基于自適應(yīng)蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法研究

李志農(nóng)，唐高松，肖堯先，鄔冠華

(1.南昌航空大學(xué) 無損檢測技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063;2.鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，鄭州 450001)

蟻群優(yōu)化(Ant Colony Optimization，ACO)算法是20世紀(jì)90年代意大利學(xué)者Dorigo［1]提出的一種新型模擬進(jìn)化算法。它具有較強(qiáng)的魯棒性、良好的搜索性能和并行運(yùn)算能力。其研究已經(jīng)滲透到許多應(yīng)用領(lǐng)域，為多維動態(tài)優(yōu)化問題提供了一種新的智能方法?；赩olterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識已經(jīng)成為當(dāng)前非線性研究領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)，該模型的辨識實(shí)質(zhì)上是一個優(yōu)化問題，基于此，我們把蟻群優(yōu)化引入到非線性Volterra級數(shù)模型辨識中，提出了一種基于蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識方法［2]，該方法與傳統(tǒng)的基于最小二乘算法的Volterra級數(shù)模型辨識方法相比，它克服了傳統(tǒng)方法要求目標(biāo)函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，對測量噪聲很敏感，且需要利用梯度信息等缺陷。

然而，隨著研究不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)，基于蟻群優(yōu)化的Volterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識方法存在一些不足，如在算法，蟻群中多個個體的運(yùn)動是隨機(jī)的，當(dāng)群體規(guī)模較大時，要找出一條較好的路徑需要較長的搜索時間，另外，在算法中采用了正反饋機(jī)理，正反饋過強(qiáng)，很容易使優(yōu)化過程陷于局部極小，正反饋強(qiáng)度過小，則使運(yùn)行速度過慢，要得到最優(yōu)解，往往需要很長的尋優(yōu)時間。

針對基于蟻群優(yōu)化的Volterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識方法存在的以上不足，本文將自適應(yīng)的蟻群算法引入到非線性系統(tǒng)的Volterra時域核辨識中，提出了一種基于自適應(yīng)蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法。通過自適應(yīng)地改變記憶因子、揮發(fā)因子以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，使得本算法在搜索前期具有較大的隨機(jī)性，提高全局搜索能力，在搜索后期，降低隨機(jī)性，使算法能快速收斂。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)蟻群優(yōu)化Volterra核辨識算法對比，本文提出的算法的收斂速度與魯棒抗噪性能有了明顯提高，并具有同樣好的收斂精度。

1 非線性系統(tǒng)Volterra級數(shù)模型的建立

Volterra級數(shù)模型已成為研究非線性系統(tǒng)的強(qiáng)有力的模型之一，它是線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)模型對非線性系統(tǒng)的直接擴(kuò)展，能夠描述一大類非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)的Volterra時域、頻域核屬于非參數(shù)模型，它不依賴于系統(tǒng)的輸入，因而完全反映了系統(tǒng)的本質(zhì)特性。

設(shè)非線性系統(tǒng)可用記憶長度為M的N階Volterra級數(shù)模型近似描述，其離散截斷形式的Volterra級數(shù)模型可以描述為［3，4]:

其中，hn(m1，…，mn)稱為非線性系統(tǒng)的 n階 Volterra時域核，又稱為廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)。hn(m1，…，mn)具有對稱性，且對稱性是唯一的，利用Volterra核的對稱性，可大大減小用Volterra級數(shù)模型描述非線性系統(tǒng)所需的參數(shù)數(shù)目，從而可大大減小計算量。

式(1)可以寫成以下形式:

式中，Y為輸出觀測向量，U為輸入矩陣，H為非線性系統(tǒng)Volterra核向量。Y，U，H的表達(dá)式如下;

由式(2)可知，Volterra核向量的辨識實(shí)質(zhì)是一個最優(yōu)參數(shù)估計問題，利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)可以辨識Volterra核向量。在此，我們采用自適應(yīng)蟻群優(yōu)化算法來求解Volterra核向量。

2 自適應(yīng)蟻群優(yōu)化算法

普通蟻群算法是通過增加行經(jīng)路徑上的信息素的辦法來強(qiáng)化較好的解。搜索開始時，信息素的分布是分散的，在算法進(jìn)化一定的迭代步數(shù)后，信息素會集中到少數(shù)邊上，搜索方向也隨之基本上確定下來。當(dāng)某些邊上的信息素強(qiáng)度明顯高于其余邊時，導(dǎo)致在搜索時，總是在少數(shù)幾條邊上進(jìn)行，這樣就會使解的結(jié)構(gòu)過于相似，搜索過程也會停頓下來，算法容易陷入局部最優(yōu)解而無法跳出。

為了解決這個問題，提出了自適應(yīng)蟻群算法(Adapt ant colony optimization，簡稱 AACO)，根據(jù)解的搜索情況，動態(tài)地自適應(yīng)調(diào)整信息素以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子。

在進(jìn)化前期，設(shè)定較大的信息素?fù)]發(fā)因子及較小的狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子，使蟻群搜索的隨機(jī)性增加，使其可以充分搜索到全局最優(yōu)解的方向。進(jìn)化一定代數(shù)后，蟻群得到最優(yōu)解的大致方向，此時自適應(yīng)調(diào)整揮發(fā)因子及轉(zhuǎn)移因子，減少搜索的隨機(jī)性，蟻群就可以充分地展開局部搜索，得到最優(yōu)解。

假設(shè)要求Volterra核的有效位為a位，第i個核向量hi可以用a個十進(jìn)制數(shù)來近似表示，就可以構(gòu)造如下a×i×10+2個“城市”。城市一共有a×i+2層。第一層和最后一層分別僅含一個城市。中間a×i層，從上往下分別表示核向量hi的第一位有效數(shù)字、第二位有效數(shù)字，…，這些城市中，只有n－1與n層(n∈［2，a+2] )之間的各個城市有連接通路。設(shè)n－1層中代表十進(jìn)制數(shù)p的城市與n層代表十進(jìn)制數(shù)q的城市之間的連接上殘留的信息量為螞蟻k在一次循環(huán)中的第n層所在的城市用E(k，n)表示。當(dāng)螞蟻k由當(dāng)前所在城市E(k，n－1)=p移動到下一步到達(dá)的城市時，根據(jù)如下公式選擇［5]:

其中，f是［0，1] 區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，F(xiàn)0(t)稱為為狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子，Srand表示用隨機(jī)選擇來確定下一步要移動到的城市，即根據(jù)式(7)計算第n層中每個城市的概率，然后用輪盤賭選擇法確定要移動到的城市:

其中，v(p，q)表示從當(dāng)前層的城市p轉(zhuǎn)移到下一層的城市q的概率。

在式(6)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子F0(t)是一個非常重要的參數(shù)。在基于蟻群優(yōu)化的Volterra核向量辨識方法中，F(xiàn)0(t)是一個［0，1] 上的常數(shù)，缺乏自適應(yīng)。在本文的算法中，F(xiàn)0(t)的選擇如下:

其中，ε是正參數(shù)，控制F0(t)的上升速度。F0(t)從0逐漸升高到Fmax。

算法初期，F(xiàn)0(t)較小，f有較大概率大于F0(t)。有很大概率選取式(6)的下半部分，即計算轉(zhuǎn)移到每個城市的概率，然后用輪盤賭選擇法確定要移動到的城市，體現(xiàn)了隨機(jī)性。算法后期，F(xiàn)0(t)較大，f有較大概率會小于F0(t)。因此有很大概率選取式(6)的上半部分，即哪條路徑上的信息素最大，就選擇哪條路徑，體現(xiàn)了確定性。

在螞蟻經(jīng)過的路徑上，按下式進(jìn)行信息素的更新。

其中，τ0為信息素的初始化值，ρ為信息素的揮發(fā)因子。

信息素?fù)]發(fā)因子ρ也是一個非常重要的參數(shù)，在基于蟻群優(yōu)化的Volterra核向量辨識方法中，ρ是一個為［0，1] 上的常數(shù)，缺乏自適應(yīng)性。而在本文的自適應(yīng)算法中，ρ的自適應(yīng)調(diào)整如下［6]:

其中:ρmin是預(yù)設(shè)的ρ的最小值，以防ρ太小導(dǎo)致信息素過度堆積;λ是預(yù)設(shè)的衰減常數(shù).通過式(10)，信息素?fù)]發(fā)因子ρ從最大值隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，慢慢變小，但又不會低于ρmin，導(dǎo)致信息素過度堆積。與基本蟻群優(yōu)化算法中的揮發(fā)因子選擇方法對比可以發(fā)現(xiàn)，ρ在進(jìn)化初期取較大值，增加了搜索的隨機(jī)性，利于找到全局最優(yōu)解的大致方向，ρ在進(jìn)化后期逐漸變小，降低算法隨機(jī)性，利于局部搜索。顯示了本文算法的獨(dú)特優(yōu)勢。

當(dāng)所有螞蟻都走完一遍時，就開始信息素的全局更新。首先根據(jù)螞蟻的行經(jīng)路徑，以及式(5)，計算出螞蟻k得到的核向量:

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，找出對應(yīng)函數(shù)值最小的最優(yōu)螞蟻:

其中，H(k)為第k只螞蟻的行經(jīng)路徑解碼得到的核向量;D［H(k)] 為所求解問題的目標(biāo)函數(shù)。

然后對最優(yōu)路徑上的信息素按式(12)進(jìn)行全局更新:

其中 g=E(kmin，n －1)，h=E(kmin，n)，n∈［2，a+2] ，α為信息素的累積速度。它為［0，1] 上的常數(shù)。

重復(fù)以上步驟直到設(shè)定的循環(huán)次數(shù)或得到的解在一定的循環(huán)次數(shù)后沒有得到進(jìn)一步的改善為止。

3 基于AACO的Volterra核辨識步驟

由式(2)可以看出，利用式(2)求解Volterra級數(shù)核，實(shí)際上就是尋求一組n維的核向量使得y－最小。構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù):

其中，L表示系統(tǒng)的輸入輸出的數(shù)據(jù)長度。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)D［H(k)] 取得最小時，即為最優(yōu)螞蟻。算法具體步驟如下:

(1)初始化:用一個較小的值τ0初始化所有的

(2)將所有螞蟻置于第一層唯一的一個城市。即令E(k，1)=0(k=1，2，…，K0)，其中，K0為螞蟻總數(shù)。

圖1 基于AACO的Volterra核辨識算法Fig.1 Volterra kernel identification method based on the AACO

(3)根據(jù)式(6)和式(7)得到螞蟻k在第n層到達(dá)的城市E(k，N)。

(5)對每只螞蟻執(zhí)行步驟3和步驟4，直到每只螞蟻都到達(dá)最后一層。

(6)根據(jù)式(12)找出最優(yōu)螞蟻kmin，并用式(13)進(jìn)行最優(yōu)路徑的信息素濃度更新。

(7)根據(jù)式(8)，式(10)自適應(yīng)調(diào)整信息素?fù)]發(fā)因子ρ(t)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子F0(t)。

(8)判斷是否達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)，達(dá)到則輸出結(jié)果，否則轉(zhuǎn)向步驟2。

4 仿真研究

考慮如下的二階非線性模型:

由Volterra理論得，該非線性系統(tǒng)的核矢量H=［3，4，2.7，6.9，6.4，0，0，5.7，2.8，0]

在本文的算法中，選取的參數(shù)為 α=0.8，λ=0.95，ε =0.5，a=3，F(xiàn)max=0.9，τ0=0.01，K0=40，循環(huán)次數(shù)為200次。

輸入信號為方差為1的白噪聲信號。輸入、輸出疊加不同程度的噪聲干擾，采用二階Volterra級數(shù)模型對該非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模。

首先，我們來考察本文算法的辨識精度和抗噪性能，表1給出了無噪聲情況下，本文提出的辨識方法得到的Volterra核參數(shù)的估計值，為了比較，也給出了基于傳統(tǒng)蟻群算法所得到的Volterra核參數(shù)的估計值。

表1 無噪聲情況下Volterra核參數(shù)的估計值Tab.1 The Volterra kernel estimation under the free-noise environment

由表1可知，在無噪聲的干擾下，不論是本文的辨識方法，還是基本蟻群辨識算法，Volterra核參數(shù)的估計值和實(shí)際真值都完全一致，自適應(yīng)蟻群辨識算法與基本蟻群辨識算法一樣，都得到了非常高的辨識精度。

同時，我們也考察了輸入輸出端加入不同程度干擾下的Volterra核參數(shù)的辨識精度和該算法的抗噪能力，表2給出了信噪比20 dB下，自適應(yīng)蟻群優(yōu)化辨識方法和基本蟻群優(yōu)化辨識方法得到的Volterra核參數(shù)的估計值。

由表2可知，在輸入、輸出端加入20 dB噪聲干擾下，Volterra核參數(shù)的估計值與真值之間的誤差非常小，并沒有因?yàn)樵肼暤母蓴_而對辨識精度產(chǎn)生影響，不論是自適應(yīng)蟻群辨識算法，還是基本蟻群辨識方法，Volterra核參數(shù)的辨識結(jié)果還是非常滿意的。體現(xiàn)了本文提出的算法具有較強(qiáng)的魯棒抗噪性。

表2 SNR=20 d B時Volterra核參數(shù)的估計值Tab.2 The Volterra kernel estimation(SNR=20 dB)

接下來，討論本文提出的方法的收斂的穩(wěn)定性和快速性。圖2給出了無噪聲的情況下，基本蟻群辨識算法和自適應(yīng)蟻群辨識算法分別得到的一階核參數(shù)h1(0)，二階核參數(shù)h2(1，2)的收斂曲線。這兩個參數(shù)的真值分別為 h1(0)=3.4，h2(1，2)=2.8。

圖3給出了信噪比20 dB的情況下，基本蟻群算法和自適應(yīng)蟻群算法分別得到的一階核參數(shù)h1(0)和二階核參數(shù)h2(1，2)的收斂曲線。

從Volterra核的收斂曲線來看，不論是在無噪聲環(huán)境下，還是在有噪聲干擾下，本文算法和基本蟻群算法都具有很好的收斂性和穩(wěn)定性。而本文方法的收斂速度明顯快于基本蟻群算法。其他參數(shù)的收斂曲線，同樣能反映出AACO算法的優(yōu)勢。這是因?yàn)榛谙伻簝?yōu)化的Volterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識方法中，蟻群中多個個體的運(yùn)動是隨機(jī)的，當(dāng)群體規(guī)模較大時，要找出一條較好的路徑需要較長的搜索時間，另外，在算法中采用了正反饋機(jī)理，正反饋過強(qiáng)，容易使優(yōu)化過程陷于局部極小，正反饋強(qiáng)度過小，則使運(yùn)行速度過慢，要得到最優(yōu)解，往往需要很長的的尋優(yōu)時間。

圖2 無噪聲時h1(0)，h2(1，2)的收斂曲線Fig.2 The convergence curves of the volterra kernel vectorh1(0)，h2(1，2)under the free-noise environment

圖3 SNR=20dB時h1(0)，h2(1，2)的收斂曲線Fig.3 The convergence curves of the volterra kernel vector h1(0)，h2(1，2)(SNR=20dB)

而基于自適應(yīng)蟻群優(yōu)化的Volterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識方法能動態(tài)地自適應(yīng)調(diào)整信息素以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子，減少搜索的隨機(jī)性，從而，很好地克服了基本蟻群優(yōu)化的Volterra核向量辨識方法的不足。

5 結(jié)論

本文將自適應(yīng)蟻群算法引入到非線性系統(tǒng)的Volterra核辨識中，提出了一種基于自適應(yīng)蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法，并與基于蟻群優(yōu)化的Volterra級數(shù)模型的非線性系統(tǒng)辨識方法進(jìn)行了對比分析，仿真研究表明，不論是在無噪聲的干擾下，還是在有噪聲的干擾下，基于自適應(yīng)蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法與基于蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法都能得到非常好的辨識精度和魯棒抗噪性能，從收斂曲線來看，即使在噪聲的干擾下，兩種辨識方法的收斂過程平穩(wěn)，然而，相對來說，本文提出的基于自適應(yīng)蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法的收斂速度快于基于蟻群優(yōu)化的Volterra核辨識算法，這是因?yàn)楸疚奶岢龅姆椒軇討B(tài)地自適應(yīng)調(diào)整信息素以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子，減少搜索的隨機(jī)性，很好地克服了基本蟻群優(yōu)化的Volterra核向量辨識方法中因群體規(guī)模較大而運(yùn)行速度過慢的不足。本文的研究為非線性系統(tǒng)辨識提供了一種新的有效方法，具有重要的理論價值和實(shí)際應(yīng)用價值。

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