與給定多邊形相切的可調(diào)廣義Ball閉曲線

高 健， 劉 植

（1.安徽醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)生管理學(xué)院，合肥 230032； 2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009）

與給定多邊形相切的可調(diào)廣義Ball閉曲線

高 健1， 劉 植2

（1.安徽醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)生管理學(xué)院，合肥 230032； 2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009）

討論了與給定控制多邊形相切的分段三次、五次和六次可調(diào)廣義Ball曲線的構(gòu)造方法，所構(gòu)造的曲線分別是C1，C2和C3連續(xù)的，而且對(duì)切線多邊形是保形的.曲線上的所有廣義Ball曲線段的控制點(diǎn)由切線多邊形的頂點(diǎn)直接計(jì)算產(chǎn)生.給出了在保持公共連接點(diǎn)處相應(yīng)連續(xù)的情況下，內(nèi)控制點(diǎn)的活動(dòng)范圍.曲線可以在一定范圍內(nèi)做局部修改.計(jì)算實(shí)例表明使用本文的方法靈活、方便、有效.

廣義Ball曲線；切線多邊形；保形曲線

1 引 言

在CAGD及實(shí)際應(yīng)用中人們發(fā)現(xiàn)廣義Ball曲線類似于Bézier曲線，有很好的保形性質(zhì)，且在某些方面，有比Bézier曲線更好的性質(zhì)［1］.例如：廣義Ball曲線的賦值算法具有穩(wěn)定的遞歸算法，且2m＋1次廣義Ball曲線的賦值只需2（m＋1）2次乘法和（m＋1）2次加法，而同次數(shù)的Bézier曲線需要2（m＋1）（2m＋1）乘法和（m＋1）（2m＋1）次加法（de Casteljau算法）.因此，Bézier曲線繪圖如先轉(zhuǎn)化為廣義Ball曲線再繪圖，無(wú)疑可以大大減少計(jì)算量；又如，廣義Ball曲線退化為低一階曲線的充要條件是中間兩個(gè)控制點(diǎn)重合，因此很容易判斷，而B(niǎo)ézier曲線的退化條件就要復(fù)雜得多；此外，廣義Ball曲線升階可以兩次兩次進(jìn)行，其計(jì)算量只是同次數(shù)Bézier曲線升階的一半.因此，在外形設(shè)計(jì)中，廣義Ball曲線越來(lái)越受到重視，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值 .

在CAD，CAGD及逼近的設(shè)計(jì)過(guò)程中，通常會(huì)先根據(jù)尺寸要求確定控制點(diǎn)，再根據(jù)控制點(diǎn)用直線段繪制樣片的大體輪廓，即控制多邊形，在多邊形內(nèi)用直線和曲線繪制封閉的圖形.由于樣片的形狀不規(guī)則，即構(gòu)成樣片的曲線比較復(fù)雜，為了使曲線光順、有彈性，且易于修改，經(jīng)常會(huì)遇到曲線與控制多邊形相切的問(wèn)題.構(gòu)造與給定控制多邊形相切的曲線問(wèn)題，已經(jīng)有不少文章對(duì)之進(jìn)行了詳述的討論，且在實(shí)踐中得到了應(yīng)用［2－8］.文［7，8］構(gòu)造了C1，C2和C3連續(xù)的廣義Ball曲線，但其中C1和C2連續(xù)的曲線只能通過(guò)調(diào)節(jié)切點(diǎn)的位置進(jìn)行局部修改，從而降低了局部修改的靈活性，且C3連續(xù)的廣義Ball曲線是唯一確定的，不可能做局部修改.本文主要研究了與給定多邊形相切的廣義Ball曲線，基于構(gòu)造組合曲線的可控性，給出更加靈活的構(gòu)造方法.所構(gòu)造的C1，C2連續(xù)的廣義Ball曲線除了可以調(diào)節(jié)切點(diǎn)位置外還可以通過(guò)調(diào)節(jié)其內(nèi)控制點(diǎn)參數(shù)對(duì)曲線做局部修改，使得曲線的局部修改更加靈活、方便、有效.且本文構(gòu)造的C3連續(xù)的廣義Ball曲線的局部修改也是簡(jiǎn)單方便的.計(jì)算實(shí)例表明本文的方法是可行的.

2 與給定多邊形相切的C1可調(diào)廣義Ball閉曲線

對(duì)于給定的閉的多邊形〈V0，V1，…，V n〉，其中V n＝V0.假設(shè)待構(gòu)造的分段三次廣義Ball曲線在切線多邊形的第i條邊V i V i＋1上的切點(diǎn)為

本節(jié)目的是希望在每相鄰兩切點(diǎn)Qi，Qi＋1之間構(gòu)造一段三次廣義Ball曲線ri（t）（i＝0，1，…，n－1），其相應(yīng)的控制點(diǎn)選取為

其中切點(diǎn)調(diào)節(jié)參數(shù)αi＜λi＜1－αi.αi為內(nèi)控制點(diǎn)的調(diào)節(jié)參數(shù)，它滿足

相應(yīng)的三次廣義Ball曲線段為

由三次廣義Ball曲線的端點(diǎn)性質(zhì)［9］，則有

設(shè)V i＋1是切線多邊形的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即矢量V i－1V i×V i V i＋1與矢量V i V i＋1×V i＋1V i＋2方向相反，這時(shí)第i－1段與第i段曲線凸性相反，且在切點(diǎn)Qi處形成一個(gè)拐點(diǎn)，因此上面構(gòu)造的分段三次廣義Ball曲線拐點(diǎn)個(gè)數(shù)與切線多邊形的轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù)相等.即該曲線對(duì)其給定切線多邊形是保形的.

由此可知，上面構(gòu)造的分段三次可調(diào)廣義Ball閉曲線是C1連續(xù)的，保形的且與每條邊V i V i＋1相切.

例1給定平面上一非凸的切線六邊形，用上述算法繪制與給定六邊形每邊相切三次廣義Ball曲線的三個(gè)圖形.圖1中的圖形分別是λi＝0.45，αi＝0.4；λi＝0.55，αi＝0.4；λi＝0.55，αi＝0.3.

圖1 λi，αi取不同值時(shí)的三次廣義Ball曲線

綜上可知，分段三次廣義Ball曲線的形狀由參數(shù)λi，αi的選取確定，曲線的切點(diǎn)在一定范圍內(nèi)可以任意選取.λi增大，切點(diǎn)Qi向V i＋1靠近；λi減小，切點(diǎn)Qi向V i靠近.αi在一定范圍內(nèi)增大時(shí)，內(nèi)控制點(diǎn)向切線多邊形的頂點(diǎn)靠近，生成的組合曲線相應(yīng)的向切線多邊形的頂點(diǎn)靠近，否則將遠(yuǎn)離頂點(diǎn).

3 與給定切線多邊形相切的C2可調(diào)廣義Ball閉曲線

假設(shè)給定的閉的多邊形〈V0，V1，…，V n〉，其中V n＝V0.待構(gòu)造的分段五次廣義Ball曲線在切線多邊形的第i條邊V i V i＋1上的切點(diǎn)為

本節(jié)目的是希望在每相鄰兩切點(diǎn)Qi，Qi＋1之間構(gòu)造一段五次廣義Ball曲線ri（t）（i＝0，1，…，n－1），其相應(yīng)的控制點(diǎn)選取為

相應(yīng)的五次廣義Ball曲線段為

由此可知，上面構(gòu)造的分段五次可調(diào)廣義Ball閉曲線是C2連續(xù)的，類似第一節(jié)的證明，可知構(gòu)造的分段五次可調(diào)廣義Ball閉曲線是保形的，且與每條邊V i V i＋1相切.

例2給定平面上一非凸的切線七邊形，用上述算法繪制與給定七邊形每邊相切五次廣義Ball曲線的三個(gè)圖形.圖2中的圖形分別是λi＝0.52，αi＝0.32；λi＝0.52，αi＝0.22；λi＝0.65，αi＝0.22

圖2 λi，αi取不同值時(shí)的五次廣義Ball曲線

綜上可知，分段五次廣義Ball曲線的形狀由參數(shù)λi，αi的選取確定，曲線的切點(diǎn)在一定范圍內(nèi)可以任意選取.λi增大，切點(diǎn)Qi向V i＋1靠近；λi減小，切點(diǎn)Qi向V i靠近.αi在一定范圍內(nèi)增大時(shí)，內(nèi)控制點(diǎn)向切線多邊形的頂點(diǎn)靠近，生成的組合曲線相應(yīng)的向切線多邊形的頂點(diǎn)靠近，否則將遠(yuǎn)離頂點(diǎn).

4 與給定切線多邊形相切的C3可調(diào)廣義Ball閉曲線

我們?nèi)约僭O(shè)對(duì)于給定的閉的多邊形〈V0，V1，…，V n〉，其中V n＝V0.待構(gòu)造的分段六次廣義Ball曲線在切線多邊形的第i條邊V i V i＋1上的切點(diǎn)為

本節(jié)目的是希望在每相鄰兩切點(diǎn)Qi，Qi＋1之間構(gòu)造一段六次廣義Ball曲線ri（t）（i＝0，1，…，n－1），其相應(yīng)的控制點(diǎn)選取為

其中αi為內(nèi)控制點(diǎn)的調(diào)節(jié)參數(shù)，它滿足

相應(yīng)的六次廣義Ball曲線段為

由六次廣義Ball曲線的端點(diǎn)性質(zhì)［9］，則有

顯然有

由此可知，上面構(gòu)造的分段六次可調(diào)廣義Ball閉曲線是C3連續(xù)的，類似前面證明，可知構(gòu)造的分段六次可調(diào)廣義Ball閉曲線是保形的，且與每條邊V i V i＋1相切.

例3給定平面上一非凸的切線七邊形，用上述算法繪制與給定七邊形每邊相切六次廣義Ball曲線的三個(gè)圖形.圖3中的圖形分別是αi＝0.1；αi＝0.2；αi＝0.3

圖3 αi取不同值時(shí)的六次廣義Ball曲線

綜上可知，分段六次廣義Ball曲線的切點(diǎn)位置是確定的.曲線的形狀由參數(shù)αi的選取確定.αi在一定范圍內(nèi)增大時(shí)，內(nèi)控制點(diǎn)向切線多邊形的頂點(diǎn)靠近，生成的組合曲線相應(yīng)的向切線多邊形的頂點(diǎn)靠近，否則將遠(yuǎn)離頂點(diǎn).

5 結(jié) 論

用本文構(gòu)造的與給定多邊形每邊相切的廣義Ball曲線，與傳統(tǒng)的方法相比，它具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（i）本文構(gòu)造的曲線只要給定多邊形以及各調(diào)節(jié)參數(shù)的值，即可構(gòu)造曲線，無(wú)需額外信息，從而大大減少了計(jì)算量.

（ii）所構(gòu)造的三次、五次和六次廣義Ball曲線分別是C1，C2和C3連續(xù)的，光滑性好.

（iii）所構(gòu)造的曲線不僅與給定多邊形的每條邊相切，而且對(duì)多邊形具有保形性，避免了曲線產(chǎn)生多余的拐點(diǎn).

（iv）可以在形狀參數(shù)的取值范圍內(nèi)選擇不同的參數(shù)值，進(jìn)行曲線設(shè)計(jì).無(wú)論是曲線內(nèi)控制點(diǎn)的調(diào)整，還是切點(diǎn)控制參數(shù)的改變，都是對(duì)曲線具有局部性的，曲線修改十分方便.

［1］丁友東，李敏.廣義Ball曲線的性質(zhì)及應(yīng)用［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（4）：580－595.

［2］Hering L.Closed（C2＿andC3＿Continuous）Bézier and B－spline curve with given tangent polygons［J］.CAD，1983（1）：3－6.

［3］Fang K.Closed（G2＿Continuous）Bézier curve with given tangent polygon［J］.Chinese Journal of Numerical Mathematics，1991，3（2）：34－38.

［4］方逵，蔡放，譚建容.帶有給定切線多邊形的C2和C3Bézier閉樣條曲線［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào)，2000，12（5）：330－332.

［5］劉植.與給定切線多邊形相切的C3Bézier可調(diào)閉樣條曲線［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，28（5）：223－224.

［6］閆德勤.與給定多邊形相切的四次可控C2Bézier曲線［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2003，3（5）：52－64.

［7］王成偉姚云.與給定多邊形相切的C1廣義Ball閉曲線［J］.北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22（1）：71－74.

［8］王成偉.與給定多邊形相切的C2和C3廣義Ball閉曲線［J］.高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24（4）：349－354.

［9］王國(guó)瑾，汪國(guó)昭，鄭建民.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2001：100－112.

Closed Adjustable Generalized Ball Curves with Given Tangent Polygon

GAOJian1，LIUZhi2
（1.Health Management College，Anhui Medical University，Hefei 230032，China；2.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

This paper proposes an approach of constructing planar piecewise closed generalized Ball curve of 3th、5th and 6th degree with all edges tangent to a given control polygon and the curve segments can be joined together withC1，C2andC3continuity respectively.The control points of the generalized Ball curve segments are computed simply by the vertices of the given tangent polygon.The admissible scope of the inner control points is given in order to guarantee corresponding continuity.Local modifications for these curves are possible.The effectiveness as well as adaptability of the method is manifested by experimental results.

generalized Ball curve；tangent polygon；shape－preserving curve

TP241.3

A

1672－1454（2011）04－0042－05

?

2008－03－31