基于最小一乘準(zhǔn)則的GM(1,1)模型邊值分析

劉衛(wèi)鋒，何 霞

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，鄭州 450015）

0 引言

由GM(1,1)模型的白化微分方程可知，GM(1,1)模型的精度與參數(shù)a,u有著極大的關(guān)系，為此，文獻[1-6]對如何確定a,u作了研究.而文獻[7]通過對生成序列預(yù)測值x(1)(k)，原始序列預(yù)測值x(0)(k)的表達式進行分析，發(fā)現(xiàn)邊值條件的處理直接關(guān)系到預(yù)測效果，從而給出了邊值修正形式x(1)(1)=x(0)(1)+b，其中b為修正項.同時給出了使用均方誤差和最小準(zhǔn)則確定邊值修正的計算方法，即

準(zhǔn)則Ⅰ 選取b，使得生成序列新預(yù)測值的誤差在最小二乘意義下最小，即

準(zhǔn)則Ⅱ 選取b，使得原始序列新預(yù)測值的誤差在最小二乘意義下最小，即

顯然這兩個準(zhǔn)則皆使用最小二乘準(zhǔn)則來確定邊值修正項b，但是文獻[8]指出，在最小二乘準(zhǔn)則下，異常數(shù)據(jù)的誤差會得到放大，從使得穩(wěn)健性較差，并且在理論上加以證明，這說明了文獻[7]中確定邊值修正項的兩個方法并不是理想的準(zhǔn)則。

為此，本文提出將上述基于最小二乘的兩個準(zhǔn)則改為穩(wěn)健性較好的最小一乘準(zhǔn)則，從而得到基于最小一乘準(zhǔn)則的確定邊值修正項的灰色GM(1,1)模型.同時，本文給出了基于最小一乘準(zhǔn)則的確定邊值修正項的LINGO程序，從而使得計算極易實現(xiàn).最后，本文的計算實例表明，基于最小一乘準(zhǔn)則求解邊值修正項的可行性與有效性，從而拓展了灰色GM(1,1)模型的適用范圍。

1 基于最小一乘的邊值修正項確定

1.1 邊值修正項確定準(zhǔn)則

針對生成序列和原始序列，選取穩(wěn)健性較好的最小一乘準(zhǔn)則來確定邊值修正項.

準(zhǔn)則1選取b，使得生成序列新預(yù)測值的誤差在最小一乘意義下最小，即

準(zhǔn)則2選取b，使得原始序列新預(yù)測值的誤差在最小一乘意義下最小，即

1.2 邊值修正項確定的LINGO程序

盡管利用最小一乘準(zhǔn)則確定邊值修正項具有較好的穩(wěn)健性，但是求解最小一乘問題確實一個難點，為此，我們使用LINGO程序來確定邊值修正項.

基于準(zhǔn)則1的LINGO程序：

2 計算實例

仍然選擇文獻[7]中全國電視機產(chǎn)量作為研究對象.原始數(shù)據(jù)為X(0)=(3.23,6.94,10.07,17.70,18.13,20.05,48.77,132.14,247.92,517.40,553.74)。

現(xiàn)根據(jù)準(zhǔn)則1和準(zhǔn)則2兩種情況來求解修正項b，進行GM(1,1)模型分析。

第一種情況，以準(zhǔn)則1求出邊值修正項b=-27.04774，還原值為x(0)(k)=4.75039e0.482(k-1)。

第二種情況，以準(zhǔn)則1求出邊值修正項b=-27.78898，還原值為x(0)(k)=4.46690e0.482(k-1)。

現(xiàn)將根據(jù)準(zhǔn)則1和2得到的GM(1,1)模型計算結(jié)果與文獻[7]中根據(jù)準(zhǔn)則Ⅰ和Ⅱ及傳統(tǒng)GM(1,1)模型的計算結(jié)果列入表1進行對比.

表1計算結(jié)果顯示，使用文中的兩個最小一乘準(zhǔn)則得到的模型的平均相對誤差均比傳統(tǒng)GM(1,1)模型和兩個基于最小二乘準(zhǔn)則建立的GM(1,1)模型大大降低，同時最大相對誤差也均比傳統(tǒng)GM(1,1)模型和兩個基于最小二乘準(zhǔn)則建立的GM(1,1)模型有所降低，這說明了最小一乘準(zhǔn)則確定邊值修正項比最小二乘準(zhǔn)則有一定的優(yōu)勢。

表1 模型計算結(jié)果比較

3 結(jié)語

(1)使用最小一乘準(zhǔn)則計算灰色GM(1,1)模型的邊值修正項，建立了具有較好穩(wěn)健性的灰色GM(1,1)模型，提高了灰色GM(1,1)模型的精度，拓廣了灰色GM(1,1)模型的適用范圍。

(2)給出了基于最小一乘準(zhǔn)則的邊值修正項的LINGO程序，使得邊值修正項的求解易于實現(xiàn)。

(3)計算實例表明，基于最小一乘準(zhǔn)則的邊值修正項的灰色GM(1,1)模型具有更高的精度，從而說明了最小一乘準(zhǔn)則確定邊值修正項的可行性與有效性，同時也說明了最小一乘準(zhǔn)則比最小二乘準(zhǔn)則有一定的優(yōu)勢。

[1]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1990.

[2]劉思峰,黨耀國,方志耕等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M],北京:科學(xué)出版社，2010.

[3]莊恒揚.GM(1,1)建模機理與應(yīng)用條件分析及其改進方法[J].系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用.1993,2(3).

[4]羅榮桂，陳煒.灰色模型的一點改進及應(yīng)用.系統(tǒng)工程理論與實踐.1988,8(2).

[5]穆勇.灰色預(yù)測模型參數(shù)估計的優(yōu)化方法[J].青島大學(xué)學(xué)報.2003,16(3).

[6]田林亞,趙小飛,何習(xí)平.灰色模型GM(1,1)的穩(wěn)健算法及其應(yīng)用[J].吉首大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2006,27(4).

[7]張輝,胡適耕.GM(1,1)模型的邊值分析[J].華中科技大學(xué)學(xué)報.2001,19(4).

[8]馮守平.全最小一乘法[J].安徽大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2009,33(3).