抓住特征，破解“拋物線牽手圖形變換”問題

432131 湖北省孝感市肖港初中 徐金星

抓住特征，破解“拋物線牽手圖形變換”問題

432131 湖北省孝感市肖港初中 徐金星

大家知道，圖形變換作為數(shù)學(xué)課程改革新增的內(nèi)容，加強(qiáng)對這部分的學(xué)習(xí)，對學(xué)生具有重要的教育價(jià)值，有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念.另外，二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，所以二次函數(shù)的圖象和圖形變換相結(jié)合，綜合考查同學(xué)們分析、綜合、概括、邏輯推理、幾何建模以及探究活動的能力，是各級檢測中不可多得的好題.本文就以課本中的一道探究題為例，探討關(guān)于這類問題的解法.

課本原題

如圖1，在一張紙上作出函數(shù)y=x2-2x+3的圖象，沿x軸把這張紙對折，描出與拋物線y=x2-2x+3關(guān)于x軸對稱的拋物線，這條拋物線是哪個(gè)二次函數(shù)的圖象?

圖1

分析 觀察描出與拋物線y=x2-2x+3關(guān)于x軸對稱的拋物線，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，-2)，且過點(diǎn)(0，-3)，這樣，此拋物線的解析式就可以求出來了.也可以這樣想，關(guān)于x軸對稱的拋物線與原拋物線相比，它開口的方向相反，即向下，而開口大小不變，說明二次項(xiàng)系數(shù)為-1.另外，由于對稱軸沒有變，那么關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為2.再根據(jù)原拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，那么其關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，-3)，這個(gè)-3就是新拋物線解析式中的常數(shù)項(xiàng).

解法1 依題意，可知

拋物線y=x2-2x+3關(guān)于x軸對稱的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，-2)，且過點(diǎn)(0，-3).

設(shè)拋物線的解析式為y=a x-( )h2+k(a≠0)，則有

故所求的二次函數(shù)的解析式為

點(diǎn)評 運(yùn)用這種方法的主要步驟是，首先將原二次函數(shù)的解析式配成頂點(diǎn)式，再根據(jù)對稱找到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后可以找一個(gè)確定的點(diǎn)進(jìn)行代入(或者根據(jù)開口來確定二次項(xiàng)系數(shù)).這種方法是解決這類問題的基本方法，它一步步地將所求解析式中的待定系數(shù)逐一確定.

解法2 所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).

觀察關(guān)于x軸對稱的拋物線與原拋物線，對比可知，新拋物線的開口向下，開口大小不變，說明a=-1.

又∵它們的對稱軸沒有變，

∴b=2.

∵原拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，

∴這個(gè)交點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，-3)，

即c=-3.

故所求的二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x-3.

點(diǎn)評 這種方法很明顯比第一種方法要抽象得多，雖然表面上看也是將所求解析式中的待定系數(shù)逐一確定，在確定這三個(gè)待定系數(shù)時(shí)所運(yùn)用的是拋物線的性質(zhì)，這種方法顯得簡單明了，甚至可以直接看出來.

實(shí)際上，對于要確定拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式，根據(jù)圖象性質(zhì)反映的系數(shù)關(guān)系，可以得到，拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為y=-ax2-bx-c.

以上這兩種解法都是求圖形變換后的拋物線的解析式的很重要的方法，下面將這個(gè)問題進(jìn)行變式，進(jìn)一步進(jìn)行探究.

變式1 關(guān)于y軸對稱

如果將上例中的函數(shù)y=x2-2x+3的圖象沿y軸對折，那么這條拋物線是哪個(gè)二次函數(shù)的圖象呢?

解析 我們可以尋找拋物線的特征，即拋物線沿y軸翻折后，只改變拋物線的頂點(diǎn)位置，而不改變拋物線的開口方向及大小.這樣的話，結(jié)合前面所講的方法就很容易確定了.總結(jié)系數(shù)之間的關(guān)系，實(shí)際上就是確定拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式.

所以，函數(shù)y=x2-2x+3的圖象關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式是y=x2+2x+3.

點(diǎn)評 關(guān)于y軸對稱可以歸納為：拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為y=ax2-bx+c.

變式2 關(guān)于原點(diǎn)對稱

如果在紙上作出上例函數(shù)y=x2-2x+3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，那么這條拋物線是哪個(gè)二次函數(shù)的圖象呢?

解析 兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，說明這兩個(gè)圖象上的所有點(diǎn)都關(guān)于原點(diǎn)對稱，而確定拋物線只需要找到頂點(diǎn)和另一個(gè)特殊點(diǎn)(如與y軸的交點(diǎn))的坐標(biāo)即可.也可以根據(jù)性質(zhì)，從開口、對稱軸和與y軸的交點(diǎn)來確定待定系數(shù).

所以，函數(shù)y=x2-2x+3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線的解析式是y=-x2-2x-3.

點(diǎn)評 一般地，拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線的解析式：y=-ax2+bx-c.

變式3 旋轉(zhuǎn)

如果將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求旋轉(zhuǎn)后所得拋物線的解析式.

解 將y=x2-2x+3配成頂點(diǎn)式，得 y=x2-2x+3=(x-1)2+2.

∵旋轉(zhuǎn)前后拋物線的開口方向恰好相反，而開口大小及頂點(diǎn)位置均不變，

∴旋轉(zhuǎn)后所得新拋物線的解析式為y=-(x-1)2+2，即y=-x2+2x+1.

點(diǎn)評 求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的解析式，同樣可先將其配方成頂點(diǎn)式 y=a( x -h)2+k(a≠0)，然后將二次項(xiàng)系數(shù)直接改變成其相反數(shù)即可.

20111008)