用Timoshenko梁修正理論研究功能梯度材料梁的動力響應(yīng)

吳 曉， 羅佑新

(湖南文理學院，常德 415000)

功能梯度材料是基于一種全新的材料設(shè)計概念合成的新型復(fù)合材料［1－10]，日本科學家于20世紀80年代末年提出了功能梯度材料的概念［11]，即根據(jù)具體的要求，選擇使用兩種不同性能的材料，通過連續(xù)平滑地改變兩種材料的組織和結(jié)構(gòu)，使其結(jié)合部位的界面消失，從而得到功能相應(yīng)于組織變化而變化的均質(zhì)材料，最終減小或消除結(jié)合部位的性能不匹配因素。功能梯度材料梁的力學性能引起了工程設(shè)計人員的極大關(guān)注，有關(guān)研究功能梯度材料梁的文獻都沒有確定功能梯度材料梁的中性軸真實位置，而是假設(shè)了功能梯度材料梁中性軸位置在距離梁上表面二分之一處，然而一般功能梯度材料僅是功能相應(yīng)于組織變化而變化的均質(zhì)材料，功能梯度材料梁中性軸位置不在距離梁上表面二分之一處，這種研究方法顯然是具有局限性的。基于上述原因，本文首先確定了功能梯度材料梁的中性軸位置，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用Timoshenko梁修正理論建立了功能梯度材料梁的振動方程，討論了有關(guān)因素對功能梯度材料梁動力響應(yīng)的影響。因為經(jīng)典Timoshenko梁理論建立的運動方程是時間和空間的四階微分方程，導(dǎo)致存在兩個實頻率系。文獻［12，13] 對Timoshenko梁的振動方程進行了修正，修改了Timoshenko梁理論的不足之處，證明了Timoshenko梁實際上僅有一個固有頻譜。因此，本文采用Timoshenko梁修正理論研究了泡沫鋁合金梁的動力特性。

1 振動微分方程

對于功能梯度材料梁，其下側(cè)為金屬材料，上側(cè)為陶瓷材料，中間為兩種材料組成的混合物。由于金屬材料與陶瓷材料的泊松比相近，可令它們的泊松比均為μ。設(shè)金屬材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為Em、Gm、ρm，陶瓷材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為Ec、Gc、ρc，則梁內(nèi)任一點的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為:

式中，E1=Em－Ec，G1=Gm－Gc，ρ1=ρm－ρc，Vm為金屬材料組分的體積比例系數(shù)。

假設(shè)坐標原點建立在功能梯度材料梁的中性軸上，設(shè)功能梯度材料梁中金屬材料組分的體積比例系數(shù)為梁厚方向坐標z的冪函數(shù)為:

式中，k為梯度指數(shù)，z0為梁中性軸真實位置與有關(guān)文獻假設(shè)距梁上表面二分之一處的中性軸之間的距離。

根據(jù)Timoshenko梁修正理論假設(shè)φ為梁截面彎曲轉(zhuǎn)角，y為梁的撓度，可知功能梯度材料梁的應(yīng)力表達式為:

功能梯度材料純彎曲時橫截面內(nèi)力應(yīng)滿足下式:

把式(1)、式(2)代入式(4)中可以得到:

利用式(3)可得功能梯度材料梁的彎矩、剪力表達式為:

式中，μ為剪切因子，

對于圖1所示在橫向動荷載作用下的功能梯度材料梁，參閱文獻［12－14] 可知功能梯度材料梁采用Timoshenko梁修正理論得到振動微分方程為:

圖1 功能梯度材料梁Fig.1 Beam with functionally graded materials

式中:

把式(6)代入式(7)中可以得到:

把式(8)解耦后可得修正Timoshenko梁振動方程為:

2 功能梯度材料梁動力響應(yīng)

2.1 自由振動的解

令功能梯度材料梁的自由振動位移及外載荷分別為:

把式(10)代入式(9)中可以得到:

式中，

由式(11)可以求得功能梯度材料梁振型函數(shù)為:

式中:

以簡支梁為例，可知功能梯度材料梁的邊界條件為:

利用式(12)、式(13)可以求得功能梯度材料梁的自振頻率為:

所以，功能梯度材料簡支梁的振動位移為:

2.2 強迫振動的解

令式(9)的解為:

假設(shè)式(11)在簡支梁的邊界條件下，對應(yīng)于ωi和ωj的兩個振型函數(shù)為Yi(x)和Yj(x)，把式(16)代入式(11)中，于是有:

將式(17)乘以Yj(x)、式(18)乘以Yi(x)，然后把所得的兩個乘式相減，再沿梁全長積分，注意在積分式中代入鉸支座邊界條件，即得所需要的正交性方程式:

把式(16)及簡支梁振型函數(shù)代入式(9)中并應(yīng)用式(19)可以得到:

假設(shè)分布荷載q(x，t)在時間上與空間上可分離，可令:

把式(21)代入式(20)中積分可得:

設(shè)功能梯度材料梁的初始條件為:

由式(23)可以確定:

若作用在梁上的外擾力為沿梁長為均勻分布的簡諧干擾力 q(x，t)=q0sinΩt，利用式(22)可以求得:

若在簡支梁x=l0處作用有一簡諧干擾力P0sinΩt，則有 q(x，t)=P0δ(x － l0)，利用式(22)可以得到:

3 算例分析及討論

為了分析簡支功能梯度材料梁的動力特性，取梁長 l=1 m，b=0.22 m，h=0.27 m，l0=0.5 m，Ω =8 rad/s。金屬材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為 Em=70 GPa、Gm=26.92 GPa、ρm=2.7 ×103kg/m3。陶瓷材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為Ec=380 GPa、Gc=146.15 GPa、ρc=2.5 × 103kg/m3、μ =5/6。

分別采用有限元和本文方法計算簡支功能梯度材料梁固有頻率值，計算結(jié)果如表1所示。在圖2—圖5中假設(shè)初始條件 Ti(0)、(0)皆等于零時，采用及式(25)、式(26)進行計算得到了簡支功能梯度材料梁中點處的動力曲線。具體計算結(jié)果可見表1及圖2—圖5。

圖2 動力響應(yīng)曲線(q0=1 000 N/m，k=0.5)Fig.2 The dynamic responsecurve(k=0.5)

圖3 動力響應(yīng)曲線q0=1 000 N/mFig.3 The dynamic response curve

圖4 動力響應(yīng)曲線(P0=1 000 N，k=0.5)Fig.4 The dynamic response curve(k=0.5)

圖5 動力響應(yīng)曲線(P0=1 000 N)Fig.5 The dynamic response curve

表1 簡支功能梯度材料梁固有頻率ωi(rad/s)Tab.1 Natural frequency of simply supported beam with functionally graded materials

由表1可以知道采用Timoshenko梁修正理論計算的固有頻率與有限元法計算的固有頻率非常接近。這說明采用Timoshenko梁修正理論計算梁的固有頻率是比較合理的。

由表1及圖3、圖5可以看出，隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁固有振動頻率將變大。而隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁在均布載荷作用下動力響應(yīng)曲線的幅值將變大、在集中載荷作用下動力響應(yīng)曲線的幅值將變小。

由表1及圖2、圖4還可知道，如按有關(guān)文獻不確定功能梯度材料梁中性軸的真實位置，而是假設(shè)功能梯度材料梁相對于中性面具有幾何和彈性對稱，來研究功能梯度材料梁的固有振動及動力響應(yīng)，得到的固有頻率將偏大。同時確定功能梯度材料梁中性軸的真實位置后，在均布載荷作用下功能梯度材料梁動力響應(yīng)曲線的幅值將偏大，而在集中載荷作用下功能梯度材料梁動力響應(yīng)曲線的幅值將偏小。所以，功能梯度材料梁中性軸位置對功能梯度材料梁的固有振動及動力響應(yīng)有較大的影響，這一點由由表1及圖2～圖5看出。

4 結(jié)論

由以上分析可以得到以下結(jié)論:

(1)采用Timoshenko梁修正理論計算梁的固有頻率是比較合理的。

(2)隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁固有振動頻率將變大。而隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁在均布載荷作用下動力響應(yīng)曲線的幅值將變大、在集中載荷作用下動力響應(yīng)曲線的幅值將變小。

(3)功能梯度材料梁中性軸位置對功能梯度材料梁的固有振動及動力響應(yīng)有較大的影響。

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