高職學(xué)生利用所學(xué)導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題舉例

何艷

（太原旅游職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030012）

高職學(xué)生利用所學(xué)導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題舉例

何艷

（太原旅游職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030012）

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，解決許多實(shí)際問題都離不開它，本文闡述了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活以及企業(yè)經(jīng)營中的幾個(gè)應(yīng)用。

導(dǎo)數(shù)；最值問題；邊際函數(shù)

隨著國家對職業(yè)教育的重視，高職教育在我國快速發(fā)展，高職學(xué)生以其扎實(shí)的基本功，良好的動(dòng)手能力，深受社會好評。高職教育的一個(gè)基本任務(wù)就是培養(yǎng)高級技工人才，因此培養(yǎng)高職學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，是職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。而且在教學(xué)中應(yīng)注意與專業(yè)的結(jié)合，做到夠用、實(shí)用，為專業(yè)課服務(wù)好。本文就結(jié)合我院的專業(yè)舉例說明導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。

一、利用導(dǎo)數(shù)解決旅行社收入最高問題

人們從事經(jīng)營活動(dòng)時(shí)，都要考慮怎樣以最小的投入得到最大的效益，這類問題在數(shù)學(xué)上常?？梢詺w納為求某一函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值的問題，一般均可通過分析建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法來解決。

例1.某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元。如果團(tuán)體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費(fèi)少5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過180人，如何組團(tuán)可使旅行社的收入最多？（不到100人不組團(tuán)）

解：設(shè)參加旅游的人數(shù)為x人,旅行社的收入為y元。

則y=1000x-5（x-100）x （100≤x≤180）

問題歸結(jié)為：求y=1500x-5x2在［100,180］內(nèi)的最大值。

令y'=0,解得駐點(diǎn)x=150。

由于f（100）=100000,f（150）=112500,f（180）=108000。因此，當(dāng)旅游團(tuán)人數(shù)為150人時(shí)，旅行社收入最高，最高收入為112500元。

二、利用邊際函數(shù)對企業(yè)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析及指導(dǎo)

對于企業(yè)經(jīng)營來說，進(jìn)行邊際分析是非常重要的，企業(yè)如果離開邊際分析而盲目生產(chǎn)，就會造成資源的巨大浪費(fèi)。導(dǎo)數(shù)作為邊際分析的重要工具，可以給企業(yè)決策者提供客觀、準(zhǔn)確的依據(jù)，從而作出合理的決策。

例2.某酒店加工生產(chǎn)某類月餅的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別為C（x）=100+2x+0.02x2和R（x）=7x+0.01x2，求邊際利潤函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別為200公斤、250公斤和300公斤時(shí)的邊際利潤，并且說明經(jīng)濟(jì)意義。

解：①總利潤函數(shù)為L（x）=R（x）-C（x）=5x-100-0.01x2

邊際利潤函數(shù)為L'（x）=5-0.02x.

②當(dāng)日產(chǎn)量分別為200公斤、250公斤和300公斤時(shí)的邊際利潤分別為L'（200）=L'（x）│x=200=1元

其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)日產(chǎn)量分別為200公斤，再增加1公斤，則總利潤可增加1元，當(dāng)日產(chǎn)量分別為250公斤，再增加1公斤，則總利潤無增加，當(dāng)日產(chǎn)量分別為300公斤，再增加1公斤，則反而虧損1元。

結(jié)論：當(dāng)企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超越了邊際利潤的零點(diǎn)時(shí)（L'（x）=0），反而使企業(yè)無利潤。

三、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的問題

在日常生活中導(dǎo)數(shù)可以幫助我們解決許多實(shí)際問題。

例3.某人要將一個(gè)燈泡吊在半徑為r的圓桌的正上方，如圖所示，桌上任意一點(diǎn)受到的照度與光線的入射角的余弦值成正比，而與光源的距離的平方成反比，欲使桌子的邊緣得到最強(qiáng)的照度，問燈泡應(yīng)掛在桌子上方多高處？

解：由圖知，桌子邊緣處的照度

通過以上例子可以看出，導(dǎo)數(shù)從小到日常生活大到企業(yè)經(jīng)營中問題的解決都很方便，所以要求學(xué)生更加深刻地理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵,在熟練掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)方法來解決。

［1］郝軍等.高等數(shù)學(xué)（文科版）［M］.西安：西北大學(xué)出版社，2003.

［2］周學(xué)勤.導(dǎo)數(shù)求最值與最優(yōu)化［J］.呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，（25）.

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