基于主分量子空間的設(shè)備狀態(tài)診斷研究

劉永斌，何清波，吳 強(qiáng)，李 鵬，胡 飛，孔凡讓

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，合肥 230026)

機(jī)械設(shè)備如齒輪箱、軸承、發(fā)動機(jī)等在工業(yè)應(yīng)用中扮演著非常重要的角色。設(shè)備狀態(tài)診斷可以及時(shí)有效地辨識設(shè)備狀態(tài)，減少設(shè)備停機(jī)，保證設(shè)備高效運(yùn)行。振動信號蘊(yùn)含著豐富的設(shè)備狀態(tài)信息，適合于提取可靠的特征進(jìn)行狀態(tài)識別［1]。目前振動信號的時(shí)域、頻域和時(shí)頻域特征提取技術(shù)得到了很大發(fā)展，研究者總希望提取更多的有效特征參數(shù)進(jìn)行故障分類和診斷。但是采用特征參數(shù)太多會影響模式分類的計(jì)算代價(jià)甚至分類精度［2]。而且它們所反映的狀態(tài)規(guī)律性、敏感性，和模式聚類性、可分性并不相同，在特征分析基礎(chǔ)上提取規(guī)律性好、敏感性強(qiáng)的特征表示非常需要且極具挑戰(zhàn)性［2，3]。

主分量分析(Principal component analysis，PCA)是一種通用的多元統(tǒng)計(jì)方法，在信息壓縮和數(shù)據(jù)相關(guān)性消除方面非常有效，被廣泛用于人臉、字符等特征提取中［4，5]。PCA的這些優(yōu)點(diǎn)也被引入設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與診斷中。Malhi［2]基于PCA提出一種特征抽取方案以保證從多個(gè)原始特征中選擇最有效的特征來進(jìn)行軸承狀態(tài)分類。Baydar［6]運(yùn)用基于PCA的多元統(tǒng)計(jì)方法建立了一個(gè)正常狀態(tài)模型進(jìn)行齒輪箱狀態(tài)監(jiān)測。He［7]探討了設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測中主分量特征的有效選取。同時(shí)，子空間法模式識別也具有很多優(yōu)點(diǎn)，它可以將特征提取和模式分類兩步合在一步內(nèi)完成，計(jì)算方便快捷［8]。本文結(jié)合PCA和子空間法研究基于主分量子空間的設(shè)備狀態(tài)診斷，探討兩種主分量子空間結(jié)構(gòu)來表達(dá)和分類設(shè)備的狀態(tài)。在齒輪箱診斷應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)表明，所提出的設(shè)備狀態(tài)診斷方法非常有效，且計(jì)算方便。

1 PCA特征提取

PCA的基本思想是尋找高維數(shù)據(jù)的一些主分量表示，這些分量具有最大方差，用它們表示原始數(shù)據(jù)具有最小的均方誤差。

設(shè)有模式向量矩陣X，其列向量xi為某一狀態(tài)樣本對應(yīng)的d維模式向量，則可以得到該矩陣的協(xié)方差矩陣為:

對RX做特征值分析，通過求解下式:

其中λ和v分別是RX的特征值和特征向量，得到d個(gè)特征值 λi(i=1，2，…，d)，且 λ1＞λ2＞… ＞ λd，以及對應(yīng)的特征向量vi(i=1，2，…，d)。樣本x投影到特征向量vi上得到相應(yīng)的主分量特征:

模式向量X投影到所有特征向量張成的d維正交空間得到d維主分量特征。原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息通常保留在前面少數(shù)幾個(gè)主分量中，因而可以僅用m(m＜d)個(gè)特征向量組成一個(gè)正交特征子空間。該特征子空間相比原始模式空間具有降維的優(yōu)勢，可以近似表示原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，且不會影響分類的精度。

2 主分量子空間結(jié)構(gòu)

子空間可以看作是由一些特征矢量作為坐標(biāo)軸的模式點(diǎn)集。子空間法模式識別被廣泛應(yīng)用于語音［8]、人臉［9]、字符［10]、系統(tǒng)辨識［11]等模式識別研究中。下面探討兩種用于設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測和診斷的主分量子空間結(jié)構(gòu)。

2.1 壓縮子空間結(jié)構(gòu)

用原始模式空間中包含所有類別的樣本訓(xùn)練來構(gòu)造的子空間稱為壓縮子空間。該結(jié)構(gòu)壓縮了樣本集的絕大部分變化信息，表達(dá)了類別之間的本質(zhì)區(qū)別，不同類別的樣本形成一個(gè)聚類并占據(jù)著子空間中不同的區(qū)域。

設(shè)訓(xùn)練模式矩陣X中的d維模式向量xi分屬于q個(gè)類別j=1，…，q}，則對于樣本集1，…，N}(ci表示模式 xi的類別)，其模式均值為:

協(xié)方差矩陣為:

其中N是訓(xùn)練樣本數(shù)。通過(3)式求得R的特征值和特征向量。主特征矢量表示為i=1，…，m}(m＜d)，作為坐標(biāo)軸展開子空間，樣本投影到特征矢量上得到相應(yīng)的主分量特征。這種PCA特征記作PCA1。同類別樣本的PCA1特征具有一定的聚類特性，每種狀態(tài)類的聚類中心采用模糊c均值聚類分析［10](FCMC)來計(jì)算。這些聚類中心用于輸入測試樣本的分類。

測試時(shí)，模式x首先投影到訓(xùn)練好的壓縮子空間上得到其PCA1特征表示，然后計(jì)算它與各類別之間的相似度。相似度用下面的余弦距離來測量:

其中Ftest和Ftrain分別是測試樣本和訓(xùn)練類中心的PCA1特征，測試模式被分到具有最大相似度的類。

2.2 類屬子空間結(jié)構(gòu)

用每類訓(xùn)練樣本分別建立一個(gè)子空間，對某個(gè)類別的子空間，該類樣本分布在子空間原點(diǎn)附近形成聚類，其它類樣本則會偏離原點(diǎn)，且分布聚類性和規(guī)律性也沒有保障，故稱其為類屬子空間結(jié)構(gòu)。

同樣對上述訓(xùn)練模式矩陣X，摘取類Cj的樣本集i=1，…，Nj}(ci表示模式 xi的類別，Nj是該類樣本數(shù))，則Cj類屬子空間可以由下面的協(xié)方差矩陣得到:

其中:

是Cj類屬模式均值。通過(3)式求得Rj的特征值和特征向量。選取m(m＜d)個(gè)主特征矢量i=1，…，m}，反映了Cj類數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用來作為該類屬子空間的坐標(biāo)軸系。把樣本投影到某類屬子空間主特征矢量上得到該子空間的主分量特征，記作PCA2。

測試時(shí)，樣本x依次投影到訓(xùn)練好的每個(gè)類屬子空間上，得到其PCA2特征表示，然后分別計(jì)算在每個(gè)子空間上的投影距離:

由于屬于某類的樣本與該類通常距離很小，而不屬于該類的樣本則與該類距離較大，測試模式被分到具有最小投影距離的類。

3 實(shí)例分析

采用某汽車變速齒輪箱為研究對象獲得振動數(shù)據(jù)，振動信號由安裝在三檔齒輪箱外殼上的加速度傳感器獲取，經(jīng)放大后，由A/D卡采集并存儲到計(jì)算機(jī)，采樣頻率為3 000 Hz。設(shè)定轉(zhuǎn)速為1 600 r/min，三檔齒輪的嚙合頻率經(jīng)計(jì)算為500 Hz。施加負(fù)載255 N·m，對該齒輪箱進(jìn)行了疲勞試驗(yàn)，共進(jìn)行了六個(gè)循環(huán)，三檔齒輪經(jīng)過了正常、輕微磨損、嚴(yán)重磨損并發(fā)生斷齒故障。分別抽取齒輪正常、輕微磨損和嚴(yán)重磨損階段振動信號各80組進(jìn)行分析，其中50組用于訓(xùn)練，30組用于測試。樣本集與其所屬的齒輪狀態(tài)的對比關(guān)系見表1所示。

表1 樣本與齒輪狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系Tab.1 Corresponding relations between samples and gearbox conditions

3.1 振動信號模式特征

齒輪箱振動是一種復(fù)雜的隨機(jī)過程，很難用確定的時(shí)間函數(shù)表達(dá)，對其狀態(tài)監(jiān)測和診斷時(shí)需要進(jìn)行特征分析，提取能夠反映狀態(tài)信息的模式特征。較常用且有效的特征是時(shí)域和頻域的統(tǒng)計(jì)特征。

為了消除操作環(huán)境及傳感器因素對數(shù)據(jù)的影響，使信號分析結(jié)果有一個(gè)客觀、公正的標(biāo)準(zhǔn)，對所測振動信號進(jìn)行了均值—方差標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)處理。預(yù)處理后的信號具有零均值和單位方差。三種齒輪狀態(tài)的典型振動信號如圖1所示，從圖中并看不出它們之間的區(qū)別。而從圖2所示的頻率圖上來看，齒輪嚙合頻率500 Hz附近的能量反映狀態(tài)差異的規(guī)律不明顯，250 Hz～300 Hz附近的能量分布則呈現(xiàn)出逐步遞增的趨勢。頻譜上的變化可以在一定程度上反映出不同階段磨損的特征。

據(jù)以上分析，本文提取振動信號的時(shí)域和頻域統(tǒng)計(jì)特征來全面表達(dá)齒輪狀態(tài)的模式特征。①時(shí)域統(tǒng)計(jì)特征。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)化后的時(shí)域信號對不同狀態(tài)的反映不明顯，首先采用非平穩(wěn)信號分析工具小波包變換來對280 Hz所在的小波包系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，以消減背景噪聲、得到敏感的狀態(tài)特征信息。然后提取絕對均值、最大峰值、有效值、方根幅值、方差、峭度、峰值因子、波形因子、脈沖因子、裕度因子等10個(gè)時(shí)域統(tǒng)計(jì)參數(shù)［1]。②頻域統(tǒng)計(jì)特征。均值—方差標(biāo)準(zhǔn)化的信號變換到頻域，分成8個(gè)頻帶分別計(jì)算各頻帶的功率譜能量。在頻域提取各頻帶的功率譜能量以及它們的均值、頻率重心、譜方差、譜峰、譜峭度等13個(gè)統(tǒng)計(jì)特征［3]。這樣總共提取出23個(gè)特征指標(biāo)表示振動信號的模式特征。這些特征表達(dá)齒輪狀態(tài)的規(guī)律性和敏感性都不相同，同時(shí)也具有一定的冗余性。主分量子空間技術(shù)正是從這些原始特征中消除相關(guān)和冗余、提取更加敏感和穩(wěn)定的特征來表達(dá)齒輪箱狀態(tài)。

3.2 狀態(tài)診斷:應(yīng)用主分量壓縮子空間法

如前所述，用含三種狀態(tài)的所有訓(xùn)練樣本來建立一個(gè)壓縮子空間。為了使結(jié)果可視化，我們提取了兩維子空間結(jié)構(gòu)，用對應(yīng)兩個(gè)最大特征值的特征向量來展開。計(jì)算顯示，這兩個(gè)特征值占有了所有特征值的83.3%比例。所有訓(xùn)練樣本投影到該子空間上得到兩維PCA1特征，如圖3(a)所示。可以看出，每個(gè)類都有明顯的聚類，并占據(jù)了子空間的不同的區(qū)域。這顯示了PCA具有優(yōu)越的特征提取能力，用壓縮子空間法提取的子空間很好地表達(dá)了各個(gè)狀態(tài)的本質(zhì)特征。

用FCMC技術(shù)計(jì)算對應(yīng)三個(gè)狀態(tài)的聚類均值，如圖3(a)所示。三個(gè)聚類中心有效表示了三個(gè)狀態(tài)類別的均值，可以代表每個(gè)類用于測試樣本的狀態(tài)分類。

圖3 訓(xùn)練樣本和測試樣本分別在兩維壓縮子空間上的投影Fig.3 Projection on two-dimensional compression subspace of(a)training and(b)testing samples

現(xiàn)在用已得到的子空間來監(jiān)測測試樣本的狀態(tài)。首先測試樣本用訓(xùn)練樣本的均值和方差進(jìn)行標(biāo)定，然后投影到建立好的子空間上，得到兩維PCA1特征表示，如圖3(b)所示。圖中的三個(gè)均值與圖3(a)的相同，從圖3(b)中可見，不同狀態(tài)測試樣本的投影分別聚集在相應(yīng)的三個(gè)狀態(tài)的均值附近，這說明了PCA1子空間對類別表達(dá)的有效性。

下面用余弦距離來計(jì)算測試樣本與三個(gè)聚類中心的相似度，圖4是結(jié)果的柱狀圖表示。從圖4中可見，正常狀態(tài)樣本與正常狀態(tài)類別的余弦相似度最大，其它兩類樣本也都與各自類別的余弦相似度最大，而且它們的值都接近為1，其它情況的余弦值基本都是負(fù)的。經(jīng)過診斷，測試樣本得到了正確的分類結(jié)果，所以壓縮子空間可以非常有效的用于齒輪狀態(tài)的識別和分類中。

3.3 狀態(tài)診斷:應(yīng)用主分量類屬子空間法

如前所述，分別用每種狀態(tài)的訓(xùn)練樣本來建立一個(gè)該類別的類屬子空間。對每個(gè)狀態(tài)類都提取了兩維子空間結(jié)構(gòu)，用對應(yīng)兩個(gè)最大特征值的特征向量來展開。所有訓(xùn)練樣本投影到每個(gè)子空間上得到其兩維PCA2特征，如圖5左側(cè)所示。從圖中可以看到，每個(gè)狀態(tài)的類屬子空間中，該狀態(tài)樣本都聚集在子空間原點(diǎn)附近，兩維特征均具有零均值;其它兩類則沒有這樣的性質(zhì)。這說明類屬子空間可以有效表達(dá)類別的特征。

用上面得到的三個(gè)類屬子空間來診斷測試樣本的狀態(tài)。首先測試樣本分別用每個(gè)子空間所屬類的訓(xùn)練樣本的均值和方差進(jìn)行標(biāo)定，然后投影到該子空間上得到兩維PCA2特征表示，如圖5右側(cè)所示。從圖5中可見，測試樣本和訓(xùn)練樣本在每個(gè)子空間都有著一致的分布。這說明了PCA2子空間對類別表達(dá)的有效性。

用類屬子空間上的投影距離進(jìn)一步診斷測試樣本的類別。圖6是測試樣本在各個(gè)子空間上的投影距離的柱狀圖表示，從中可以看出，每個(gè)狀態(tài)類樣本都與各自類別子空間的投影距離最小，而且它們的值都比較穩(wěn)定，其它情況的投影距離則都較大。根據(jù)投影距離越小相似度越大的準(zhǔn)則，測試樣本得到了正確的分類結(jié)果，所以類屬子空間也可以非常有效地用于齒輪狀態(tài)診斷中。

圖6 測試樣本與三個(gè)類屬子空間的投影距離Fig.6 Projection distances of testing samples onto three class-specific subspaces

4 結(jié)論

本文結(jié)合PCA和子空間法研究了基于主分量子空間的設(shè)備狀態(tài)診斷，探討了壓縮子空間和類屬子空間兩種主分量子空間結(jié)構(gòu)來表達(dá)和分類設(shè)備的狀態(tài)。所提出的設(shè)備狀態(tài)診斷方法具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):①能夠提取穩(wěn)定有效的設(shè)備狀態(tài)低維特征表示，②能夠以低代價(jià)有效進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測和診斷。針對某一汽車變速齒輪箱的實(shí)例分析表明，兩種主分量子空間法都獲得了良好的結(jié)果，可以有效用于齒輪箱的狀態(tài)診斷中。兩種方法比較起來，壓縮子空間的訓(xùn)練代價(jià)比類屬子空間大。當(dāng)監(jiān)測中增加類別數(shù)時(shí)，前者需要重新對所有樣本進(jìn)行訓(xùn)練，而后者只需要對新類別的樣本數(shù)據(jù)來訓(xùn)練一個(gè)新的子空間。所以類屬子空間比較適合動態(tài)的狀態(tài)監(jiān)測與診斷。本文方法具有一定的通用性，也適用于軸承等其它部件或噪聲等其它采集信號的狀態(tài)診斷中。

［1] 陳克興，李川奇.設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷技術(shù)［M] .北京:科學(xué)技術(shù)出版社，1991.

［2] Malhi A，Gao R.PCA-based feature selection scheme for machine defect classification［J] .IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2004，53:1517 －1525.

［3] 溫熙森，胡蔦慶，邱 靜.模式識別與狀態(tài)監(jiān)控［M] .長沙:國防科技大學(xué)出版社，1997.

［4] JolliHe I J.Principal component analysis［M] .Springer，New York，1986.

［5] Turk M，Pentland A.Face recognition using eigenfaces［C] .Proc.IEEE Conf.on Comp.Vision and Patt.Recog.，1991，586－591.

［6] Baydar N，Chen Q，Ball A，et al.Detection of incipient tooth defect in hhelical gears using multivariate statistics［J] .Mechanical Systems and Signal Processing， 2001， 15:303－321.

［7] He Q，Yan R，Kong F，et al.Machine condition monitoring using principal component representations［J] .Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23(2):446－466.

［8] Oja E.Subspace methods of pattern recognition［M] .Research Studies Press，UK，1983.

［9] Franco A，Lumini A，Maio D，et al.An enhanced subspace method for face recognition［J] .Pattern Recognition Letters，2006，27:76－84.

［10] Liu C L，Sako H.Class-specific feature polynomial classifier for pattern classification and its application to handwritten numeral recognition ［J] .Pattern Recognition，2006，39:669－681.

［11] 楊 春，歐進(jìn)萍.子空間系統(tǒng)辨識方法的系統(tǒng)階數(shù)估計(jì)［J] .振動與沖擊，2009，28(11):13－16.