條件期望與三變量獨(dú)立性的兩個(gè)充要條件

鄭發(fā)美

（淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇淮安 223300）

條件期望與三變量獨(dú)立性的兩個(gè)充要條件

鄭發(fā)美

（淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇淮安 223300）

隨機(jī)事件的獨(dú)立性、隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率統(tǒng)計(jì)中的重要概念，不少學(xué)者都在這方面有所討論.本文作者討論了三維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y，Z）中三個(gè)分量X，Y，Z的相互獨(dú)立性、條件獨(dú)立性，得到三個(gè)引理.利用條件期望及三個(gè)引理作者給出了三變量相互獨(dú)立的兩個(gè)充要條件.

隨機(jī)變量；獨(dú)立性；條件概率；條件期望；充要條件

隨機(jī)變量的獨(dú)立性在概率統(tǒng)計(jì)中有著十分重要的意義和廣泛的應(yīng)用價(jià)值.本文就三維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性展開討論，找到三個(gè)變量獨(dú)立性的兩個(gè)充要條件.

引理1 設(shè)（X，Y，Z）是三維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為f（x，y，z），（X，Y，Z）關(guān)于X，Y，Z的邊際概率密度分別為fX（x），fY（y），fZ（z），則X，Y，Z相互獨(dú)立的充要條件為f（x，y，z）＝fX（x）fY（y）fZ（z）.

證設(shè)（X，Y，Z）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y，z），（X，Y，Z）關(guān)于X，Y，Z的邊際分布函數(shù)分別為FX（x），F(xiàn)Y（y），F(xiàn)Z（z）.

必要性.若X，Y，Z相互獨(dú)立，由定義1知，

由概率密度的定義知，fX（x）fY（y）fZ（z）是（X，Y，Z）的聯(lián)合概率密度，所以，f（x，y，z）＝fX（x）fY（y）fZ（z）.

充分性.若f（x，y，z）＝fX（x）fY（y）fZ（z），由分布函數(shù)的定義知，

由定義1知，X，Y，Z相互獨(dú)立.

推論X與Y相互獨(dú)立的充要條件是fXY（x，y）＝fX（x）fY（y）.

引理2 設(shè)（X，Y，Z）是三維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為f（x，y，z），X在Y＝y(tǒng)下的條件概率密度記為fX｜Y（x｜y），且fY（y）＞0，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是fX｜Y（x｜y）＝fX（x）.

證必要性.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，由上述推論知，fXY（x，y）＝fX（x）fY（y），再由條件概率密度的定義有，

從而fXY（x，y）＝fX（x）fY（y）.由上述推論知，X與Y相互獨(dú)立.

引理3 設(shè)（X，Y，Z）是三維連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y，Z兩兩獨(dú)立，fZ（z）＞0，則X，Y，Z相互獨(dú)立的充要條件為X，Y在Z＝z下條件獨(dú)立.

定理1 設(shè)（X，Y，Z）是三維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X，Y，Z相互獨(dú)立的充要條件是下列的（i）與（ii）同時(shí)成立.

由定義2知，X，Y在Z＝z下條件獨(dú)立.又由條件（i）知，X，Y，Z兩兩獨(dú)立，根據(jù)引理3知，X，Y，Z相互獨(dú)立.

定理2 設(shè)（X，Y，Z）是三維連續(xù)型隨機(jī)變量，fZ（z）＞0，則X，Y，Z相互獨(dú)立的充要條件是下列的（i）與（ii）同時(shí)成立.

［1］ 姚仲明，唐燕玉.條件數(shù)學(xué)期望與隨機(jī)變量獨(dú)立性的一個(gè)充要條件［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，25（6）：172-175.

［2］ 奚李群.三變量獨(dú)立性的兩個(gè)結(jié)論［J］.工科數(shù)學(xué)，1997，13（6）：165-167.

［3］ 陳光曙，等.條件獨(dú)立及其性質(zhì)［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，24（1）：115-117.

［4］ 鄭發(fā)美.離散型隨機(jī)變量的幾種獨(dú)立性及相互關(guān)系［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（5）：191-193.

［5］ 汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1988：82-83.

［6］ 揚(yáng)文禮，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1986：166-167.

［7］ 魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，1983：127-128.

［8］ 李開燦，耿直.條件獨(dú)立性的三種形式及相互關(guān)系［J］.北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，38（5）：629-634.

Conditional Expectation and Necessary and Sufficient Conditions about Independence of Random Variables

ZHENG Fa-mei
（School of Mathematical Science，Huaiyin Normal University，Huaian，Jiangsu 223300，China）

The independence of the random event and the random variable are important concepts.Many scholars have discussion in these aspects.In this article，the author discusses the mutual dependence and conditional independence of three components in the three dimensional continuous r.v（X，Y，Z）.The author demonstrates three lemmas.By using the conditional expectation and three lemmas，the author gives two necessary and sufficient conditions about mutual independence of three random variables.

random variables；independence；conditional probability；conditional expectation；necessary and sufficient condition

O211.1

C

1672-1454（2011）04-0152-04

2008-05-26；

2008-10-10