閾值協(xié)整中內(nèi)生性解釋變量下參數(shù)推斷的比較

劉漢中

(湖南商學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，長沙 410205）

0 引言

目前，協(xié)整分析方法已經(jīng)成為宏觀經(jīng)濟(jì)或金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要工具之一，在大多數(shù)的協(xié)整分析中，主要集中在協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)和協(xié)整參數(shù)的估計(jì)兩個(gè)方面，而對(duì)協(xié)整參數(shù)向量的推斷或長期關(guān)系檢驗(yàn)(也常稱為參數(shù)的約束性檢驗(yàn))往往被忽視。實(shí)際上，對(duì)于協(xié)整參數(shù)的推斷有時(shí)候是十分必要的，如在購買力平價(jià)理論的檢驗(yàn)中，只有協(xié)整參數(shù)滿足一定的數(shù)量關(guān)系時(shí)購買力平價(jià)理論才成立，這樣必須對(duì)協(xié)整參數(shù)進(jìn)行約束性檢驗(yàn)，只有當(dāng)約束性條件成立時(shí)購買力平價(jià)理論才成立；在生產(chǎn)函數(shù)研究中，協(xié)整參數(shù)的推斷可以幫助我們判斷規(guī)模報(bào)酬是遞增、遞減或不變，如果參數(shù)之和大于1則認(rèn)為是規(guī)模報(bào)酬遞增的，這時(shí)同樣要對(duì)協(xié)整參數(shù)是否滿足約束性條件進(jìn)行檢驗(yàn)。

閾值協(xié)整(Threshold Cointegration)是由Balke和Fomby(1997)[1]提出來的，從目前的文獻(xiàn)來看，閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)仍然是采用OLS法，因?yàn)镺LS估計(jì)在閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)中仍然滿足超一致性。但是，根據(jù)Balke和Fomby(1997)的閾值協(xié)整定義[2]，參數(shù)的OLS估計(jì)量所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量必然呈現(xiàn)不同的性質(zhì)，因?yàn)樵陂撝祬f(xié)整方程式中，隨機(jī)干擾項(xiàng)本身蘊(yùn)含有非線性的自相關(guān)結(jié)構(gòu)，常規(guī)的OLS估計(jì)程序通常會(huì)低估統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤(Standard Error)，從而使得t統(tǒng)計(jì)量被高估，增大拒絕原假設(shè)的概率。同時(shí)由OLS估計(jì)量構(gòu)造的F或Wald統(tǒng)計(jì)量也會(huì)被高估，從而引起協(xié)整參數(shù)推斷的誤導(dǎo)。另外如果在閾值協(xié)整中，解釋變量具有內(nèi)生性時(shí)，同樣的問題是OLS估計(jì)量構(gòu)造的t、F或Wald統(tǒng)計(jì)量不再具有標(biāo)準(zhǔn)的極限分布，其極限分布也依賴于冗余參數(shù)，常規(guī)的t、F或Wald檢驗(yàn)已經(jīng)失去意義，因此對(duì)閾值協(xié)整參數(shù)的修正估計(jì)并由此構(gòu)造參數(shù)約束性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就顯得十分必要。本文擬這一研究背景下，利用三種修正的估計(jì)法來構(gòu)造相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，展開對(duì)閾值協(xié)整參數(shù)的推斷，目的在于揭示三種修正方法在閾值協(xié)整參數(shù)推斷中適用性。具體而言，在有限樣本下，我們將通過對(duì)各種閾值協(xié)整設(shè)定下的三種估計(jì)法(FM-OLS、CCR和DOLS)所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行模擬并與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行比較，找出各統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)之間的差距，找出影響各推斷方法與閾值協(xié)整參數(shù)設(shè)定和樣本容量變化的變化規(guī)律，揭示各種方法在閾值協(xié)整參數(shù)推斷中的適用性，從而提供適用于閾值協(xié)整參數(shù)推斷的估計(jì)方法。

1 閾值協(xié)整概述

其中Xt、Yt都是I(1)過程，μt是I(0)過程，且可以表示為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸過程。如果(1)式中的協(xié)整誤差項(xiàng)μt的數(shù)據(jù)生成過程(DGP)是以下閾值自回歸模型(TAR)：

根據(jù)Balke和Fomby(1997)的定義，有如下的模型：

其中：參數(shù)β是變量之間的閾值協(xié)整系數(shù)向量，γ是閾值變量，μt-1是轉(zhuǎn)換變量，則這時(shí)的協(xié)整被稱之為閾值協(xié)整。如果協(xié)整誤差項(xiàng)是形如式(2)的數(shù)據(jù)生成機(jī)制，則稱為兩機(jī)制的閾值協(xié)整；如果是形如式(3)的數(shù)據(jù)生成機(jī)制，則稱為三機(jī)制的閾值協(xié)整。閾值協(xié)整的誤差修正模型具有非線性調(diào)整機(jī)制，從而對(duì)變量短期變化產(chǎn)生不同的調(diào)節(jié)效應(yīng)，所以閾值協(xié)整對(duì)應(yīng)的ECM是長期均衡和短期波動(dòng)的非線性階梯函數(shù)，這種非線性調(diào)節(jié)對(duì)于檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)理論具有重要的意義(劉漢中，2007)。

如果上面的式(1)表示閾值協(xié)整時(shí)，隨機(jī)干擾項(xiàng)必須服從形如式(2)和(3)所示的TAR模型，且同時(shí)也要滿足平穩(wěn)性。對(duì)于TAR模型的平穩(wěn)性，Chan和Petruccelli等(1985)[3]提出了式(2)滿足平穩(wěn)遍歷的充分條件，即；ρ×q＜1,ρ,q＜1 Bec、Salem和Carrasco(2004)[4]提出了式(3)的平穩(wěn)遍歷性條件，即θ×λ＜1,θ,λ＜1，且不論中間機(jī)制數(shù)據(jù)過程是否為單位根過程。

2 閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)法以及相應(yīng)估計(jì)量的極限分布

2.1 FM-OLS估計(jì)及其估計(jì)量極限分布

其中隨機(jī)干擾項(xiàng)μ1t是形如式(2)或(3)所示的TAR模型，協(xié)整系統(tǒng)的隨機(jī)干擾項(xiàng)向量μ'=(μ'1,μ'2)'，協(xié)整向量表示為β'=(α,γ')'，μ的長期方差-協(xié)方差分塊矩陣可以表示為：

在（5）式中如果矩陣 Σ21不為0，說明閾值協(xié)整方程的隨機(jī)干擾項(xiàng)與解釋變量是相關(guān)的，即Y2t不滿足嚴(yán)格外生性，則閾值協(xié)整系數(shù)的OLS估計(jì)不再具有漸近的正態(tài)分布。

1t,2t分別表示協(xié)整系統(tǒng)的OLS估計(jì)殘差或殘差向量。將式(4)的閾值協(xié)整方程兩邊同時(shí)減去項(xiàng)得到：

根據(jù)Phillips和Hansen(1990)，我們很容易證明參數(shù)的FM-OLS估計(jì)量具有以下的極限分布：

其中是閾值協(xié)整模型在FM-OLS估計(jì)量下的隨機(jī)干擾項(xiàng)的長期方差。因此閾值協(xié)整參數(shù)的FM-OLS估計(jì)量的極限分布為正態(tài)的，由此所構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的極限分布，且對(duì)參數(shù)的約束性檢驗(yàn)所構(gòu)造的Wald統(tǒng)計(jì)量具有標(biāo)準(zhǔn)的極限分布。

2.2 正則協(xié)整回歸(CCR)法以及相應(yīng)的極限分布

基于(4)所示的三角形表述，長期的方差-協(xié)方差矩陣可以分解為：矩陣可以表示為則CCR方法的數(shù)據(jù)過程變換如下：

對(duì)(12)進(jìn)行OLS估計(jì)就是閾值協(xié)整參數(shù)的CCR估計(jì)量，同時(shí)在(12)式中已經(jīng)消除了內(nèi)生性。根據(jù)Park(1992)，我們很容易得到閾值協(xié)整參數(shù)的CCR估計(jì)量具有FM-OLS估計(jì)量相同的極限分布，其中ω11?2是(12)式的隨機(jī)誤差項(xiàng)的長期方差。同樣基于該估計(jì)量構(gòu)造的Wald統(tǒng)計(jì)量具有漸近的χ2分布，構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量具有漸近的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.3 動(dòng)態(tài)OLS估計(jì)(DOLS)

與非參數(shù)的FM-OLS和CCR方法不同，DOLS是基于協(xié)整回歸式，加入解釋變量的一階差分項(xiàng)的超前(Leads)與滯后(Lags)作為回歸方程的解釋變量，這樣可以消除解釋變量的內(nèi)生性，然后再針對(duì)新的回歸模型進(jìn)行OLS估計(jì)，以此求得閾值協(xié)整參數(shù)的估計(jì)量。用公式表示如下：

通過對(duì)上式進(jìn)行OLS回歸，求得參數(shù)α、γ的OLS估計(jì)量就是閾值協(xié)整參數(shù)的DOLS估計(jì)量，并且根據(jù)Stock和Watson(1993)和Hayashi(2000)，可以得到：

其中表示閾值協(xié)整參數(shù)向量的DOLS估計(jì)，要特別注意的是向量不包括α和πi參數(shù)的估計(jì)量，即(14)式只對(duì)長期協(xié)整參數(shù)是成立的，而對(duì)截距和差分項(xiàng)前面的參數(shù)是不成立的。另外表示模型(13)中的隨機(jī)干擾項(xiàng)εt的長期方差。由此可見，DOLS估計(jì)量所構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量和Wald統(tǒng)計(jì)量具有漸近的標(biāo)準(zhǔn)分布，即分別趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)的χ2分布，這樣可以利用標(biāo)準(zhǔn)分布對(duì)閾值協(xié)整回歸參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

從上述分析看，三種修正估計(jì)量具有相同的極限分布，其方差-協(xié)方差矩陣都包含有隨機(jī)誤差項(xiàng)的未知的長期方差參數(shù)，因此必須要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。本文以DOLS法下的長期方差估計(jì)為例，由于(13)的設(shè)定并不能保證隨機(jī)誤差項(xiàng)εt不存在自相關(guān)，因此長期方差的估計(jì)可以采用以下方法來估計(jì)：①擬合殘差εt的AR(L)自回歸模型；②計(jì)算是隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差估計(jì)，Den Haan和Levin(1996)[7]認(rèn)為該估計(jì)量是殘差長期方差的一致估計(jì)量，滯后階L可以通過赤池信息準(zhǔn)則(AIC)或貝葉斯準(zhǔn)則(BIC)來確定。另外對(duì)于(14)式的滯后階K的確定：運(yùn)用AIC、許瓦茲信息準(zhǔn)則(SC)或利用一般到特殊的建模步驟來確定最佳階數(shù)(Ng和Perron，1995)[8]。

這三種協(xié)整參數(shù)的修正估計(jì)法都是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，消除解釋變量的內(nèi)生性，從而使得估計(jì)量具有標(biāo)準(zhǔn)的極限分布，避免了由于協(xié)整變量的內(nèi)生性而導(dǎo)致的參數(shù)OLS估計(jì)量的非標(biāo)準(zhǔn)分布問題，因此極大地方便了協(xié)整參數(shù)的推斷，同時(shí)也減少了OLS估計(jì)量的小樣本偏差。另外劉漢中(2010)[9]已經(jīng)證實(shí)三種修正方法都能修正閾值協(xié)整參數(shù)OLS估計(jì)的小樣本偏差，但是通過三種估計(jì)法來對(duì)閾值協(xié)整參數(shù)的約束性檢驗(yàn)進(jìn)行推斷，目前的研究還很少，因此本文正是出于這一目的，將對(duì)三種估計(jì)量在參數(shù)約束性檢驗(yàn)中的適用性進(jìn)行研究，尤其是閾值協(xié)整變量是內(nèi)生性變量時(shí)，協(xié)整參數(shù)的約束性檢驗(yàn)進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上提出最適宜的修正估計(jì)法。3Monte-Carlo模擬設(shè)計(jì)及其結(jié)果

利用三角形表述設(shè)定以下的閾值協(xié)整系統(tǒng)，為了簡單起見也不影響一般性，Y1和Y2設(shè)定為一維的I(1)單位根過程：

其中μ1t服從TAR(1)模型，說明Y1和Y2之間存在閾值協(xié)整。如果μ1t設(shè)定為(2)式的TAR模型，則認(rèn)為是兩機(jī)制的閾值協(xié)整；如果是(3)式則是三機(jī)制閾值協(xié)整。隨機(jī)干擾項(xiàng)εt設(shè)定為：

模擬中σ21分別取0、0.4和0.8，當(dāng)σ21=0 時(shí)說明(15)中的解釋變量是嚴(yán)格外生的，否則是內(nèi)生變量。ε1t～iidN(0,1)，ε2t可以通過ε1t和 Σ 的Cholesky分解而得到，樣本容量分別為50和200，真實(shí)的協(xié)整參數(shù)設(shè)定為α=1,β=2，模擬中集中討論長期參數(shù)β的估計(jì)量10000次再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，觀察與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的差距。在DOLS的模擬中，利用AIC準(zhǔn)則來確定階數(shù)K，K的最大值是不超過12(T/100)14的最大正整數(shù)(Kurozumi和 Hayakawa，2009)[10]。長期方差估計(jì)中的AR(L)的滯后階L采用AIC準(zhǔn)則。

在閾值協(xié)整中，為了保證數(shù)據(jù)過程中包含有閾值效應(yīng)，在兩機(jī)制中設(shè)定ρ1=0.4和ρ2=0.55,0.99，閾值γ=0.2；由于在模擬中發(fā)現(xiàn)三機(jī)制的閾值協(xié)整情形與兩機(jī)制閾值協(xié)整相同，三機(jī)制閾值協(xié)整并沒有包含很多信息，所以只列出了兩機(jī)制閾值協(xié)整模擬結(jié)果。

3.1 各種估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)化量和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的比較

圖①是設(shè)定，取0.8時(shí)的核密度估計(jì)圖，圖a、b、c是ρ2=0.55，σ21分別報(bào)0、0.4和0.8；圖d、e和f是ρ2=0.99，σ21分別取0、0.4和0.8，樣本容量取200。

從圖1可以得到：①FM-OLS和CCR估計(jì)量比其他估計(jì)量更接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，即使是在沒有內(nèi)生性的情況下也如此，因?yàn)槠浞治粩?shù)更加靠近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)；②在系數(shù)ρ2保持不變的情況下，隨著σ21的增加，即內(nèi)生性程度增加，OLS、CCR和DOLS估計(jì)量的分位數(shù)會(huì)增加，且都要大于對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)，而FM-OLS估計(jì)量要小于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)，這說明隨著內(nèi)生性程度加強(qiáng)，OLS、CCR和DOLS有過度拒絕原假設(shè)的概率，其中OLS具有最大的拒絕概率，而FM-OLS有過度接受原假設(shè)的概率，增加速度由快到慢的順序是OLS→DOLS→CCR→FM-OLS；③σ21保持不變時(shí)，隨著參數(shù)ρ2的增加，各估計(jì)量的分位數(shù)呈增加趨勢(shì)，尤其OLS估計(jì)量的分位數(shù)增加更快，所以各方法有過度拒絕原假設(shè)趨勢(shì)，OLS法拒絕原假設(shè)的概率最大，增加速度由快到慢的順序也是OLS→DOLS→CCR→FM-OLS。

圖1 各種估計(jì)量的分位數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的對(duì)照?qǐng)D

圖2 各估計(jì)量的核密度估計(jì)圖與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)圖的比較

3.2 收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的速度研究

圖2是設(shè)定ρ2=0.55，σ21取0.8時(shí)的核密度估計(jì)圖，樣本容量分別為50和200，圖a是OLS估計(jì)的核密度估計(jì)，b、c和d分別是DOLS、FM-OLS和CCR的核密度估計(jì)圖。在圖b中沒有給出T＝50時(shí)的DOLS估計(jì)分布圖，主要原因是DOLS估計(jì)量在T=50時(shí)非常發(fā)散，即方差很大，在一個(gè)圖中很難分辨。

從圖2來看：①OLS和DOLS估計(jì)量的右偏程度較大，而FM-OLS和CCR右偏相對(duì)較??；②隨著樣本容量增大，收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的速度快到慢的順序是FM-OLS→CCR→DOLS→OLS。值得注意的是，當(dāng)T=50時(shí)，F(xiàn)M-OLS估計(jì)量分布很接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而隨著樣本容量的增加，F(xiàn)M-OLS估計(jì)量開始左偏，說明FM-OLS估計(jì)量所構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量有可能會(huì)過度接受原假設(shè)；③隨著樣本容量增加，OLS估計(jì)量經(jīng)驗(yàn)分布幾乎沒有發(fā)生變化，說明即使在樣本容量更大時(shí)，OLS估計(jì)量構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量過度拒絕原假設(shè)的概率不會(huì)減少。

4 結(jié)論

閾值協(xié)整在交易成本和固定調(diào)節(jié)成本等經(jīng)濟(jì)分析中具有越來越廣泛的應(yīng)用，但是已有的對(duì)閾值協(xié)整參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷研究成果尤其太少，同時(shí)在閾值協(xié)整分析中常被忽略的問題是閾值協(xié)整變量的內(nèi)生性問題，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中常常假定變量是嚴(yán)格外生的，這嚴(yán)重地違背了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題，本文也正是在這一基礎(chǔ)上展開對(duì)閾值協(xié)整參數(shù)推斷的研究。另外在具有內(nèi)生性的閾值協(xié)整中，靜態(tài)的OLS估計(jì)量不僅具有小樣本偏差，而且由于丟棄了來自內(nèi)生性變量的信息，因此基于OLS估計(jì)量的參數(shù)的約束性推斷有可能存在誤導(dǎo)。鑒于此，本文一方面研究修正的閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)——FM-OLS、CCR和DOLS估計(jì)及其極限分布，另一方面又在小樣本條件下，MC模擬研究各標(biāo)準(zhǔn)化估計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的差距。我們的模擬結(jié)果表明：①隨著閾值協(xié)整的非對(duì)稱程度增加和內(nèi)生性程度增強(qiáng)，所有估計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的差距會(huì)增大，增大的速度由快到慢的順序是OLS→DOLS→CCR→FM-OLS，并且除FM-OLS估計(jì)量外，其他估計(jì)量拒絕原假設(shè)的概率也會(huì)以同樣的順序增加；②隨著樣本容量的增加，在其他條件不變的情況下，收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的速度由快到慢的順序是FM-OLS→CCR→DOLS→OLS，且隨著樣本容量增加，F(xiàn)M-OLS估計(jì)量由很接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布到越來越左偏，因此在樣本容量較大時(shí)，F(xiàn)M-OLS極有可能會(huì)過度接受原假設(shè)；③因?yàn)殡S著樣本容量的增加，OLS估計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分布幾乎不發(fā)生變化，因此無論是否存在內(nèi)生性，修正估計(jì)量都比OLS估計(jì)量有優(yōu)勢(shì)，這說明修正的閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)法不僅可以減少OLS估計(jì)量的小樣本偏差，而且也能更加準(zhǔn)確地進(jìn)行參數(shù)的約束性檢驗(yàn)。

綜上所述，在應(yīng)用閾值協(xié)整進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)分析時(shí)，由于實(shí)際經(jīng)濟(jì)中樣本容量的限制，我們認(rèn)為無論是協(xié)整參數(shù)的估計(jì)，還是參數(shù)的約束性檢驗(yàn)，都應(yīng)該首選FM-OLS方法，其次是CCR方法，而其他方法如DOLS法和OLS法都存在較嚴(yán)重的過度拒絕原假設(shè)傾向，即具有較嚴(yán)重的檢驗(yàn)水平扭曲。

[1]Nathan S.Balke，Thomas B.Fomby.Threshold Cointegration[J].International Economic Reviews,1997,38（3）.

[2]劉漢中.Ender-Granger方法在協(xié)整檢驗(yàn)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2007，(8).

[3]Chan,K.S,Petruccelli,J.D.,H.Tong.A Multiple Threshold Model AR(1)Model[J].Journal of Applied Probability,1985,22(2).

[4]Frederique Bec,Melika Ben Salem，Marine Carrasco.Tests for Unit-root Versus Threshold Specification with an Application to the Purchasing Power Parity Relationship[J].Journal of Business&Economic Statistics,2004,22(4).

[5]Whitney K.Newey,Kenneth D.West.A Simple,Positive Semi-definite,Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica,1987,（3）.

[6]Newey Whitney,Kenneth West.Automatic Lag Selection in Covariance Matrix Estimation[J].Review of Economic Studies,1994,61(4).

[7]W.J.Den Haan，Andrew Levin.Inferences from Parametric and Non-parametric Covariance Matrix Estimation Processes[C].Technical Working Paper,National Bureau of Economic Research,1996.

[8]Ng and Perron.Unit Root Tests in ARMA Models with Data-dependent Methods for the Selection of the Truncation Lag[J].Journal of the American Statistical Society,1995,90(1).

[9]劉漢中，李陳華.閾值協(xié)整參數(shù)修正估計(jì)法的小樣本性質(zhì)比較研究[D].工作論文，2010.

[10]E.Kurozumi，K.Hayakawa.Asymptotic Properties of the Efficient Estimators for Cointegrating Regression Models with Serially Dependent Errors[J].Journal of Econometrics,2009,149，（2）.