模糊理論在實物期權(quán)定價方法中應(yīng)用的理論研究

郭 倩,王雪青

(天津大學(xué)管理學(xué)院,天津 300072)

模糊理論在實物期權(quán)定價方法中應(yīng)用的理論研究

郭 倩,王雪青

(天津大學(xué)管理學(xué)院,天津 300072)

期權(quán)定價模型的應(yīng)用日益成為各種投資項目價值評估的手段。然而定價模型中所需的幾個重要參數(shù)的確定往往只能依靠決策者的主觀估計,這一確定過程的主觀性,必然導(dǎo)致運用期權(quán)定價模型對投資項目定價的不準(zhǔn)確。鑒于此,文章在梳理實物期權(quán)有關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,對期權(quán)定價方法進(jìn)行歸納分類,并進(jìn)一步找出其在實際應(yīng)用中的限制,提出應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法修正實物期權(quán)投資模型的理論優(yōu)勢。

實物期權(quán);模糊理論;期權(quán)定價方法

一、引 言

實物期權(quán)的定價問題是一個非常復(fù)雜的問題,其困難在于我們必須先知道標(biāo)的資產(chǎn)變化行為的一些統(tǒng)計參數(shù),在這些參數(shù)已知,如無風(fēng)險利率及資產(chǎn)收益波動性固定的情況下,才能準(zhǔn)確對其進(jìn)行價值評估。當(dāng)這些參數(shù)非固定常數(shù)且期權(quán)非歐式時,則B-S評價公式便常常處于無用武之地,進(jìn)而研究者通過后續(xù)的相關(guān)研究,提出了許多數(shù)值分析法來解決。過去以B-S期權(quán)定價模型為主的算法,不論是其修正模型或近似模型,雖然都有其適用性及不錯的評價績效,但大多數(shù)模型均是假設(shè)在模型的結(jié)構(gòu)信息已知下求解。在這樣的前提下,許多問題便應(yīng)運而生,如當(dāng)真實體系的結(jié)構(gòu)信息未知或不明確,亦或政治結(jié)構(gòu)與市場環(huán)境變得復(fù)雜時,甚至出現(xiàn)有所謂的結(jié)構(gòu)改變時,而貿(mào)然地以某種特定模型來對事實描述,不論其模型結(jié)構(gòu)有多完美,均難以描述真實體系的變化行為。因此,考慮應(yīng)用某一些無特定結(jié)構(gòu)信息的假設(shè)而以資料驅(qū)動型的方法來描述非線性的期權(quán)價格實有絕對的必要。本研究主要目的在于針對實物期權(quán)定價方法在實際應(yīng)用中的主要限制,修正標(biāo)的資產(chǎn)收益波動性及無風(fēng)險利率固定的假設(shè),同時將模糊集合理論應(yīng)用于期權(quán)定價模型中,以建立模糊期權(quán)定價模型,希望藉此模型所求解的買權(quán)價格區(qū)間更接近實際值。

二、期權(quán)定價方法

期權(quán)定價方法大致可分為模型驅(qū)動型理論及資料驅(qū)動型理論兩大類,以下即針對此兩大類模型的優(yōu)缺點做比較,如表 1、表 2所示。由于模型驅(qū)動型期權(quán)定價模型面臨定價偏差的窘境,故許多數(shù)值算法 (numerical algorithms)便因應(yīng)而生,這些方法一方面源自對其基本模型的修正,另一方面結(jié)果也是屬于逼近的數(shù)值解。

表 1 模型驅(qū)動型期權(quán)定價理論

表 2 資料驅(qū)動型期權(quán)定價理論

關(guān)于期權(quán)定價理論,許多學(xué)者曾經(jīng)進(jìn)行深入研究,下面將期權(quán)定價理論根據(jù)模型驅(qū)動型理論及資料驅(qū)動型理論分成兩部分,并將其相關(guān)文獻(xiàn)內(nèi)容及評論整理成表 3、表 4。

表 3 模型驅(qū)動型期權(quán)定價理論文獻(xiàn)回顧與評述

模型名稱 年度 作者 文獻(xiàn)內(nèi)容摘要與評論偏度及峰度法 (Skewness and Kurtosis) 1997 1997 2002 Charles and Su Paulson e t al. Brown and Robinson加入偏度及峰度的調(diào)整項在B-S模型中,并導(dǎo)出修正模型。其能解釋波動性微笑現(xiàn)象。分析趨近法(Analytic Approxim -ation) 1984 1986 1986 1997 Geske and Johnson; Barone -Adesi,Whal -ey; Macmillan Zhang提供另一種數(shù)值分析法,可估計出避險參數(shù),然而這些避險參數(shù)的估計卻是相當(dāng)粗糙的。

表 4 資料驅(qū)動型期權(quán)定價理論文獻(xiàn)回顧與評述

三、B-S期權(quán)定價模型及其應(yīng)用誤差

截至目前為止,最著名的期權(quán)定價模型是由 Black-Scholes(1973)和 Cox、Ross&Rubinstein(1979)分別所提出的模型。B-S模型推導(dǎo)出一個連續(xù)時間下封閉的數(shù)學(xué)解析式,而 CRR模型則使用二叉樹模型來推導(dǎo)離散時間下的期權(quán)定價模型。當(dāng)時間被分割成無數(shù)段的小區(qū)間時,CRR模型就很接近B-S模型。但此兩種模型有其實務(wù)應(yīng)用上的限制,因為其模型必須對無風(fēng)險利率及股價報酬的波動性作估計,故投資者在使用模型時即隱含不確定性。惟考慮投資環(huán)境的不確定性,故可以應(yīng)用模糊集合理論于B-S及 CRR模型之上,以推算合理的買入價格區(qū)間。

(一)B-S期權(quán)定價模型

期權(quán)(option)是一種契約,買方有權(quán)利在未來某一段期間內(nèi),以事先約定好的價格向賣方買入或賣出某一數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。依買入或賣出的權(quán)利可分為買入期權(quán)及賣出期權(quán)兩種。買權(quán)賦予持有人買入某標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利,而賣權(quán)反之。另外期權(quán)又可依履約時間的不同,分為美式期權(quán)、歐式期權(quán)和百慕大期權(quán)。美式期權(quán) (American option)可在到期日前(含)的任何一天履約,向賣方買入或賣出股票或約定的標(biāo)的資產(chǎn);歐式期權(quán) (European option)僅能在到期日當(dāng)天履約;而百慕大期權(quán)是一種可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權(quán)的期權(quán),介于歐式期權(quán)與美式期權(quán)之間,可以被視為美式期權(quán)與歐式期權(quán)的混合體,以下為針對 Black-Scholes歐式買權(quán)所推導(dǎo)的公式。

Black-Scholes期權(quán)定價模型是由兩位美國經(jīng)濟學(xué)家FischerBlack及Myron Scholes于 1973年聯(lián)合提出。該公式奠定了衍生性金融商品定價的理論基礎(chǔ),對金融工程的發(fā)展存在著重要的影響,并于 1997年榮獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。他們指出,影響買權(quán)價格的主要因素有標(biāo)的資產(chǎn)股票價格、履約價格、到期時間、股票報酬率以及波動性和無風(fēng)險利率,其具體的定價公式如下:

該公式廣泛地用來評價買入期權(quán)的合理價格,協(xié)助投資人決定期權(quán)或其它衍生性金融商品的價值,該公式的推導(dǎo)是建立在以下假設(shè)基礎(chǔ)上的:

(1)無風(fēng)險利率在存續(xù)期間內(nèi)固定不變;

(2)無現(xiàn)金紅利;

(3)不存在賣空的限制;

(4)股票收益率標(biāo)準(zhǔn)差為固定值;

(5)無風(fēng)險套利機會不存在;

(6)股價是連續(xù)的,且為隨機漫步 (random walk),股價為對數(shù)正態(tài)分布;

(7)無交易成本,亦無稅收;

(8)證券可無限制分割。

對于B-S期權(quán)評價公式的基本假設(shè),該公式對無風(fēng)險利率、股票收益率標(biāo)準(zhǔn)差等要素均作了較為嚴(yán)格的假設(shè),如果假設(shè)條件被違反,則B-S期權(quán)定價模型的正確性及可靠性,將受重大影響。期權(quán)的價格在不確定情況下應(yīng)該是一個區(qū)間,但如果以此確定模型描述期權(quán)價格時,將無法精確算出期權(quán)價格。因此使用B-S期權(quán)定價模型的投資者,必須經(jīng)常對無風(fēng)險利率、股價報酬之波動性等因素予以估計與預(yù)測并以此作為分析的依據(jù)。但投資者的估計與預(yù)測,不可避免地將受人為因素的影響,因此,結(jié)合模糊理論描述期權(quán)定價模型中的不確定性因素,建立模糊期權(quán)定價模型,才能進(jìn)一步提升期權(quán)定價模型的實用性和精確性,才能使決策更加有效和客觀。

(二)B-S期權(quán)模型的應(yīng)用誤差

表 5 標(biāo)的資產(chǎn)價格分布引起的定價誤差

另外,對于居于價內(nèi)與價外期權(quán)而言,其理論價格與市場價格的差異并不因時間的經(jīng)過而減少,同時也不因標(biāo)的資產(chǎn)報酬波動的大小而有所不同,其模型與實際價格的差異如表6所示。

表 6 B-S模型實證分析文獻(xiàn)整理表

(三)二叉樹定價模型

一般意義的二叉樹期權(quán)定價方法因 Cox、Ross和 Rubinstein(1979)的論文而得到推廣。定價模型相對簡單,其定價公式如下:

其中,C表示第 n期的買入期權(quán)價格;n表示期數(shù);u和 d分別是股價的上升幅度和下降幅度;p表示上漲概率。

如果上述二叉樹模型是一期二叉樹模型,則定價公式為:

二叉樹期權(quán)定價方法與現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型不同,并非運用一系列有風(fēng)險的現(xiàn)金流并對它們用以風(fēng)險調(diào)整后的貼現(xiàn)率進(jìn)行貼現(xiàn),而是對發(fā)生在特定時間的特定現(xiàn)金流的概率進(jìn)行風(fēng)險調(diào)整,從而運用現(xiàn)金流風(fēng)險調(diào)整后的概率使得分析者可以以無風(fēng)險利率對這些現(xiàn)金流貼現(xiàn)。這是應(yīng)用二叉樹定價方法進(jìn)行期權(quán)估價的精髓,使用這種方法得到的結(jié)果是一致的。但是,二叉樹定價方法非常依賴對未來現(xiàn)金流的預(yù)測,而現(xiàn)金流本身預(yù)測的難度又增加了二叉樹定價方法實際應(yīng)用的難度。二叉樹定價模型假定未來每個時點上,每個現(xiàn)金流都存在兩種情況,實際上假定未來現(xiàn)金流的變化時不確定的,因而可以用模糊地方法預(yù)測未來現(xiàn)金流,以增強二叉樹模型的實際應(yīng)用效果。

Previous papers have found that the prevalence of hospital undernutrition varies between 27% to more than 50% depending on the identification criteria, the medical or surgical setting and the age of the patients[6-10].

四、實物期權(quán)法在實際應(yīng)用中的限制

實物期權(quán)定價模型原則上都是在B-S模型理論的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的,即便是二叉樹模型也是 B-S模型離散化形式。整體而言,以無套利理論為基礎(chǔ)的期權(quán)評價理論,均通過構(gòu)建無風(fēng)險避險投資組合,進(jìn)而決定期權(quán)的均衡價格。但由于Black和 Scholes(1973)定義的完美市場假設(shè)過于嚴(yán)格,因此,此后學(xué)者修正的方向大致可歸納為:(1)修正資產(chǎn)報酬變量固定的假設(shè),同時探討波動性有效估計方法;(2)修正利率常數(shù)假設(shè),水平利率期限結(jié)構(gòu)的假設(shè),以下即展開對于報酬波動性及無風(fēng)險利率對項目投資價值評估影響的評述。

(一)風(fēng)險中性假設(shè)的限制

風(fēng)險中性假設(shè)是B-S期權(quán)定價模型的基礎(chǔ),但是這個假設(shè)只具有一個“瞬間有效性”的效力而已。在超過一個“瞬間”的時間長度時,則此假設(shè)不存在,或者延續(xù)此假設(shè)有效性的做法根本不合實際。更重要的是,在財務(wù)經(jīng)濟領(lǐng)域中,風(fēng)險中性假說的觀點應(yīng)只針對股市的“需求面”來談而已,并非如B-S模型中把它和股市的“均衡股價”結(jié)果連接在一起。

B-S模型在推導(dǎo)初始是將股票和其相對應(yīng)的期權(quán),根據(jù)一定的比例組成一個無風(fēng)險的投資組合。問題是這個投資組合的無風(fēng)險狀態(tài)只存在于一瞬間而已。Hull(1993)認(rèn)為對于一個具有相當(dāng)時間長度的期權(quán)而言,先驗式的說法并不能拿來證明整個期權(quán)的實質(zhì)內(nèi)涵。當(dāng)我們把期權(quán)期滿時股價依無風(fēng)險利率折現(xiàn)時,就無異于明確表明所有不同種類的股票都將會以一個無風(fēng)險利率的速度成長,而這必然是個有偏差的觀點,對于實物投資項目的定價同樣也是如此。

當(dāng)然,B-S模型以風(fēng)險中性觀點作為分析的最主要基礎(chǔ),主要是將風(fēng)險偏好的有關(guān)因素排除在整個推導(dǎo)過程之外。當(dāng)然,我們在一般風(fēng)險偏好理論上的主要認(rèn)知為投資項目的預(yù)期回報水平和風(fēng)險偏好程度呈負(fù)相關(guān)。但問題是,即便可以把投資項目預(yù)期回報率從B-S模型推導(dǎo)過程中完全排除,并不表示我們便可把整個的定價模型所屬的研究分析環(huán)境當(dāng)成是一個風(fēng)險中立的世界,表 7為學(xué)者針對風(fēng)險利率所做的修正模型。

表 7 風(fēng)險中性修正的期權(quán)定價模型

如要修正B-S(1973)模型中把所有投資者都建立在風(fēng)險中性假設(shè)基礎(chǔ)上,把所屬研究環(huán)境當(dāng)作風(fēng)險中性世界,而在進(jìn)行期權(quán)定價時,最佳方式便是把此假設(shè)直接定義成一種客觀性存在,然而每位投資者在作出投資決策時,都具有主觀性,并以主觀行為來描述客觀性的問題。但實際上,風(fēng)險偏好觀點是因人而異的,它不具備一種完全的客觀性或標(biāo)準(zhǔn)性特征,因此無法衡量個別投資者對投資方案在任一方面的偏好行為。所以以往討論風(fēng)險偏好理論,在某種完全客觀的觀點下應(yīng)該不能成立,而風(fēng)險中性解釋并不等于客觀上的無風(fēng)險。因此,風(fēng)險的描述是帶有主觀性的,不同投資環(huán)境下的風(fēng)險描述必然是模糊的,進(jìn)而引進(jìn)模糊理論來描述無風(fēng)險利率,并以某一模糊數(shù)來表示投資項目價值具有重大的實際意義。

(二)波動性假設(shè)的限制

波動性基本被用作風(fēng)險的直接解釋或直接表示方式。事實上,對于期權(quán)評價的方式有許多看法,有人認(rèn)為在 B-S期權(quán)定價模型中,假設(shè)其為外生變量是不合理的,而有些學(xué)者認(rèn)為,標(biāo)準(zhǔn)差是隨著期權(quán)的價值不同而成動態(tài)性的變化的,稱為隱含波動 (implied volatility),而很多西方學(xué)者也發(fā)現(xiàn)同樣的標(biāo)的資產(chǎn)基于折價期權(quán)及溢價期權(quán)所求出來的隱含波動性 (impliedly standard deviation,ISD)常常不一樣,通常價內(nèi)的 ISD會高于價外的 ISD,一般稱為期權(quán)微笑 (volatility smile)。然而期權(quán)定價的根本依據(jù)之一為其標(biāo)的資產(chǎn)與未來的標(biāo)的資產(chǎn)變動結(jié)果,而標(biāo)的資產(chǎn)波動性在任何期權(quán)評價中,理論上應(yīng)該是未來的波動性。假如未來的波動性已知,我們就能知道期權(quán)價格。因此,不少學(xué)者使用許多方法來估計標(biāo)的資產(chǎn)未來的波動性,一些常用的方法描述如下:

(1)歷史波動性

假設(shè)過去標(biāo)的資產(chǎn)波動性等同未來標(biāo)的資產(chǎn)的波動性,我們就能使用過去標(biāo)的資產(chǎn)報酬的波動性去估計未來標(biāo)的資產(chǎn)報酬的波動性,一般計算方法為加權(quán)移動平均法,計算公式如下:

其中,rt表示第 t期標(biāo)的資產(chǎn)的收益率或報酬率,表示標(biāo)的資產(chǎn)的平均收益率。

(2)隱含波動性

在B-S期權(quán)定價模型是準(zhǔn)確的情況下,我們就能藉此反推隱含波動性,但折價期權(quán)和溢價期權(quán)的波動性皆比平價期權(quán)的波動性還大,這稱作期權(quán)微笑。

(3)帕金森方法(Parkinson method)

Parkinson(1980)認(rèn)為只使用收盤價無法反映目前實際情況,所以使用最高和最低價來代替收盤價。

(4)Garman和 Klass方法

Gar man和 Klass(1980)修飾 Parkinson方法,增加開盤價及收盤價于其中,并同時使用四個變量來估計股價報酬率的波動性。

(5)時間序列分析法 (GARCH method)

Blooerslev(1986)提出時間序列分析來處理股價的波動性。其認(rèn)為股價波動性會隨著時間的變動而改變,所以并不是常數(shù),且股價具有集聚特性,在期權(quán)定價模型中,目前股價報酬的波動性反映過去的股價報酬的波動性。因此估計標(biāo)的資產(chǎn)未來的波動性有許多方法,表 8為一些學(xué)者針對股價報酬波動性所做的修正模型。

表 8 期權(quán)中報酬波動性的修正模型

既然標(biāo)的資產(chǎn)的變動情形很少會呈現(xiàn)完全相同的型態(tài),我們也就不可能采用統(tǒng)一的看法將所有不同標(biāo)的資產(chǎn)變動情形在某種觀點上一視同仁,且由于標(biāo)的資產(chǎn)波動性是受許多因素所影響的,雖然也有不少研究在探討標(biāo)的資產(chǎn)的影響因素及其變動趨勢,然而就目前而言仍屬不確定的,所以它的評價因素也應(yīng)該是個不確定值,而非在B-S期權(quán)定價模型中將標(biāo)的資產(chǎn)報酬率標(biāo)準(zhǔn)差視為固定值,正是由于此動態(tài)性存在,難以基于大樹法則概率理論來計算標(biāo)準(zhǔn)差,似乎可視為在模糊環(huán)境下的問題,因此,可以利用模糊數(shù)學(xué)理論對實物期權(quán)進(jìn)行定價。

F045.32 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼 ]A [文章編號]1003-8353(2011)04-0181-05

山東省軟科學(xué)項目(2010RKGA1030)。

郭倩,女,天津大學(xué)管理學(xué)院博士研究生;王雪青,女,天津大學(xué)管理學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師。