將數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

韓 明

（福建工程學(xué)院數(shù)理系，福州 350108）

將數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

韓 明

（福建工程學(xué)院數(shù)理系，福州 350108）

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重理論聯(lián)系實際，注重數(shù)學(xué)思想和方法的講授，強調(diào)應(yīng)用案例中融入數(shù)學(xué)實驗思想的新教學(xué)方法.改革課堂教學(xué)方法，探索新的教學(xué)模式，加強學(xué)生的實踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新能力.最后，本文給出了幾個例子顯示了數(shù)學(xué)實驗與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合的效果.

大學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)實驗，教學(xué)改革，實踐，創(chuàng)新

1 引 言

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法是老師講、學(xué)生練.這種模式注重培養(yǎng)學(xué)生進行精密的計算、嚴密的邏輯推理能力，而忽視了對學(xué)生主動思考、自主創(chuàng)新能力的培養(yǎng).在這種教學(xué)模式下，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識也僅是停留在記公式、做計算題和證明題上.這與當前社會對科技人才的培養(yǎng)中數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的要求相差甚遠.從上世紀90年代中期開始，數(shù)學(xué)實驗作為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的產(chǎn)物在國內(nèi)高等院校誕生，它以與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)不同的方式在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中引起廣泛的興趣.

1989年，著名的科學(xué)家錢學(xué)森教授在中國數(shù)學(xué)會教育與科研座談會上提出：“電子計算機的出現(xiàn)對數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，大學(xué)理工科的數(shù)學(xué)課程是不是需要改革一番？”

1992年，美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會的一篇論文就指出：“一切科學(xué)與工程技術(shù)人員的教育必須包括愈來愈多的數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)的內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模和相伴的計算正在成為工程設(shè)計中的關(guān)鍵工具.”美國科學(xué)、工程和公共事業(yè)政策委員會在一份報告中曾指出：“今天，在科學(xué)技術(shù)中最為有用的領(lǐng)域就是數(shù)值分析與數(shù)學(xué)建模.”所有這些思想都與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實驗所包含的內(nèi)容密切相關(guān).

周遠清（前教育部副部長）、姜啟源發(fā)表在2006年1月11日《光明日報》上的文章《數(shù)學(xué)建模競賽實現(xiàn)了什么？》指出：十幾年來在我國開展的“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”的實踐已經(jīng)證實了數(shù)學(xué)建模競賽至少實現(xiàn)了以下兩點：（1）提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)；（2）推動了高校教育改革.

實踐證明：數(shù)學(xué)建模是連接“學(xué)”和“用”的一個橋梁.李大潛院士提出：“把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去.”文獻［1］和［2］已經(jīng)做了這方面的嘗試工作.目前，多數(shù)專業(yè)的主干數(shù)學(xué)課程主要有《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，而數(shù)學(xué)實驗是連接這三門課程與數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modelling）的一個橋梁.因此仿照李大潛院士的說法，我們可以提出：“把數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去.”文獻［3］對數(shù)學(xué)類專業(yè)的課程，已經(jīng)做了這方面的嘗試工作；本文將要對大學(xué)數(shù)學(xué)類課程，做這方面的嘗試工作.

21世紀對各類專業(yè)技術(shù)人才的培養(yǎng)中數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的要求越來越高，我們培養(yǎng)的人才應(yīng)具有帶專業(yè)背景的實際問題建立數(shù)學(xué)模型的能力，這樣才能在實際工作中發(fā)揮更大的創(chuàng)造性.把數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去，正是為培養(yǎng)學(xué)生運用計算機研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，鍛煉學(xué)生動手能力，進而提高學(xué)生的創(chuàng)造能力.

2 什么是數(shù)學(xué)實驗

大家都知道物理實驗和化學(xué)實驗，那么什么是數(shù)學(xué)實驗?zāi)兀块L期以來，人們對數(shù)學(xué)教學(xué)的認識就是概念、定理、公式和解題.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師在黑板上講數(shù)學(xué)，而學(xué)生則在課堂上聽數(shù)學(xué)和在紙上做題目.這樣，對多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)探索活動沒有能夠真正開展起來，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性也沒有真正被調(diào)動出來.

隨著計算機的普及和發(fā)展，改變了數(shù)學(xué)只用紙和筆進行研究的傳統(tǒng)方式，特別是利用計算機成功地解決了“四色問題”對數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的影響，盡管有些數(shù)學(xué)家不承認這是一個證明（即嚴格的按數(shù)學(xué)邏輯推理得到的證明），但是問題的最終解決還是被數(shù)學(xué)界接受了.20世紀70年代末，我國數(shù)學(xué)家吳文俊從中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)機械化思想出發(fā)，創(chuàng)立了幾何定理機器（計算機）證明的“吳方法”，實現(xiàn)了利用計算機進行推理證明的突破，獲得了國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的高度稱贊與廣泛重視，他因此獲得我國首屆重大科技成果獎.

隨著科學(xué)技術(shù)的進步，尤其是計算機技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)對當代科學(xué)乃至整個社會的影響和作用日益顯著.數(shù)學(xué)成為科學(xué)研究的主要支柱，其方法及計算已經(jīng)與理論研究和科學(xué)實驗成為科學(xué)研究中不可缺少的手段.同時現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎滲透到包括自然科學(xué)、經(jīng)濟管理以至人文社會科學(xué)在內(nèi)的所有學(xué)科和應(yīng)用領(lǐng)域中，通過建立數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）、應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法并結(jié)合計算機來解決實際問題已成為極其普遍的模式.因此，社會對科技人才的培養(yǎng)中的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力已經(jīng)提出了更高的要求.然而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程對此反映不足，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在科技和現(xiàn)實生活中所起的重要作用.因此出現(xiàn)了像李大潛院士指出的那種“長期存在的矛盾現(xiàn)象：一方面數(shù)學(xué)很有用，另一方面學(xué)生學(xué)了數(shù)學(xué)以后卻不會用.”

關(guān)于什么是數(shù)學(xué)實驗，目前還沒有一個統(tǒng)一的定義.所謂數(shù)學(xué)實驗（Mathematical experiment），是在現(xiàn)代教育理論（特別是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論）指導(dǎo)下，旨在引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件理解抽象的數(shù)學(xué)理論、自主探索和研究數(shù)學(xué)問題以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題的實踐過程（文獻［4］）.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強調(diào)以學(xué)生為中心，要求學(xué)生由外部刺激的被動接受者和知識的灌輸對象轉(zhuǎn)變?yōu)樾畔⒓庸さ闹黧w、知識意義的主動建構(gòu)者；教師由知識的傳授者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動建構(gòu)意義的幫助者、促進者.計算機技術(shù)的普及，為實現(xiàn)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)環(huán)境提供了理想的條件.可見在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境下，教師和學(xué)生的地位、作用與傳統(tǒng)教學(xué)相比已發(fā)生很大變化.這就意味著教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中要采用全新的教學(xué)模式、全新的教學(xué)方法和教學(xué)設(shè)計思想.

學(xué)生憑借簡單易學(xué)、高度集成化的數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)，能方便地對數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H應(yīng)用問題進行符號演算、數(shù)值計算和圖形分析，從而能夠提高數(shù)學(xué)實踐能力、培養(yǎng)探索精神，進而在實踐和探索過程中提高學(xué)生的創(chuàng)造能力.數(shù)學(xué)實驗既然是實驗，就要求學(xué)生多動手、多上機、勤思考，在教師的指導(dǎo)下探索解決實際問題的方法，在失敗與成功中獲得真知.

在提到數(shù)學(xué)實驗時，不能不提數(shù)學(xué)建模以及全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽.由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，每年一次，十幾年來這項競賽的規(guī)模以平均年增長25%以上的速度發(fā)展.競賽雖然發(fā)展得如此迅速，但是參加者畢竟還是很少一部分學(xué)生，要使它具有強大的生命力，必須與日常的教學(xué)活動和教育改革相結(jié)合.十幾年來，在競賽的推動下許多高校相繼開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程以及與此密切相關(guān)的數(shù)學(xué)實驗課程.另外怎樣在大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中融入數(shù)學(xué)實驗的思想，也是十分有意義的工作.

3 把數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程

以下通過幾個例子，應(yīng)用MATLAB軟件，從幾個不同的側(cè)面看一下“數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程”的效果.

如果用手工推導(dǎo)，得出這樣的結(jié)果需要繁雜、細致的工作，而且稍有不慎就可能得出錯誤的結(jié)果.

通過例1我們看到，手工推導(dǎo)得出的結(jié)果的可信程度有時會受到懷疑.

例2 在《線性代數(shù)》課程中學(xué)習(xí)了求矩陣的行列式的方法，比如用代數(shù)余子式的方法可以把一個n階行列式問題化簡成n-1階行列式問題，而n-1階行列式又可化簡為n-2階行列式問題，這樣用遞歸的方法可以最終化簡成二階行列式求解問題.因此可以得到結(jié)論，任意階矩陣的行列式都可以直接求出來.

事實上，這個結(jié)論忽視了算法的計算復(fù)雜度問題，這樣的算法計算量龐大，高達（n-1）（n＋1）！＋n.比如n＝20時，運算次數(shù)為（n-1）（n＋1）?。玭＝9.707279012624794×1020（應(yīng)用MATLAB，執(zhí)行命令19＊factorial（21）＋20即可得到），相當于在每秒億次的巨型機（如中國最快的銀河計算機）上3000年的計算量.考慮Hilbert矩陣

以下應(yīng)用MATLAB分別計算n＝10和n＝20時Hilbert矩陣的行列式和秩.

以上結(jié)果說明n＝10和n＝20時Hilbert矩陣的行列式的值接近零，這也說明高階Hilbert矩陣接近奇異矩陣.以上結(jié)果還說明，雖然n＝10和n＝20時Hilbert矩陣都接近奇異矩陣，但它們都是滿秩矩陣，因此都是非奇異矩陣.

應(yīng)用MATLAB軟件，（i）畫出n個人中至少有兩個人生日相同的概率曲線（1≤n≤100）；（ii）對n＝10，20，30，40，50，60，70，80，計算n個人中至少有兩個人生日相同的概率.

解 （i）輸入命題

運行結(jié)果見下表

n 10 20 30 40 50 60 70 80 pn 0.1169 0.4114 0.7063 0.8912 0.9704 0.99410.9992 0.9999

例4 若

解 （i）輸入命令x＝［0∶0.01∶2，2＋eps∶0.01∶5，5］；

運行結(jié)果見圖2.

圖1 生日問題的概率曲線圖

圖2 函數(shù)f（x）的區(qū)域填充圖

例1是符號演算問題，例2，例3的（2）和例4的（2）是數(shù)值計算問題，例3的（i）和例4的（i）是圖形分析問題.應(yīng)該說明，以上四個例子中的程序都已通過MATLAB7.0的運行.

4 結(jié)束語

通過以上四個例子，我們從幾個不同的側(cè)面初步地領(lǐng)略了“把數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去”的效果.同濟大學(xué)出版社出版了一套“大學(xué)數(shù)學(xué)”教材，包括《高等數(shù)學(xué)》，《線性代數(shù)》，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，《數(shù)學(xué)實驗》等，這套教材體現(xiàn)了“把數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入到大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程中去”.關(guān)于進一步需要研究的其他問題［4，6］，還需要我們繼續(xù)努力探索.

［1］ 劉瓊蓀，鐘波.將數(shù)學(xué)建模思想融入工科“概率統(tǒng)計”教學(xué)中［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（2）：152—154.

［2］ 黎彬，陳小強，李世貴.數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實踐［J］.重慶科技學(xué)院學(xué)報，2007，14（4）：171—172.

［3］ 張小紅.將數(shù)學(xué)實驗的思想融入數(shù)學(xué)類課程［C］∥大學(xué)數(shù)學(xué)課程報告論壇組委會.大學(xué)數(shù)學(xué)課程報告論壇論文集2006.北京：高等教育出版社，2007：254—256.

［4］ 韓明，王家寶，李林.數(shù)學(xué)實驗（MATLAB版）［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，2009.

［5］ 韓明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第二版）［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，2010.

［6］ 薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

Applying the Idea and Methods of Mathematical Experiment to the Teaching of College Mathematics

H AN Ming
（Department of Mathematics and Physics，F(xiàn)ujian University of Technology，F(xiàn)uzhou 350108，China）

In the teaching of college mathematic，teachers should combine theory with practice，focus on the teaching of mathematics ideas and methods and apply the idea of mathematical experiment in application cases.They should improve classroom teaching，exolore new teaching model and focus on students’practice to develop their abilities in application and innovation.Finally，this papre several examples are given，show that the effect of mathematical experiment to the teaching of the course of college mathematics.

college mathematic；mathematical experiment；teaching reformation；practice；innovation

G424.1

C

1672-1454（2011）04-0137-05

2008-09-05