中考數(shù)學(xué)交流型試題歸類(lèi)解析

221700 江蘇豐縣中學(xué) 張 啟

新課標(biāo)提出“能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、展開(kāi)交流，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)，學(xué)會(huì)與他人合作”，將“數(shù)學(xué)交流”貫穿在整個(gè)知識(shí)領(lǐng)域中.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)交流已經(jīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一種潮流，在近幾年的中考中，“數(shù)學(xué)交流”型試題備受命題者青睞，已成為中考命題的新趨勢(shì).這類(lèi)問(wèn)題通常給出一段閱讀材料，然后提出問(wèn)題，通過(guò)交流材料的內(nèi)容，從中獲取有用的信息，在理解的基礎(chǔ)上結(jié)合已有知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.現(xiàn)以2011年中考試題為例就交流的條件、結(jié)論、概念、方法等形式加以歸類(lèi)說(shuō)明.

1 交流條件

這類(lèi)問(wèn)題通常是在一致的結(jié)論下，交流結(jié)論成立的條件或結(jié)論成立更為一般性的條件.解此類(lèi)問(wèn)題的基本策略是執(zhí)果索因，從結(jié)論及部分條件出發(fā)，結(jié)合所學(xué)及與結(jié)論相關(guān)的知識(shí)，從中找到滿(mǎn)足結(jié)論的條件.

例1(2011年泉州)某班將舉行“慶祝建黨90周年知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，班長(zhǎng)安排小明購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，下面兩圖是小明買(mǎi)回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的對(duì)話情境：

小明：買(mǎi)了兩種不同的筆記本共40本，單價(jià)分別為5元和8元，我領(lǐng)了300元，現(xiàn)在找回68元.

班長(zhǎng)：你肯定搞錯(cuò)了!

小明：噢!我把自己口袋里的13元一起當(dāng)作找回的錢(qián)款了.

班長(zhǎng)：這就對(duì)了!

請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問(wèn)題：

試計(jì)算兩種筆記本各買(mǎi)了多少本?

請(qǐng)你解釋?zhuān)盒∶鳛槭裁床豢赡苷一?8元?

解 (1)解法1設(shè)5元，8元的筆記本分別買(mǎi)x本，y本，

答：5元和8元筆記本分別買(mǎi)了25本和15本.

解法1應(yīng)找回的錢(qián)款為300-5×25-8×15=55≠68，故不能找回68元，

解法2設(shè)買(mǎi)m本5元的筆記本，則買(mǎi)(40-m)本8元的筆記本，

解法3買(mǎi)25本5元的筆記本和15本8元的筆記本的價(jià)錢(qián)總數(shù)應(yīng)為奇數(shù)而不是偶數(shù)，

故不能找回68元.

2 交流結(jié)論

這類(lèi)試題往往是雖然條件發(fā)生了變化，但問(wèn)題本質(zhì)特征并未發(fā)生變化.解決這類(lèi)問(wèn)題，須從所給條件出發(fā)，通過(guò)分析、比較、確立結(jié)論，或讓你判斷所給的結(jié)論是否正確，再進(jìn)行說(shuō)明.

(1)試用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法列舉出所有點(diǎn)P(m，n)的情形;

(2)分別求出點(diǎn)P(m，n)在兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象上的概率，并說(shuō)明誰(shuí)的觀點(diǎn)正確.

解(1)列表如下：

第二個(gè)數(shù)第一個(gè)數(shù)1 2 3 4 5 6 1 (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2 (2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3 (3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4 (4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5 (5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6 (6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)

3 交流概念

這類(lèi)試題通常是把一些新概念類(lèi)似地運(yùn)用到其它的圖形或?qū)ο笊?，雖然對(duì)象變化了，但某些性質(zhì)可遷移到這一對(duì)象上，然后提出與這個(gè)概念密切相關(guān)的問(wèn)題要求我們?nèi)ソ鉀Q.

例3(2011年江西)某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中對(duì)三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了探討：

定義：如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上，那么我們就把這個(gè)正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.

結(jié)論：在探討過(guò)程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：

甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在________個(gè)、________個(gè)、________個(gè)大小不同的內(nèi)接正方形.

乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.

丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.

任務(wù)：(1)填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù);

(2)乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎?若不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例并通過(guò)計(jì)算給予說(shuō)明，若正確，請(qǐng)給出證明;

圖1

解(1)1，2，3.

(2)乙同學(xué)的結(jié)果不正確.

例如：在 Rt△ABC中，∠B=90°，

AB=BC=1，則AC=.

如圖2，四邊形DEFB是只有一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上的內(nèi)接正方形.設(shè)它的邊長(zhǎng)為a，則依題意可得

圖2

如圖3，四邊形DEFH兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形.設(shè)它的邊長(zhǎng)為b，則依題意可得

圖3

∴a＞b.

(3)丙同學(xué)的結(jié)論正確.

設(shè)△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為ha，hb，hc，內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)分別為xa，xb，xc.

∴x＜x，即x2＜x2.abab

∴在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.

點(diǎn)評(píng)本題定義了新概念“內(nèi)接正方形”，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是深刻理解閱讀材料所提供的新概念，充分挖掘新概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，并能夠運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)對(duì)新概念作出合理的解釋?zhuān)M(jìn)而將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)去理解，在此基礎(chǔ)上結(jié)合已有的知識(shí)加以解決.

4 交流方法

這類(lèi)試題往往是對(duì)于一個(gè)新問(wèn)題，雖然問(wèn)題的條件和結(jié)論都比較陌生，但可通過(guò)討論交流得到解決問(wèn)題的方法.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀其內(nèi)容，理解其實(shí)質(zhì)，把握其方法、規(guī)律，然后提出一個(gè)類(lèi)似或在此基礎(chǔ)上有所拓展的問(wèn)題，要求學(xué)生用類(lèi)比的方法加以解決.

例4(2011年紹興)數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目.

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，如圖4.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

(1)特殊情況，探索結(jié)論

圖4

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖5，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：

AE______DB(填“＞”，“＜”或“=”).

(2)特例啟發(fā)，解答題目

圖5

解題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE______DB(填“＞”，“＜”或“=”).理由如下：如圖6，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.

(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)

(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果).

圖6

解(1)=.

(2)=.

方法1如圖6，等邊三角形ABC中，

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴ ∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，

又∵ ∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∴ ∠EDB+∠BED=∠ECB+∠FCE.

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

∴ △DBE≌△EFC，∴DB=EF，AE=BD.

方法2在等邊三角形ABC中，

∠EDB+∠BED=∠ECB+∠ACE=60°

∵ED=EC，∴ ∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠ACE.

∵EF∥BC，∴ ∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

即△AEF是正三角形，∠EFC=180°-∠ACB=120°=∠ABD，

∴ △EFC≌△DBE，∴DB=EF，

而由△AEF是正三角形可得EF=AE.

∴AE=DB.

(3)1或3.

點(diǎn)評(píng)解決這類(lèi)問(wèn)題首先要仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真研究范例的解答過(guò)程，然后運(yùn)用類(lèi)比的方法，結(jié)合所學(xué)知識(shí)靈活解答.

從以上問(wèn)題中可以看出，這類(lèi)問(wèn)題的特征就是通過(guò)學(xué)生的交流來(lái)表明他們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)讓?xiě)?yīng)試者參與討論，并把一些觀點(diǎn)與數(shù)學(xué)表達(dá)符號(hào)化，讓學(xué)生運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)，以此來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)中考試題中出現(xiàn)的交流問(wèn)題，要求學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)通過(guò)一定的問(wèn)題情景，自主地去探索問(wèn)題，能較清楚地表達(dá)和交流解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果，以培養(yǎng)觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和歸納的能力.