相對(duì)于集合K為初值敏感的是指,對(duì)任意的(x1,…,xn)KnΔn,均有L(x1,…,xn)=X成立,即對(duì)點(diǎn)xi的任意鄰域Ui及任意yX和y的鄰域U,存在U滿足:{k+:Tk()Ui,1≤i≤n}成立.這樣的集合K稱為是一個(gè)初值敏感集或-S-集.

對(duì)任意n≥2,令

定義3[3]集合S?X稱為是局部proximal集(或Q集)是指對(duì)任意的n≥2及任意點(diǎn)串(x1,…,xn)Sn,均有(x1,…,xn)Qn(X,T).

定義4?,集合S?X稱為是局部proximal集(或-Q-集)是指對(duì)任意的n≥2及任意點(diǎn)串(x1,…,xn)Sn,均有(x1,…,xn)).

定理4 設(shè)(X,T)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),T為開映射,是濾子并且是左平移不變的,-傳遞點(diǎn)集非空,則任一S-集必為-Q-集.而且當(dāng)(X,T)為極小系統(tǒng)時(shí),任一Q-集必為-S-集.

命題2 系統(tǒng)(X,T)的-傳遞點(diǎn)集是稠密的Gδ集,如果(X,T)是-n-初值敏感的(n≥2),那么.

證明設(shè)(X,T)是-n-初值敏感的.設(shè)點(diǎn)xTrans(X,T),Um為點(diǎn)x的開鄰域且滿足對(duì)任意的m,diam(Um)<1/m.于是由定義知存在ε>0使得對(duì)任意的自然數(shù)m,存在Um,滿足:

[1] GUCKENHEIMER J.Sensitive dependence on initial conditions for one-dimensional maps[J].Comm Math Phys,1979,70:133-160.

[2] XIONG J.Chaos in topological transitive systems[J].Science in China:Ser A,2005,48(7):929-939.

[3] 張瑞豐.動(dòng)力系統(tǒng)初值敏感性,序列熵及相關(guān)問題的研究[D].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),2008.

[4] AKING E.Recurrence in topoligical dynamical systems,furstenberg families and ellis actions[M].New York:Plnum press,1997.

[5] XIONG Jincheng,Lü Jie,TAN Feng.Furstenberg families and chaos[J].Science in China:Ser A,2007,50(9):1325-1333.

[6] SHAO S.Proximity and distality via Furstenberg families[J].Topology and its Applications,2006,153:2055-2072.

Keywords：-n-sensitivity;sensitivity set;transitive point

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THESENSITIVITYQUESTIONUNDERSOMERESTRAINEDCONDITIONS

ZENG Tiaoying, Lü Jie*

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

An important topic of dynamical complexity is the sensitivity.Under some conditions which include especial restrictions on orbit’s time set and visiting set，the sensitivity of topological dynamical system is investigated,and several properties concerning this sensitivity are obtained.

2010-04-27

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10771079);廣州市教育局市屬高校科技計(jì)劃項(xiàng)目(08C016)

*通訊作者,ljie@scnu.edu.cn

1000-5463(2011)02-0038-05

O192

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